中考圆的复习资料(经典+全)

24.1 圆

24.1.1 圆

知识点：关于圆的基本概念

圆：在一个平面内，一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA的长度叫做这个圆的半径。 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 归纳：

（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的ABC。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的BC。 题型

1. 在平面直角坐标系中， ⊙O的圆心在原点上，半径为 2，则下面各点在⊙O上的是（ ） A．（1，1） B．（－1， 3 ） C．（－2，－1） D．（ 2 ，－2） 2. 经过圆内一点（非圆心）作圆的最长弦有（ ）

A．1 条 B．2 条 C．3 条 Ｄ．无数条

3. 下列命题中正确的是________。

A.弦是圆上任意两点之间的部分 B.弧是半圆，半圆是弧 C.长度相等的弧是等弧 D.半径和直径都是弦 4. 下列说法正确的是__________。

A.弦是直径 B.半圆是弧 C.过圆心的线段是直径

D.半圆是最长的弧 E.直径是最长的弦 F.半径相等的两个圆是等圆 5. 圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的______，半径决定圆的______， 二者缺一不可。 6. 在同一平面内，点 P 到圆上的点的最大距离为 8cm，最小距离为 2 ㎝，则圆的半径为____。

B7. 把圆规的两脚分开，使两脚的距离是4厘米，这样画出的圆的半径是（ ）。 DI8. 如图，请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧。

OEF9. 画一画。

已知线段AB=5cm，作图说明满足下列要求的图形。

AC （1）到点A的距离等于3cm的所有的点组成的图形。 （2）到点B的距离等于2cm的所有的点组成的图形。 10. 求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。

24.1.2 垂直于弦的直径 知识点1

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点2 垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 3.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧。

4.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧。

5.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。 6.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦。

题型

1.在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD，（2）AB平分CD ，（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ） A、3 B、2 C、1 D、0 2.下列命题中错误的命题有（ ）

（1）弦的垂直平分线经过圆心 （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）•梯形的对角线互相平分 （4）圆的对称轴是直径． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. 圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，是___________所在的直线；圆还是中心对称图形，对称中心是 ______。

4. 若⊙O的直径为10，弦AB=8，E是AB上任意一动点，则OE的最小值是______________。

5. 半径为5的⊙O内有一点P，且OP=3，则过点P的最短的弦长是________，最长的弦长是__________。 6. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=30°，则O到AB的距离是___________cm， AB=_________cm。

7. “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》 中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解

o 决下面的问题：“CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，

A B

AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________。 第6题图

8.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.

9. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求 AD的长。

10. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。

CC

OAMBB DD A

第8题图 第9题图 第10题图 第11题图

11. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。

12.有一圆弧形门拱的拱高AB为1，跨度CD为4，求这个门拱的半径。

24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点1 定义

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。

知识点2 定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。

题型

1. 如果两条弦相等，那么（ ）

A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 2.下列说法正确的是（ ）

A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 3. 线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交 弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别 交

弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（ ） A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC 4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____. 5. 如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____.

6. 如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________． 7. 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，弧AD=弧BC, 求证：AB=CD。 8. 如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA, 求证：AC=AE。

CCCAODCEEBADOBODBAO

AEB 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图

9. 如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N

在⊙O上．

（1）求证：AM=BN；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AMMNNB成立吗？ 10.如图，⊙O1和⊙O2是等圆，P是O1O2的中点，过P作直线AD交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D，求证：AB=CD。

第9题图 第10题图

24.1.4 圆周角 知识点1 定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

知识点2 圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

知识点3

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形性质：

圆内接四边形的对角互补。

题型

1. 下列说法正确的是（ ）

A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 2．下列说法错误的是（ ）

A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等 3. 已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（ ）

A．40° B．80° C．160° D．120°

4. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )

A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°

5. △ABC三个顶点A、B、C都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )

A.40° B.50° C.70° D.110°

6.等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是弧AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是 ________。

7. ⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，

则此弦所对的圆周角等于 。

8. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， 若∠B=60°， 则∠A等于_________。

9. 如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD. (1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断 ∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),

∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论。

第8题图

APOCBD

第9题图

10. 如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点

∠BMO=120°。

（1）求证：AB为⊙C直径。 （2）求⊙C的半径及圆心C的坐标。

11. 如图，⊙O的直径AB=8cm，∠CBD=30°，求弦DC的长。

yACBMOxAD30CAOBCDOB

第10题图 第11题图 第12题图

12. 如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD， 求弦AC的长。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

知识点1 点和圆的位置关系

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则： （1）点P在圆外  d>r （2）点P在圆上  d=r （3）点P在圆外  d知识点2 确定圆的条件

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点3

三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 知识点4 反证法

假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。

题型

1. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）。

A.

B.

C.

或

D. a+b或a－b

2.三角形的外心是( )

A.三条中线的交点 B.三条边的中垂线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点 3.下列命题不正确的是( )

A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个 C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆 4.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )

A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个

5.锐角三角形的外心位于________,直角三角形的外心位于_______________,钝角三角形的外心位于 ______。

6.下列说法正确的是：_______。

（1）经过三个点一定可以作圆（2）任意一个三角形一定有一个外接圆（3）任意一个圆一定有一内接三角形，并且只有一个内接三角形（4）三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等 7. 边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________。

8. △ABC的三边为2,3, 13,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____。

9. 矩形ABCD边AB=6cm,AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A，则点B在⊙A______，点C在⊙A_______，点D在⊙A________， AC与BD的交点O在⊙A_________； (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，

A则⊙A的半径r的取值范围是_______。

10. 如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置 （不写作法,尺规作图,保留作图痕迹)。

BC

0

11. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90,AC=12,AB=13,CD⊥AB,以C为圆心，5为半径作⊙C，试判断A,D,B 三点与⊙C的位置关系。

2

12. 如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x-7x+12=0的两个根(AD△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积。

CA

CBD

O

BDA

第11题图 第12题图

13. 已知△ABC内接于⊙O，OD⊥BC，垂足为D，若BC=23，OD=1，求∠BAC的度数。（注意：分类讨论）

24.2.1 直线和圆的位置关系

知识点1 基本概念

1. 直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。

2. 直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。 3. 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

知识点2 直线和圆的位置关系的判定

设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则： 直线l和⊙O相交  dr

题型

1. 在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）

A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切 2. 已知⊙O的半径为5 cm,直线l上有一点Q且OQ =5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( ) A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交

3. 已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，则圆心到直线的距离是________。 4. 等边三角形ABC的边长为2，则以A为圆心，半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是________；以A为圆心，__________为半径的圆与直线BC相切。 5. 已知⊙O的直径为10cm。

（1）若直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离为______； （2）若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离为______； （3）若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离为______。 6.. 如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0）， B（8，0），与y轴相切于点C， 求圆心M的坐标．

yCOAMB图4x

知识点3

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

题型

1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）

A.经过半径的外端点的直线是圆的切线 B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线

C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2. 如图，BC是⊙O直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A，若PA＝3，OB＝1，则∠APC等于（ ） A. 15 B.30 C.45 D.60

0

0

0

0

0

3. 如图，线段AB过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是（ ）

A.150 B.135 C.120 D.100则CD的长为（ ）

A.6 B.63 C.3 D.33 5. PA是⊙O的切线，切点为A，PA=23，∠APO=30°，则⊙O的半径长为_______．

0000

4.如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，

6. 如图，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连结BD，则图中直角三角形有 ______个．

ADACCOBP30AOCBOBD 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图

7. 如图，∠PAQ是直角，⊙O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点. （1）BT是否平分∠OBA？说明你的理由；

（2） 若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O 的半径R.

8. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°， 求证：DC是⊙O的切线。

9. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。 试说明：C是⊙D的切线。

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

QCO. A C BPTAO B D

10. 已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上

2底 AD与底 BC 是方程 x－10x + 16 = 0的两根，求 ⊙E 的半径 r 。

11. 如图，△ABC内接于⊙O ，直线EF经过 B 点，∠CBF ＝∠A。 求证：EF 是⊙O 的切线。

A C O

B E 第11题图

F

12. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，

C D A B 交AC于点D，其中DE∥OC。 （1）求证：AC为⊙O的切线。

（2）若AD＝23，且AB、AE的长是关于x的

方程x2－8x＋k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长。

13. 如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为 A 第12题图

F 直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为 G D F，交CB的延长线于点E。

（1）求证：直线EF是⊙O的切线。 第13题图

C E （2）求DF、DE的长。. O B

14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，以

C CD为半径作⊙C与AE切于点E，过点B作BM∥AE。

（1）求证：BM是⊙C的切线。 第14题图 E （2）作DF⊥BC于F，若AB＝16，∠DBM＝60°，求EF的长。

D A E C 15. 如图，AB为⊙O的直径，D为BE的中点，DC⊥AE

D 交AE的延长线于C。

（1）求证：CD是⊙O的切线。 A B

O （2）若CE＝1，CD＝2，求⊙O的半径。 第15题图

M B

16. 如图，钝角△ABC，CD⊥AC，BE平分∠ABC交 AC于E，且∠CEB＝45°，以AD为直径作⊙O。

A （1）求证：BC是⊙O的切线。

(2）若⊙O直径为10，AC＝BC，求△ABC的周长。 第16题图

E O C B

D

17. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN， 若∠MAC＝∠ABC．

（1）求证：MN是半圆的切线。

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，

过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG。 第17题图

知识点4 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

题型

1. 如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论错误的是（ ）

A. ∠1=∠2 B.PA＝PB C.AB⊥OP D.PA2PCPO

2. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B. 如果OP＝4，PA23，那么∠AOB等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°

3. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为（ ） A．93 B．9（3-1） C．9（5-1） D．9

4. 有圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（ ） A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a

5. 一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60，则OP＝( )

A．50cm B．253cm C．

503cm D．503cm 3

OAC12DPAOCBPB 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图

6. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的切线分别相交于C、D，•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________。

7. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，BAC30°. （1）求P的大小。（2）若AB2，求PA的长（结果保留根号）。

第7题图 第8题图

8. 如图，⊙O的直径AB2，AM 和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C。设ADx，BCy。

（1）求证：AM∥BN （2）求y关于x的关系式

9.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于

点Q，则当PQ最小时，求P点的坐标是多少？

第9题图 第10题图

10. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动（不运动至A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求⊙O的半径。

11. 已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O ，交AN于D、E两点，设AD=x. ⑴ 如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；

⑵ 如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°。

M C B A D O M 知识点5

． E N A D O E N 图（1） 图（2）

内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

题型

1. 已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（ ） A．三条中线交点 B．三条高的交点

C．三条角平分线交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长 线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于（ ）

A. B.

4535 C. D.

46

3. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，

FOBCA0

AOBDC E 若∠B＝50，∠C＝60，连结OE、OF、DE、DF， 则∠EDF等于（ ）

A.45 B.55

C.65 D.70

4. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________。

5. 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，如图，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三 条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置。

6. 如图，Rt△ABC 的两条直角边长分别为5和12，则△ABC 的内切圆到半径为多少？ 7. 等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10 cm，求它的内切圆的半径。 8. 如图，在Rt△ABC中，C90°，AC6，BC8．求△ABC的内切圆半径r。

0

0

0

0

00

A F

5

O

D

第5题图 第 第8题图 C E 6题图 B

24.2.3 圆和圆的位置关系

知识点1 圆和圆的位置关系概念

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部； (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部； (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部。

知识点2 两圆位置关系判定

设两圆半径分别为r1、r2，圆心距为d，则 (1)两圆外离d>r1+r2 (2)两圆外切d=r1+r2

(3)两圆相交│r2-r1│题型

1. 下列说法正确的是（ ）

A. 若两圆只有一个交点,则这两圆外切

B. 如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离 C. 当O1O2=0时，两圆位置关系是同心圆

D. 若O1O2=1.5，r=1，R=3，则O1O23.如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（ ） A.5cm B.11cm C.3cm D.11cm或5cm

4. ⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以d2RP2为圆心r2,且与⊙O 相切的圆的半径一定是2dR( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或4

5. ⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O1O2O3 的形状是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

6. 如图,⊙O的半径为r,⊙O1、⊙O2的半径均为r1,⊙O1与⊙O内切,沿⊙O 内侧滚动m圈后回到原来的位置,⊙O2与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置,则m、n的大小关系是( ) A.m>n B.m=n C.mOO2A1OO1O2 第6题图 第7题图

7. 如图,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线, 切点为A,则O1A的长为( ) A.2 B.4 C.3 D.5

)

8. 已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______。 9. 圆心都在y轴上的两圆⊙O1、⊙O2，⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为1,O1 的坐标为(0,-1),O2的坐标为(0,3),则两圆⊙O1与⊙O2的位置关系是________。

10. ⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O2,若∠AO1B=90°,那么∠AO2B 的度数是_______。

11. 矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在⊙C内, 点B在⊙C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________。

22

12. 两圆半径长分别是R和r(R>r),圆心距为d,若关于x的方程x-2rx+(R-d)=0 有相等的两实数根,则两 圆的位置关系是_________。

13. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm、5cm，且它们相切，则O1O2=_________。 14. 相交两圆的公共弦长6，两圆的半径分别为

2

32和5，则这两圆的圆心距为_________。

15. 已知△ABC，三边长分别为6、 8、10，分别以三角形的个顶点为圆心，做两两相外切的三个圆，则这三个圆的半径分别是____________。

16. 已知⊙O1与⊙O2相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径。

17. 某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长。

DAA

O2EOCDOF12

O1 BBC

第17题图 第18题图

18. 如图,⊙O1、⊙O2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,两圆的连心线交⊙O1于E、D,交⊙O2于F,交AB于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式。

24.3 正多边形和圆

知识点1 正多边形和圆的关系

定理1：把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。 定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。

知识点2 正多边形有关概念

正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

知识点3 正多边形的有关角

1. 正多边形的中心角都相等，中心角= （n为正多边形的边数）

2. 正多边形的每个外角= （n为正多边形的边数） 题型

360n360n1. 以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 2. 以下说法正确的是

A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形 B．正n边形的对称轴不一定有n条 C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数 D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形

3. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定

4. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．°

5. 将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ） A.

6. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）

2．2．45°7 A．60°B C．30° C 、 D22．5° D、(3 2 3 )a B、 a2 a2 (22-2)a29的外接圆，弦AB2的弦心距OF叫正五边形ABCDE 7. ⊙O是正五边形ABCDE

的________，它是正五边形ABCDE的________圆的半径。

8. 两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________。 9. 圆内接正方形的半径与边长的比值是________。

10. 圆内接正六边形的边长是8 cm，那么该正六边形的半径为________，边心距为________。 11. 圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。 12. 正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

13. 正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。 14. 周长相等的正方形和正六边形的面积分别为S4和S6，则S4和S6的大小关系为__________。 15. 四边形ABCD为⊙O的内接梯形，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那么图中△OAB的边长AB是______，△ODA的周长是_______，∠BOC的度数是________。

E16.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD上，则∠BEC= 。

AOBDC17. 如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。 18. 分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积。

24.4 弧长和扇形面积

知识点1 计算公式

nR180

2. 扇形面积：（由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形）

1. n°的圆心角所对的弧长：l=

nR21 方法一： S扇形＝S扇形＝lR360 方法二：2

题型

1. 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么扇形的面积是 ( )

A.５π B.１０π C.１５π D.３０π

2. 如果一条弧长等于l，它的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加（ Ａ．

）

l n Ｂ．

R 180 Ｃ．

180l RＤ．

l 360Ａ Ｑ Ｐ ）

3. 在半径为3的 Ａ．

O中，弦AB3，则AB的长为（

Ｂ．

Ｃ．

） Ｏ

 3 2 Ｄ．2

3604. 扇形的周长为16，圆心角为，则扇形的面积是（

Ａ．16

Ｂ．32

Ｃ．

Ｃ Ｄ．16 第5题图

Ｂ

5. 如图，扇形OAB的圆心角为90，且半径为R，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（ Ａ．PQ .

6. 半径为6cm的圆中，60的圆周角所对的弧的弧长为__________。

7. 半径为9cm的圆中，长为12cm的一条弧所对的圆心角的度数为__________。

Ｂ．PQ

Ｃ．PQ

）

Ｄ．无法确定

8. 已知圆的面积为81cm，若其圆周上一段弧长为3cm，则这段弧所对的圆心角的度数为________。 9. 如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE为半径的半圆交AB于E，F两点，弦AC是小半圆的 切线，D为切点，若OA4，OE2，则图中阴影部分的面积为__________。

Ｃ A 第9题图 Ｃ 第10题图 第11题图 Ｄ C Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ Ｆ 210. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 。（单位：mm，精确到1mm） 11. 如图，在Rt△ABC中，C90，A60，AC3cm，将△ABC绕点B旋转至△ABC的位置，且使点A，B，C三点在同一直线上，则点A经过的最短路线长是 12. 已知：扇形的弧长为

cm。

22

cm，面积为 cm，求扇形弧所对的圆心角。 9913. 有一正方形ABCD是以金属丝围成的，其边长AB1，把此正方形的金属丝重新围成扇形的ADC， 使ADAD，DCDC不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果。

14. 如图，ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD的长 为πcm，弧CB的长为2πcm，AC＝4cm，求这个图形的面积。

15. 已知如图，P是半径为R的⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切

⊙O于B，∠APB=60°．求：夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积。 16. 已知扇形OAB的面积为S，∠AOB=60°．求扇形OAB的内切圆的面积。

17．若分别以线段CD的两个端点为圆心，CD长为半径的⊙C，⊙D相交于A，B．求证：分别以AB，CD为直径的两个圆的面积之和与⊙C的面积相等。

18．求证：圆心角为60°的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二。

知识点2 圆锥

1. 圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

2. 圆锥的高：圆锥的顶点到底面圆的距离，即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。 3. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径为圆锥的母线，扇形弧长为底面圆的周长。 4. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的 扇形面积。

设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为n，

S圆锥侧rlnl2 360

5. 圆锥的全面积：圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。

S圆锥全S圆锥侧S底

题型

1. 已知圆锥的高为5，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）

5 A．2π B．2π C．5π D．6π

2. 已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ） A．180° B．120° C．90° D．135°

3. 如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ） A．1∶5 B．2∶5 C．3∶2 D．2∶3

4. 边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180°, 所得几何体的表面积为（ ）

323232aaa2A． 4 B．4 C．4 D．πa

5. 若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm。 A．8 B．91 C．6 D．4

6. 在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这 个圆锥的高为（ ）cm．

53 A．2 B．15 C．7 D．13

7. 一个圆锥的高为

2

103cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）

2

2

2

A．200πcm B．300πcm C．400π cm D．360πcm

2

8. 一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ） A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm

9. 圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是____________。 10. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为________。 11. 已知圆锥的母线长6 cm，底面半径为 3 cm，圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角是__________。 12. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10 cm，则这个圆锥的表面积是________。

2

13. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为________。 14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的高。

15. 已知：一个圆锥的底半径 r=10cm，过轴的截面的顶角为60°。求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积。

16. 已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底半径和高。 17. 如图，一个圆柱的底面半径为40 cm，高为60 cm，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积。 A

第17题图 第18题图 C B 18. 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？