三重积分的计算方法(1)

三重积分的计算方法

张慧琴

(吕梁高等专科学校数学系,山西离石033000)

[摘 要] 本文通过举例说明将三重积分转化为三次积分时确定积分限的两种方法[关键词] 三重积分;三次积分;积分限的确定[中图分类号]I206.6 [文献标识码]A

在通常情况下,重积分的计算是通过累次积分进行的,把重积分化为累次积分的过程中,确定各次积分限是关键的一步,对于二重积分,用平面作图的方法简单地确定出各次积分的积分限,对于三重积分,需作一个空间图形,再通过该空间图形来确定出各次积分的积分限,然而此办法对于积分区域比较简单的三重积分的定限比较方便,对于较复杂的积分区域来说,学生常感到麻烦且易出错。下面通过两组例题具体说明计算三重积分转化为三次积分时确定积分限的两种方法。

设f(x,y,z)在积分区域上可积,且三次积分存在1 在柱面坐标下积分限的确定

假定三重积分I=x=rcosH

y=rsinH 0[r<]0[H[2z=z

则原积分域8变为积分域V,且I=

m

8

f(x,y,z)dxdydz,其中8为积分区域,在柱面坐标下

F-8

]m

f(x,y,z)rdHdrdz如何将此三重积分转化为三次积分呢?

¹据原积分区域8在xoy面上先定出H的变化范围a[H[B,则I=

QdH#kf(rcosH,rsinH)rdrdz

A

Rrz

B

其中Rrz为任固定一H后,r,z的积分区域

º任固定一H=H0(a[H0[B),在H=H0的平面上建立坐标系zor(以H=H0的平面与xoy面的交线为or轴),然后在zor面上做出积分区域V的z-r曲线的平面图形,则这些曲线所围成的区域即为Rrz

»据前面作出的区域Rrz,利用化二重积分为累次积分的方法把f(rcosH,rsinH)rdrdz化为r,z的二次积分,并且把H0

还原成H,就得到三次积分 I=

k

8

QQ

A

Br(H)

21

dH

r(H)

rdr

Q

2

z(r,H)

21

z(r,H)

f(rcosH,rsinH,z)dz

例1:计算曲面x2+y2+z2=4R2的内部被x2+y2=2Rx所划出的部分体积

解:所求的体积为I=成。

x=rcosH

P

令 y=rsinH 雅可比式|J|=r由8中即(x-R)2+y2[R2易知-[H[2

z=z

PP,且原积分域8变为新积分域V:r2+z2[4R2,r[2RcosH.固定H为某一H0(-[H0

22P[),建立zor坐标系,画出z-r曲线图形,注意固定H=H0时r=2RcosH0是一条平行2

于z轴的直线,Drz所表示的区域如右图所示

_I==

m

8

dxdydz,8由x+y+z

22

[4R、x+y+z[2Rx所围

2222

Qk

P

2PdH-2Drz

rdrdz=

QQQQQ

P

2RcosH

2dH2rP-0

24R2-r2dr

P222RcosH4R-r

2rdr)0把换成了HPdH22dz(H-0-4R-r

2PP

32222222RcosH

=[-(4R-R)2|0]dH=(8R3

PP33--22QQ-8R3|sin3H|)dH=

163643

PR-R=39

163

R(3P-4)9 [收稿日期]2002-01-01

#10#2 代数定限法

将三重积分化为三次积分,确定积分限,根据不等式组的同解变形,即将积分区域用一组不等式来刻划,具体的定限过程通过代数方法来完成。例2:将三重积分化I=

mf(x,y,z)dxdydz化为按xyyyz次序的三次积分,其中8=

8

{(x,y,z)|0[x[1 x2[

y[1 0[z[y}

分析:此题实质上就是将积分区域等价地表为:

8={(x,y,z)| a[z[b y1(z)[y[y2(z) x1(y,z)[x[x2(y,z)}的形式

解:显然8是由一组不等式所确定:0[x[1 x2[y[1 0[z[y代数定限法的过程如下:¹求最先积分的积分变量的范围,即求x1(y,z) x2(y,z)先将与有关的全部不等式列出:0[x[1 x2[y

注意到yE0 y[1 故解得0[x[

y由此可得:x1(y,z)=0 x2(y,z)=yº求y,z的范围,即求y1(z)y2(z)及实数a、b

此时与x无关的不等式为y[1 0[z[y除此之外还需补两类不等式:第一类是x1(y,z)x2(y,z)的定义域,这里即为yE0

第二类是x1(y,z)[x2(y,z)这里即为yE0

将这两类不等式同原不等式结合在一起删去重复的不等式后,得到y和z的范围的全部不等式为:0[z[y0[y[1这些不等式给出了8在yoz平面上的投影区域z[y[1 0[z[1

由此可得:y1(z)=z y2(z)=z a=0 b=1于是上述I=

QQQf(x,y,z)dx

0

11z

ydzdy

0

说明:在第二步中,在求出和满足的不等式:x[z[y 0[y[1之后,也可以通过不等式组的同非变形变为0[z[1 z[y[1例3:将三重积分I=

m

8

f(x,y,z)dxdydz化为按yyxyz次序的三重积分,其中V是由曲面z=x2+y2与平面y=x x

=1 y=0及z=0围成。

分析:本题实质将V等价表示成V={(x,y,z)|a[z[bx1(z)[x[x2(z) y1(x,z)[y[y2(x,z)解:通过作草图的形式,V由一组不等式所确定:z[x2+y2 y=x x[1 yE0 zE0第一步:求的范围:与有关的不等式为:z[x2+y2 y[x yE0此时有两种情况:

¹设z-x2E0 即zEx2 可解得Z-X2[y[xº设z-x2E0 即z[x2 可解得0[y[x第二步:求x和z的范围在¹中:y1(x,y)=

z-x2 y2(y,z)=x此时决定x和z的范围的全部不等式为:x[1 zE0 z-x2E0

z-x2[x

即:x[1 zEx2 z[2x2

用平面作图定限方法,可将上述不等式,等价为:

zz[x[z以及1[z[2 [x[122

在º中,y1(x,z)=0 y2(x,z)=x此时决定x,z范围的全部不等式为:x[1 z[0 z-x2[0 xE0上述不等式等价地表示为:

0[z[1 0[z[1

z[x[1 于是:

xz-x

QQQ0

1zdz

z2dx

f(x,y,z)dy+2QQQ0

21x

dz

z2dx

z-x

f(x,y,z)dy+2[参考文献]

QQQf(x,y,z)dy

0

11x

dz

zdx0

[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析[M].高等教育出版社,1989.

[2]刘玉琏,傅沛仁,吕风.数学分析讲义学习指导书[M].高等教育出版社,1989.

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