2021年上海市松江区中考数学二模试卷(学生版+解析版)

2021年上海市松江区中考数学二模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是( ) A．8 B．6 C．1 2D．0.2

2．（4分）将抛物线y(x2)21向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是( ) A．(2,4)

B．(1,1)

C．(5,1)

D．(2,2)

3．（4分）关于x的一元二次方程kx24x10有两个实数根，则k的取值范围是( ) A．k4

B．k4

C．k4且k0

D．k4且k0

4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A．平均数

B．众数

C．方差

D．频数

5．（4分）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是( ) A．4

B．5

C．10

D．15

6．（4分）已知O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB2，如果B与O有公共点，那么B的半径r的取值范围是( ) A．r1

B．r5

C．1r5

D．1r5

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算：8 ．

8．（4分）分解因式：a24b2 ． 9．（4分）方程2x31的解是 ．

10．（4分）数0.00035用科学记数法表示为 ． 11．（4分）用换元法解方程方程是 ．

12．（4分）已知反比例函数y的取值范围是 ．

13．（4分）布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋

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1

3

x12xx13时，设y，那么原方程化成关于y的整式xx1xk2的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则kx

中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 ．

14．（4分）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为 ．

15．（4分）如图，已知ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设ABa,ADb，用a,b表示AF为 ．

16．（4分）已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为 ． 17．（4分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15．已知山坡AB的坡度i1:3，且H、A、（结果保留根号形式） B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 米．

18．（4分）如图，已知RtABC中，ACB90，AC6，BC8．将ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE//BC，则

线段EF的长为 ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）先化简，再求值：

2x651(x2)，其中x． x2x22第2页（共19页）

x3y4①20．（10分）解方程组：2． 2x4xy5y0②21．（10分）如图，已知RtABC中，ACB90，cotBAC2，BC4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的O经过点B． （1）求O的半径；

（2）点P是劣弧AB的中点，求tanPAB的值．

22．（10分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：

（1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域） （2）求两车的速度．

23．（12分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABC90，AEBD，垂足为E，联结CE，作EFCE，交边AB于点F． （1）求证：AEF∽BEC； （2）若ABBC，求证：AFAD．

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24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线yax2bx5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线的顶点在OBC的内部，求a的取值范围．

25．（14分）如图，已知在ABC中，BCAB，BD平分ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BEBA，过点A作AG//DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）求证：AB2BGBC；

（3）若ABAC，BGCE，联结AE，求

SADE的值． SABC

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2021年上海市松江区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是( ) A．8 B．6 C．1 2D．0.2

【解答】解：A、822，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

B、6不能化简，是最简二次根式，符合题意；

C、

12，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 22D、0.2故选：B．

5，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 52．（4分）将抛物线y(x2)21向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是( ) A．(2,4)

B．(1,1)

C．(5,1)

D．(2,2)

【解答】解：将抛物线y(x2)21向上平移3个单位，得y(x2)213，即

y(x2)24， 顶点坐标为(2,4)， 故选：A．

3．（4分）关于x的一元二次方程kx24x10有两个实数根，则k的取值范围是( ) A．k4

B．k4

C．k4且k0

D．k4且k0

【解答】解：方程有两个实数根，

根的判别式△b24ac164k0，

即k4，且k0． 故选：D．

4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A．平均数

B．众数

C．方差

D．频数

【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，

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故选：C．

5．（4分）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是( ) A．4

B．5

C．10

D．15

【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得93x93，即6x12． 因此，本题的第三边应满足6x12， 只有10符合不等式， 故选：C．

6．（4分）已知O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB2，如果B与O有公共点，那么B的半径r的取值范围是( ) A．r1

B．r5

C．1r5

D．1r5

【解答】解：如图，当B内切于O时，B的半径为321， 当O内切于B时，B的半径为325，

如果B与

O有公共点，那么B的半径r的取值范围是1r5，

故选：D．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算：8 2 ． 【解答】解：8382． 故答案为2．

8．（4分）分解因式：a24b2 (a2b)(a2b) ． 【解答】解：a24b2(a2b)(a2b)． 故答案为：(a2b)(a2b)．

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1313

9．（4分）方程2x31的解是 x2 ． 【解答】解：2x31， 两边平方得，2x31， 解得，x2；

经检验，x2是方程的根； 故答案为x2．

10．（4分）数0.00035用科学记数法表示为 3.5104 ． 【解答】解：数0.00035用科学记数法表示为3.5104． 故答案为：3.5104． 11．（4分）用换元法解方程

x12xx13时，设y，那么原方程化成关于y的整式xx1x方程是 y23y20 ． 【解答】解：设

x1x1． y，则

x1yx23． y所以原方程可变形为：y方程的两边都乘以y，得

y223y． 即y23y20． 故答案为：y23y20． 12．（4分）已知反比例函数y的取值范围是 k2 ． 【解答】解：反比例函数yk20，

k2的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则kxk2的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小， x解得k2． 故答案为k2．

13．（4分）布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 【解答】解：一个布袋里装有4个红球和5个白球，

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4 ． 9

摸出一个球摸到红球的概率为：

44． 459故答案为：

4． 914．（4分）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为 0.1 ． 【解答】解：第5组的频数为：401310674， 第5组的频率为：故答案为：0.1．

15．（4分）如图，已知ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设ABa,ADb，用a,b表示AF为 a2b ．

40.1， 40

【解答】解：在ABCD中，CD//AC，则CE//AB．

E是边CD的中点，

CE是ABF的中位线， BCCF．

在四边形ABCD中，ADBC，ADb，则BF2BC2AD2b． ABa，

AFABBFa2b．

故答案是：a2b．

16．（4分）已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为 33 ． 【解答】解：如图所示：

连接OA、OB、OC，过O作ODBC于D， 正三角形ABC外接圆的半径为2， OAOBOC2，ABC60， OBD30，

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ODBC，

11ODB90，ODOB21，

22BD3OD3， BC2BD23，

SABC1111BCADBC(AOOD)23(21)23333， 2222故答案为：33．

17．（4分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15．已知山坡AB的坡度i1:3，且H、A、（结果保留根号形式） B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 1003 米．

【解答】解：过B作BMHA于M，过B作BN//AM，如图所示： 则AMB90，ABNBAM，

由题意得：AB200米，PBN15，PAH60， 山坡AB的坡度i1:3， tanBAM1:3BAM30， ABN30，

PAB180PAHBAM90，ABPABNPBN45，

3， 3PAB是等腰直角三角形，

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PAAB200米，

在RtPAH中，sinPAHPHPH3， sin60PA23PA1003（米)， 2故答案为：1003．

18．（4分）如图，已知RtABC中，ACB90，AC6，BC8．将ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE//BC，则

线段EF的长为

242 ． 7

【解答】解：如图，由折叠可知，ECED，FCFD，CEFDEF，EF是CD的垂直平分线，

DE//BC，ACB90， AEDACB90， CEFDEF45， CEDECFEDF90

四边形CEDF是正方形，

设CFx，则AE6x，BF8x， 由AED∽DFB得， AEED， DFFB即，

6xx， x8x第10页（共19页）

解得，x24， 7在RtCEF中， EF2CF242， 7故答案为：242． 7

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）先化简，再求值：【解答】解：2x651(x2)，其中x． x2x222x65(x2) x2x22(x3)(x2)(x2)5 x2x22(x3)x2 2x2x452(x3) (x3)(x3)2， x3241． 当x时，原式12352x3y4①20．（10分）解方程组：2． 2x4xy5y0②【解答】解：由②，得(x5y)(xy)0， 所以x5y0③或xy0④． 由①③、①④组成新的方程组为： x3y4x3y4，． x5y0xy0解这两个方程组，

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x10x1得1，2．

y2y112

x10x1所以原方程组的解为；1，2．

y2y112

21．（10分）如图，已知RtABC中，ACB90，cotBAC2，BC4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的O经过点B． （1）求O的半径；

（2）点P是劣弧AB的中点，求tanPAB的值．

【解答】解：（1）如图1，连接OB，

在RtACB中，C90，cotBAC2，BC4，



AC2， BCAC2， 4AC8，

设O的半径为r，则OBr，oc8r， 在RtOCB中，由勾股定理得：OB2OC2BC2，

r2(8r)242， 解得：r5，

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O的半径为5；

（2）如图2，连接OP，OB，OP交AB于E，

RtOCB中，由勾股定理得：OC3，

2222RtACB中，ABACBC8445，

点P是劣弧AB的中点， OPAB， AEBE25，

OEOA2AE252(25)25， EPOPOE55，

RtAEP中，tanPABPE5555551． AE1022522．（10分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：

（1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域） （2）求两车的速度．

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【解答】解：（1）设s关于t的函数关系式为sktb，根据题意，得： 2kb150， 3kb0k150解得，

b450s150t450；

（2）由s150t450，可知甲、乙两地之间的距离为450千米，

设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为v1千米/小时，v2千米/小时，根据题意， 3v3v2450得：1，

3v3v9012v90解得1，

v602故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时．

23．（12分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABC90，AEBD，垂足为E，联结CE，作EFCE，交边AB于点F． （1）求证：AEF∽BEC； （2）若ABBC，求证：AFAD．

【解答】解：（1）证明：

AEBD，EFCE，

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AEBCEFABC90， ABEEAFABECBE90， EAFCBE，

AEFBEFBECBEF90， AEFBEC， AEF∽BEC；

（2）证明：AD//BC，ABC90，

BAD180ABC90，

AEBD，

AEB90BAD，

ABEDBA， ABE∽DBA，



AEAD， BEABAEF∽BEC，



AEAF， BEBCAFAD， BCABABBC，

AFAD．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线yax2bx5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线的顶点在OBC的内部，求a的取值范围．

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【解答】解：（1）在y3x3中，令x0得y3，令y0得x1， A(1,0)，B(0,3)，

点B向右平移5个单位长度，得到点C． C(5,3)；

（2）

A(1,0)，抛物线yax2bx5a经过点A，

0ab5a，即b4a，

抛物线yax2bx5a对称轴为xb4a2； 2a2a（3）对称轴x2与BC交于D，与OC交于E，如图：

设OC解析式为ykx， (5,3)， 35k，

k3， 53OC解析式为yx，

5第16页（共19页）

令x2得y66，即E(2,)， 55由（1）知b4a，

抛物线为yax24ax5a， 顶点坐标为(2,9a)，

抛物线的顶点在OBC的内部，则顶点在D和E之间， 而D(2,3)，



69a3， 512a．

31525．（14分）如图，已知在ABC中，BCAB，BD平分ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BEBA，过点A作AG//DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）求证：AB2BGBC；

（3）若ABAC，BGCE，联结AE，求

SADE的值． SABC

【解答】解：（1）证明：如图，

BD平分ABC，

ABFEBF， BABE，BFBF，

ABFEBF(SAS)，

AFEF，

同理可得ABDEBD(SAS)，

ADED，ADBEDB，

AG//DE，

AFDEDF，

第17页（共19页）

AFDADF， AFAD，

AFFEEDDA，

四边形AFED是菱形．

（2）证明：由（1）得ABFEBF， BAGBEF，

四边形AFED是菱形， AD//FE， BEFC， BAGC， ABGCBA， ABG∽CBA，



ABBG，即AB2BGBC． BCAB（3）由（2）得，ABG∽CBA，ABAC， AGBG， GABGBA， AGC2GAB， BGCE， BECG， CGCA， CAGCGA， CAG2DAE， DAEABC， DEAACB， DAE∽ABC，



SADEAE2()， SABCBCAB2BGBC，ABBE，BGEC， BE2ECBC，

点E是BC的黄金分割点，

第18页（共19页）

BE51BC2， 

CE35BC2， EACC，

CEAE，



AE35BC2， 

SADES7352．ABC

第19页（共19页）