2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：基础模拟(四)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2i

1．(导学号：50604207)已知复数z＝，则z2＝( )

1＋i

A．1＋i B．1－i C．2i D．－2i

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝35，则a4的值为( ) A．2 B．5 C．10 D．15

3．下列关于函数y＝ln|x|的叙述正确的是( ) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

π

4．(导学号：50604208)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x0∈(0，)，sin x0＝cos x0.

2

则下列命题中，真命题为( )

A．(綈p)∧q B．p∧q C．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

x≥3－y，

5．已知实数x，y满足y≤x＋1，

2x－y－3≤0，

A．17 B．19 C．48 D．49

则z＝4x＋6y＋3的最大值为( )

y2x2

6．(导学号：50604209)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝4

ab

所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为( )

1715

A.15 B. C.17 D.

22

7．如图所示的程序框图所描述的算法是辗转相除法，若输入m＝231，n＝88，则输出的m值为( )

A．0

B．11 C．22 D．88

8．某校8名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出3名同学先后．．参与，并且完成任务．已知该活动中A，B，C三人至多一人参与，若A参加，则D也会参加，且A必须最先完成任务，则不同的安排方案有( )

A．70 B．168 C．188 D．228

9．(导学号：50604210)已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如下图

π3π

所示，若A(，2)，B(，2)，则下列说法错误的是( ) ．22

3π

A．φ＝

4

15π

B．函数f(x)的一条对称轴为x＝ 8

π

C．为了得到函数y＝f(x)的图象，只需将函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位

8

9π13π

D．函数f(x)的一个单调减区间为[，]

88 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．12＋42＋213 B．12＋82＋213 C．12＋42＋226 D．12＋82＋226

11．(导学号：50604211)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a(a>0)，n＝|MF|＋|NF|，则2a－n＝( )

A．2 B．3 C．4 D．5

12．(导学号：50604212)已知O为原点，曲线f(x)＝aln(x＋1)－x－b上存在一点P(x0，y0)(x0∈(0，e－1))，满足：

①直线OP为曲线f(x)的切线；

②直线OP与曲线g(x)＝ex的一条过原点的切线l垂直． 则实数b的取值范围为( )

111

A．(1－，1) B．(0，) C．(0,1－) D．(0,1)

eee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知a＝(－2,1)，b＝(m,3)，若a⊥(a＋b)，则|a－b|＝________.

14．(导学号：50604213)观察下列式子：f1(x，y)＝

x3x，f2(x，y)＝2，f(x，y)＝3y＋39y＋73

5x7x

，f4(x，y)＝4，„，根据以上事实，由归纳推理可得，当n∈N*时，fn(x，y)327y＋1381y＋23＝________.

15．已知一个圆锥内接于球O(圆锥的底面圆周及顶点均在球面上)，若球的半径R＝5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为________．

an＋6－ann3

16．已知数列{an}满足a1＝，若≥3≥an＋2－an，则a2017＝________.

1

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分．

17．(导学号：50604214)(12分)

1

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C＝－.

4

(Ⅰ)若a＋b＝5，求△ABC面积的最大值；

(Ⅱ)若a＝2,2sin2A＋sin Asin C＝sin2C，求b及c的长．

18.(导学号：50604215)(12分)

甲、乙两家快餐店对某日7个时段光顾的客人人数进行统计并绘制茎叶图如图所示(下面简称甲数据、乙数据)，且乙数据的众数为17，甲数据的平均数比乙数据平均数少2.

(Ⅰ)求a，b的值，并计算乙数据的方差； (Ⅱ)现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m，n，并进行对比分析，有放回的选取2次，记m＞n的次数为X，求X的数学期望E(X)．

19. (导学号：50604216)(12分)

已知三棱柱ABC－A1B1C1如下图所示，其中CA⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝60°，且AB＝2AC，E为BB1的中点，F为CB1的中点．

(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面CAA1C1； (Ⅱ)求二面角E－AF－B1的余弦值．

20.(导学号：50604217)(12分)

x2y2

已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为22，其上下顶点分别为C1，C2，点A(1,0)，

ab

B(3,2)，AC1⊥AC2.

(Ⅰ)求椭圆E的方程以及离心率；

(Ⅱ)点P的坐标为(m，n)(m≠3)．过点A任意作直线l与椭圆E相交于M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．

21.(导学号：50604218)(12分)

e

已知x∈(1，＋∞)，函数f(x)＝ex＋2ax(a∈R)，函数g(x)＝|－ln x|＋ln x，其中e为自

x

然对数的底数．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)证明：当a∈(2，＋∞)时，f′(x－1)>g(x)＋a.

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(导学号：50604219)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

π

以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知A(2，π)，B(2，)，圆C的

2

极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.F为圆C上的任意一点．

(Ⅰ)写出圆C的参数方程； (Ⅱ)求△ABF的面积的最大值．

23．(导学号：50604220)[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (Ⅰ)解不等式：f(x)<2；

7

(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)≥t2－t恒成立，求实数t的取值范围．

2

基础模拟(四)

2i1－i2i

1．C 依题意，＝＝1＋i，

1＋i1＋i1－i

故z2＝(1＋i)2＝2i.

a1＋a7a1＋a7

2．B ∵×7＝35，∴a4＝＝5.

22

3．D 函数y＝ln|x|是偶函数，当x＞0时，y＝ln|x|＝ln x，函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数．

ππ2

4．A 取x＝0，则20＝30＝1，故命题p为假；sin＝cos＝，故命题q为真，故(綈

442

p)∧q为真．

5．D 6．C 7．B

2

8．C 若A参加，则共有C14A2＝8种不同的方案；若A不参加，B，C中一人参加，则233

有C12C5A3＝120种不同的方案；若A，B，C均不参加，则有A5＝60种不同的安排方案．故共有188种不同的方案．

2π

9．D 由图可知T＝π，故ω＝＝2，

Tπ2

故f(x)＝2cos(2x－φ)，将A(，2)代入可知2cos(π－φ)＝2，故cos(π－φ)＝，因为

22

3π

φ∈[0，π]，故φ＝，故A正确；

4

15π3π

将x＝代入f(x)＝2cos(2x－)中，

8415π15π3ππ故f()＝2cos(－)＝－2，故B正确；将函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位，

8448

π

得到y＝2sin(2x－)的函数图象，

4

3ππππ9π13π

因为f(x)＝2cos(2x－)＝2cos(2x－－)＝2sin(2x－)，故C正确；函数f(x)在[，]442488

上先增后减，故D错误．

10．D 作出该几何体的三视图对应的几何体在正方体中的直观图，如图所示，观察可

11178知，S△ABD＝S△BCD＝×3×4＝6，S△ABC＝×42×4＝82，S△ADC＝×43×5×＝226.

22215

y＝kx＋b，

11．A 设直线MN：y＝kx＋b，联立2得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，

y＝4x，4－2kb

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，故x1＋x2＝，故由抛物线定义可知

k24－2kb2－kb2

n＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋2＝＋2，线段MN的中点为(2，)， 2kkk

故线段MN的垂直平分线的方程为

2－kb21

y－＝－(x－2)，令y＝0， kkk

2－kb

解得x＝2＋2＝a，所以2a－n＝2.

k

y112．C 依题意可设l的方程为y＝kx，切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，k＝g′(x1)＝ex1＝，

x1

11a

∴x1＝1，y1＝e，k＝e，∴直线OP的斜率k0＝－，直线OP的方程为y＝－x，∴k0＝

eex0＋1

1y011

－1＝－＝，∴y0＝－x0，a＝(1－)(x0＋1)；

ex0ee又y0＝aln(x0＋1)－x0－b，

11

∴－x0＝(1－)(x0＋1)ln(x0＋1)－x0－b，

ee

1

即b＝(1－)[(x0＋1)ln(x0＋1)－x0]，

e

x0∈(0，e－1)，

令m(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－x，x∈(0，e－1)，

∵m′(x)＝ln(x＋1)>0，∴m(x)在(0，e－1)上单调递增，∴m(x)∈(0,1)

1

即实数b的取值范围为(0,1－)．

e

13．210

2n－1xx1·x3·x

14.nn＝1， n 因为f1(x，y)＝1，f2(x，y)＝223y＋2n－1＋23y＋33·y＋1＋23·y＋3＋22

2n－1x5·x

f3(x，y)＝33. 3，„，由归纳推理可知，fn(x，y)＝nn3y＋5＋23y＋2n－1＋2n

128

15.π 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝2r.由题意知球心在圆锥内，

3

如图所示，得OA＝2r－5，由勾股定理可得52＝r2＋(2r－5)2，解之得r＝4或r＝0(舍去)，

11128

从而r＝4，h＝8，则V圆锥＝πr2h＝π×42×8＝π.

333

32017an＋6－ann16. ≥3≥an＋2－an⇔an＋2≤an＋3n且an＋6≥an＋91·3n，

1由an＋2≤an＋3n得

3

a2017≤32015＋a2015≤32015＋32013＋a2013≤„≤32015＋32013＋„＋31＋a1＝(91008－1)＋a1，

8

n

由an＋6≥an＋91·3得

2011

a2017≥91·3＋a2011≥91·(32011＋32005)＋a2005≥„≥91(32011＋32005＋„＋31)＋a1 31008310083100832017＝(9－1)＋a1，故a2017＝(9－1)＋a1＝·9＝. 8888

11017．解：(Ⅰ)因为cos 2C＝1－2sin2C＝－，且0442

11010a＋b25105

故S△ABC＝absin C＝ab≤·＝，当且仅当a＝b＝时，取“＝”，

2884322

2510

即△ABC面积的最大值为.4分

32

(Ⅱ)2sin2A＋sin Asin C＝sin2C， 故2sin2A＋sin Asin C－sin2C＝0， 故(2sin A－sin C)(sin A＋sin C)＝0， 即2sin A＝sin C，

当a＝2,2sin A＝sin C时，即2a＝c，解得c＝4，

1

由cos 2C＝2cos2C－1＝－，且04

6

得cos C＝±，

4

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2±6b－12＝0，解得b＝6或b＝26，

b＝6，b＝26，所以或12分

c＝4c＝4.

6＋7＋8＋13＋15＋15＋20

＝12，

7

故乙数据的平均数为14，故8＋9＋10＋15＋17＋17＋20＋b＝98，解得b＝2，

1160

故乙数据的方差s2＝(36＋25＋16＋1＋9＋9＋)＝.6分

77

1

(Ⅱ)依题意，X的可能取值为0,1,2，可知从甲、乙两组数据中各随机选一个，共有C17C7

＝49种选法，其中m＞n的选法有3＋3＋3＋6＝15种，故从甲、乙两组数据中各随机选一

15

个，其中m＞n的概率为，

49151530

易知X～B(2，)．故E(X)＝2×＝.12分

494949

19．解：(Ⅰ)∵四边形ABB1A1是菱形，∠AA1B1＝60°＝∠ABB1， ∴△ABB1是正三角形．又BE＝B1E， ∴AE⊥BB1，又AA1∥BB1，则AE⊥AA1， ∵CA⊥平面ABB1A1，∴CA⊥AE.

又AA1 ∩CA＝A，∴AE⊥平面CAA1C1，

而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面CAA1C1.4分

→→→

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AE⊥平面CAA1C1，∴AE，AC，AA1两两垂直，以AE、AA1、AC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB＝2a，∴CA＝a，

则C (0,0，a)，E(3a,0,0)，B1 (3a，a,0)，

31aF(a，a，)． 222

18．解：(Ⅰ)由众数定义可知a＝7，甲数据的平均数为

→AC＝0，m·设平面AFB1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则

→AB1＝0，m·0，0，a＝0，x1，y1，z1·

即⇒

3a，a，0＝0x1，y1，z1·

z1＝0，

∴可取m＝(1，－3，0)， 3x1＋y1＝0，

→AE＝0，n·

设平面AEF的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则

→AF＝0，n·x，y，z·3a，0，0＝0，222

即⇒ 31a

x，y，z·a，a，＝0222222

x2＝0， 3x＋y＋z＝0，222

∴可取n＝(0，－1,1)，

m·n

∴cosm，n＝ |m|·|n|

1，－3，0·0，－1，16＝＝，

42×2

又二面角E—AF—B1为锐角，

6

.12分 4

20．解：依题意，2c＝22，故c＝2， 点C1(0，b)，C2(0，－b)， ∴二面角E－AF－B1的余弦值为

因为AC1⊥AC2，所以b＝1，所以a＝b2＋c2＝3，

x22

所以椭圆的方程为＋y＝1，

3

c6

离心率e＝＝.4分

a3

(Ⅱ)m，n的关系为m－n－1＝0，证明如下： 设直线MB，BP，NB的斜率分别为k1，k2，k3，

x＝1，266

①当直线l的斜率不存在时，由x解得x＝1，y＝±.不妨设M(1，)，N(1，233

3＋y＝1－6

)， 3

662－2＋33

因为k1＋k3＝＋＝2，

22

n－2

又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1，所以m，n的关系式为＝1，即m－n－1＝0.6分

m－3

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．

x22

将y＝k(x－1)代入＋y＝1整理化简得，

3

222

(3k＋1)x－6kx＋3k2－3＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

3k2－36k2

则x1＋x2＝2，x1x2＝2.

3k＋13k＋1

又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

2－y12－y2

所以k1＋k3＝＋

3－x13－x2

2－y13－x2＋2－y23－x1＝ 3－x13－x2

[2－kx1－1]3－x2＋[2－kx2－1]3－x1＝ x1x2－3x1＋x2＋9

2kx1x2－4k＋2x1＋x2＋6k＋12＝

x1x2－3x1＋x2＋93k2－36k2

2k×2－4k＋2×2＋6k＋12

3k＋13k＋1＝

3k2－36k2

－3×2＋93k2＋13k＋1

212k2＋6n－2＝＝2.所以2k2＝2，所以k2＝＝1，所以m，n的关系式为m－n－1＝0. 212k＋6m－3

综上所述，m，n的关系式为m－n－1＝0.12分

e

21．解：(Ⅰ)依题意，f′(x)＝ex＋2a，当2a≥－e，即a≥－时，函数f′(x)>0在(1，

2

＋∞)上恒成立，此时f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；

e

当2a<－e，即a<－时，令f′(x)>0，解得x>ln(－2a)，令f′(x)<0，解得12

故函数f(x)的单调增区间为(ln(－2a)，＋∞)，单调减区间为(1，ln(－2a))．

ee

综上所述，当a≥－时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；当a<－时，函数f(x)的单调

22

增区间为(ln(－2a)，＋∞)，

单调减区间为(1，ln(－2a)).4分 (Ⅱ)f′(x－1)>g(x)＋a⇔

e－

ex1＋2a>|－ln x|＋ln x＋a⇔

x

e－

ex1＋a－ln x>|－ln x|，

xee1－

设p(x)＝－ln x，q(x)＝ex1＋a－ln x，故p′(x)＝－2－<0，∴p(x)在x∈(1，＋∞)上

xxx

为减函数，又p(e)＝0，∴当1e时，p(x)<0；

e－

当1x

ee－－

设m(x)＝－ex1－a，则m′(x)＝－2－ex1<0，∴m(x)在x∈(1，e]上为减函数，

xx

∴m(x)2，∴m(x)<0，故f′(x－1)>g(x)＋a，

e－－

当x>e时，|p(x)|－q(x)＝2ln x－－ex1－a<2ln x－ex1－a，

x

222－－－－

设n(x)＝2ln x－ex1－a，则n′(x)＝－ex1，令k(x)＝－ex1，k′(x)＝－2－ex1<0；

xxx

2－

∴n′(x)在x>e时为减函数，∴n′(x)e－

∴n(x)在x>e时为减函数，∴n(x)g(x)＋a， 综上所述，f′(x－1)>g(x)＋a.12分

22．解：(Ⅰ)因为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0，故x2＋y2－6x＋8y＋21＝0，即(x－3)2

x＝3＋2cos θ，

＋(y＋4)＝4，故圆C的参数方程为(θ为参数).5分

y＝－4＋2sin θ

2

(Ⅱ)易知A(－2,0)，B(0,2)，故直线AB的方程为x－y＋2＝0，

|2cos θ－2sin θ＋9|

点F(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，

2

1

△ABF的面积S＝×|AB|×d

2

π

＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|22sin(－θ)＋9|，

4

所以△ABM面积的最大值为9＋22.10分 23．解：(Ⅰ)依题意，|x－2|－|x＋1|<2，

若x<－1，则原式化为2－x＋x＋1＝3>2，故不等式无解；

11

若－1≤x≤2，则原式化为2－x－x－1＝1－2x<2，解得x>－，故－22

若x>2，则原式化为x－2－x－1＝－3<2，不等式恒成立，故x>2，

1

综上所述，不等式f(x)<2的解集为(－，＋∞).6分

27

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的最小值为－3，故依题意，－3≥t2－t，

2

33

即2t2－7t＋6≤0，≤t≤2，故实数t的取值范围为[，2].10分

22