维普资讯 http://www.cqvip.com 中学盘学教学参考 ２００２年第７期 关于球体积公式教学的思考 浙江省绍兴县柯桥中学 沈高中《立体几何》中，球体积公式的导出是一个重 要的知识点，许多教师，甚至不少专家都采用下列的思 乔 是用无限逼近的方法，当然没有像教材证明那样简明． 祖氏父子提出了祖咂原理而没有发现圆柱容球 维启导：（１）提出问题；（２）取圆柱、圆锥、半球比较体积’ 这个奇妙的图形，用计算“牟合方盖”解决了球的体积 大小；（３）提出猜想；（４）实验验证；（５）用祖咂原理证 明．从比较大小到提出猜想，认为它很有利于培养学生 的直觉思维． 然而，上完课后。学生总有两个疑问：（１）辅助图形 圆柱和圆锥是怎样想到的？（２）球的体积公式真的是 这样得到的吗？ 大于半球和小于半球的几何体很多，为什么会想 到圆柱和圆锥呢？猜想有没有原则？作为教学活动， 教师总要解开学生的疑惑． 球的体积计算，是古代数学家很有兴趣的问题，而 且对其探求程度代表了一个国家、民族数学发展的水 平．在西方，正确得到球体积公式并证明的是公元前２ 世纪的阿基米德，证明方法为逼近法．在中国，球的体 积计算由２世纪的刘徽提出，２００多年后由祖冲之父 子通过解决刘徽的“牟合方盖”问题得到解决．在印度， １２世纪数学家婆什迦罗利用在球的表面作网络，各格 点与球心相连把球分成以球面为底、球半径为高的棱 锥而得到计算公式的． 教材中的证明，是１７世纪的意大利数学家卡法列 里给出的，祖日Ｉ亘原理就是他的不可分量原理．由此可 见，球体积公式最早不是从圆柱、圆锥的猜想中得到 的，是已经知道了球的体积公式，而卡法列里再用取圆 柱、圆锥作为辅助图形利用祖瞪原理证明的． 那么，世界上最早发现球体积公式的阿基米德，是 怎样发现公式的呢？似乎已不得而知．但在１９０６年人 们发现了阿基米德的失传的《方法论》一书，阿基米德在 书中告诉人们，为了计算图形的面积和体积，可以先做 些实验，大体得出它们的图形面积及体积，然后再设法 寻找合乎逻辑的证明．据此，我们是否有理由推想，阿基 米德是由实验的方法先得到了球体积的计算公式然后 再证明的．阿基米德一生中有许多重大的发现和发明， 而他最得意的是圆柱容球，即球内切于圆柱．球的面积 和体积分别与圆柱面积和体积的比都是２：３，那么是否 可以猜想他的实验就是这样用圆柱来容球呢？ 阿基米德知道了球体积与其外切圆柱的体积比是 ２：３，而不用祖日Ｉ亘原理即最小作用量原理，采用的证明 问题，显然比教材的方法要复杂得多． 卡发列里的证明，是圆柱容球图形和祖日Ｉ亘原理的结 合．我不知道卡氏当时是否知道阿基米德的得意发现，如 果知道，那么他得到这种证明方法也就顺理成章了． 于是本人认为：球体积公式的教学，似乎从实验出 发更能接近球体积公式发现的真实．取半径及高都等 于Ｒ的圆柱和半径为Ｒ的半球，圆柱盛满水，半球放 入，而水溢出，取出半球，圆柱中还剩三分之一的水．从 ，＇ 而从实验中提出猜想 球＝寺 圆柱： 圆柱 １ １ 圆柱．由于体积为三分之一圆柱的图形是圆锥， Ｊ 这样也就容易知道为什么取圆柱和圆锥作辅助图形进 行证明的道理． 实验也是发现真理的基本方法之一．在物理学、生 物学、化学等自然科学中，实验是科学研究和发现的主 要手段．在数学中许多重大的发现也离不开实验．可以 设想，如果费马不经过许多次的实验或者试验，他就不 可能提出费马大定理；三大几何难题如果没有许多人 的实验而未获成功，后人也不会去研究尺规作图的充 要条件．现在，虽然在实际上或许不再需用量一量、装 一装的方法来猜想图形的面积和体积，而作为一种方 法，数学实验有它广泛而深刻的意义．当前，利用计算 机来进行数学的发现，本身也就是实验． 用圆柱、圆锥与半球比较大小提出猜想总显得突 兀，也怪不得学生提出是怎样想到的．如果教师不能作 出清楚的回答，就容易产生误导．本人认为直觉和猜想 也有规律，讲不清为什么会怎样想，猜想就会混同于瞎 想、乱想． 参考文献 ｌ李俊明，王耀东．名师授课录．上海：上海教育出版社，１９９１ ２李迪．中外数学史教程．福州：福建教育出版社，１９９３ ３任樟辉．数学思维理论．南宁：广西教育出版社，２００１ ４人民教育出版社数学室．高级中学课本立体几何．北京：人 民教育出版社，１９９５