高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解

一、选择题

1．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( ) A．至少有一实数根 C．没有实数根 [答案] D

[解析] ∵函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，

又f(a)，f(b)异号．∴f(x)在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.

11＋2．(2010·北京文)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x1，其中在

22区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )

A．①② C．③④ [答案] B

111

[解析] 易知y＝x在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y＝log(x＋1)的图象是由y＝log

2221

x的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，

2故选B.

111

3．(2010·济南市模拟)设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则( )

334A．y311

[解析] ∵y＝0.5x为减函数，∴0.53<0.5，

4

B．至多有一实数根 D．有唯一实数根

B．②③ D．①④

B．y1∵y＝x3在第一象限内是增函数， ∴0.43<0.53，∴y1a－2x－1 x≤1

4．(2010·广州市)已知函数，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则

logx x>1a

1

1

1

实数a的取值范围为( )

A．(1,2) C．(2,3] [答案] C

[解析] ∵f(x)在R上单调增，

B．(2,3) D．(2，＋∞)

a>1

∴a－2>0， a－2×1－1≤loga1∴25．(文)(2010·山东济宁)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )

A．a≥0

B．a≤0 D．a≤－4

C．a≥－4 [答案] D

[解析] ∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f ′(x)＝2x＋2a2x2＋2x＋a＋＝≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立， xx

∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4.

ππ

－，内是减函数，则ω的取值范围是( ) (理)已知函数y＝tanωx在22A．0<ω≤1 C．ω≥1 [答案] B

ππ

－，上是减函数， [解析] ∵tanωx在22ππ

∴ω<0.当－22ππωπωπ

－≤<ωx<－≤， 2222

B．－1≤ω<0 D．ω≤－1



π∴π

－ω≤22ω<0

ππω≥－22

，∴－1≤ω<0.

6．(2010·天津文)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( ) A．a＜c＜b C．a＜b＜c [答案] D

[解析] ∵1>log54>log53>0，∴log53>(log53)2>0，而log45>1，∴c>a>b. 7．若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0] C．{2}

B．[－2,2] D．[2，＋∞)

B．b＜c＜a D．b＜a＜c

高考总复习

[答案] C

[解析] f ′(x)＝3x2－6a，

若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；

若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－2a∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2， ∴a＝2.

[点评] f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．

11

8．(文)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f()＝0，则适合不等式f(log

327x)>0的x的取值范围是( )

A．(3，＋∞) C．(0，＋∞) [答案] D

1

[解析] ∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则由f(log1x)>0，

327

111

得|log1x|>，即log1x>或log1x<－.选D.

333272727

(理)(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是( )

A．a>b>c C．b>c>a [答案] D

[解析] ∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)2x＋4x，x≥0，9．(2009·天津高考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值24x－x，x＜0.

1

B．(0，)

3

1

D．(0，)∪(3，＋∞)

3

B．a>c>b D．c>b>a

范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)

含详解答案

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] C

[解析] ∵x≥0时，f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4单调递增，且f(x)≥0；当x<0时，f(x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4单调递增，且f(x)<0，∴f(x)在R上单调递增，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，∴－210．(2010·泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有( )

A．最小值f(a) B．最大值f(b) C．最小值f(b) D．最大值f[答案] C

[解析] 令x＝y＝0得，f(0)＝0， 令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)．

对任意x1，x2∈R且x10，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[a，b]上最小值为f(b)． 二、填空题

b1

11．(2010·重庆中学)已知函数f(x)＝ax＋－4(a，b为常数)，f(lg2)＝0，则f(lg)＝________.

x2[答案] －8

b

[解析] 令φ(x)＝ax＋，则φ(x)为奇函数，f(x)＝φ(x)－4，

x∵f(lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4， 1

∴f(lg)＝f(－lg2)＝φ(－lg2)－4

2＝－φ(lg2)－4＝－8.

12．偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(x)在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k＝________.

[答案] 3

[解析] ∵偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．

a＋b2

高考总复习

因此，若k≤0，则k－(－2)＝k＋2<3，若k>0，∵f(x)在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f(0)，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k－0＝3，即k＝3.

ax－1

13．函数f(x)＝在(－∞，－3)上是减函数，则a的取值范围是________．

x＋31

－∞，－ [答案] 3

3a＋11

[解析] ∵f(x)＝a－在(－∞，－3)上是减函数，∴3a＋1<0，∴a<－. 3x＋3

14．(2010·江苏无锡市调研)设a(0＋∞)上是增函数，若f2＝0，f(logat)>0，则t的取值范围是______．

[答案] (1，1

)∪(0，a) a

1[解析] f(logat)>0，即f(logat)>f2， 1∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴logat>，

2∵011

－＝－f＝0， 又f(x)为奇函数，∴f221

－， ∴f(logat)>0又可化为f(logat)>f2∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 1

∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴0>logat>－，

2∵01， a

1. a

综上知，015．(2010·北京市东城区)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值集合．

[解析] (1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则

x＋1>0，解得－10

故所求定义域为{x|－1含详解答案

(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1所以f(x)>0⇔>1. 1－x解得0所以使f(x)>0的x的取值集合是{x|01－mx

16．(2010·北京东城区)已知函数f(x)＝loga是奇函数(a>0，a≠1)．

x－1(1)求m的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若当x∈(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求实数a的值．

1－mx1＋mx

[解析] (1)依题意，f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，即loga＋loga＝0，

x－1－x－1∴

1－mx1＋mx

·＝1，∴(1－m2)x2＝0恒成立， x－1－x－1

∴1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1(不合题意，舍去)

1＋x

当m＝－1时，由>0得，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f(x)的定义域，

x－1又有f(－x)＝－f(x)， ∴m＝－1是符合题意的解． 1＋x

(2)∵f(x)＝loga，

x－1x－11＋x∴f ′(x)＝′logae

x＋1x－1＝

x－1x－1－x＋12logae

·logae＝ 2x＋1x－11－x2

①若a>1，则logae>0

当x∈(1，＋∞)时，1－x2<0，∴f ′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 即(1，＋∞)是f(x)的单调递减区间；

由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递减区间． ②若0当x∈(1，＋∞)时，1－x2<0，∴f ′(x)>0，

∴(1，＋∞)是f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递增区间．

高考总复习

1＋x2

(3)令t＝＝1＋，则t为x的减函数

x－1x－1∵x∈(1，a－2)，

22

∴t∈1＋a－3，＋∞且a>3，要使f(x)的值域为(1，＋∞)，需loga1＋a－3＝1，解得



a＝2＋3.

17．(2010·山东文)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－a

x－1(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当a≤1

2

时，讨论f(x)的单调性．

[解析] (1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2

x－1，x∈(0，＋∞)．

(x)＝x2f ′＋x－2

x2，x∈(0，＋∞)，

因此f ′(2)＝1，

即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)＝ln2＋2，

所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2， 即x－y＋ln2＝0.

(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－a

x

－1，

所以f ′(x)＝1

a－1ax2－xx－a＋＋1－ax2＝－x2 x∈(0，＋∞)．

令g(x)＝ax2－x＋1－a，

①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增； ②当a≠0时，f ′(x)＝a(x－1)[x－(1

a

－1)]，

(ⅰ)当a＝1

2时，g(x)≥0恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

(ⅱ)当02时，a

－1>1>0，

x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减； x∈(1，1

a－1)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；

x∈(1

a

－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；

含详解答案

1

③当a<0时，－1<0，

a

x∈(0,1)时，g(x)>0，有f ′(x)<0，f(x)单调递减 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f ′(x)>0，f(x)单调递增． 综上所述：

当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增； 1

当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

2

111

当02aa减．

注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．