高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向； ②平行：α=0°；

③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：ktany1y2y2y1

x1x2x2x1 ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2 ①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直时：<1> l1x轴，即k1不存在，则k20； <2> 斜率都存在时：k1•k21 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：k1k2,b1b2； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：k1k2,b1b2； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

①点斜式：yy0k(xx0) 将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可； ②斜截式：ykxb 将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；

③两点式：带入即可；

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2) 将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接

y2y1x2x1 ④截距式：

xy1 将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可； ab ⑤一般式：AxByC0 ，其中A、B不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

①两点间距离：P1P2(x1x2)(y1y2) ②点到直线距离：d22Ax0By0CAB22

③平行直线间距离：dC1C2AB22

4、中点、三分点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2y1y2,) 222xx22y1y2,) 靠近A的三分点坐标 ②AB三分点(s1,t1),(s2,t2)：(133x2x2y12y2,) 靠近B的三分点坐标 (133 ①AB中点(x0,y0)：(中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

y 2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： ①PAPB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PAPB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

22o x ③PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0 => 必过点(-2,3)

②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：

① 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法：

DE第一种：圆的一般方程——xyDxEyF0 其中圆心C,，

2222D2E24F半径r.

2当D2E24F0时，方程表示一个圆，

当D2E24F0时，方程表示一个点当D2E24F0时，方程无图形.

DE,. 22第二种：圆的标准方程——(xa)2(yb)2r2.其中点C(a,b)为圆心，r为半径的圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：xarcos（为参数）

ybrsin注：圆的直径方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 3. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 4. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)； 直线l：AxByC0(A2B20)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

②dr时，l与C相交；， ③dr时，l与C相离.

5、圆的切线方程：

2

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R. 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

AaBbCAB22.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则联立求出k切线方程.（注：RR21过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于

X轴的直线。） 6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ

2

2

（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0

过两圆的交点的直线方程：x+y+D1x+E1y+F1- x+y+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方

程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

22

弦长的计算：AB=2*√R-d 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

2

AB=（√1+k）*∣X1-X2∣ 其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与

该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，

在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆 心坐标

2

2

2

2

圆锥曲线

椭圆

椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合 1、定义：PF1PF22a(2aF1F2) 第二定义：

PFce(0e1) dax2y2y2x22、标准方程：221(ab0) 或 221(ab0)；

abab

3、参数方程xacos （为参数）几何意义：离心角

ybsin4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率ec(0e1) aa2④准线：x（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）

c5、焦点三角形面积：SPF1F2b2tan2（设F1PF2）(推导过程必须会)

6、椭圆面积：S椭ab（了解即可）

7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（0） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法

x2y2xxyy1）切点（x0y0）已知时，221(ab0) 切线02021

ababy2x2yyxx 221(ab0) 切线02021

ababx2y22）切线斜率k已知时， 221(ab0) 切线ykxa2k2b2 aby2x2 221(ab0) 切线ykxb2k2a2 ab9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

x2y2 221(ab0) raex0（左加右减）

aby2a2 221(ab0) raey0（下加上减）

ab

双曲线

PFce(e1) 1、定义：PF1PF22a 第二定义：da

x2y22、标准方程：221(a0,b0)（焦点在x轴）

aby2x21(a0,b0)（焦点在y轴） a2b2xasec 参数方程： （为参数） 用法：可设曲线上任一点P(asec,btan)

ybtan3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) cab ③ 离心率e222c e1 aa2④ 准线x

cx2y2x2y2b⑤ 渐近线 221(a0,b0) yx或220

ababay2x2y2x2b1(a0,b0) yx或220 a2b2aba4、特殊双曲线

x2y2 ①、等轴双曲线221 e2 渐近线yx

aax2y2x2y2 ②、双曲线221的共轭双曲线221

abab 性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离（0）；② 相切（0）； ③ 相交（0） 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式

x2y221(a0,b0) 点P在右支上 rex0a（左加右减） 2ab 点P在左支上 r(ex0a)（左加右减）

y2x21(a0,b0) 点P在上支上 rey0a（下加上减） a2b2 点P在上支上 r(ey0a)（下加上减） 7、双曲线切线的求法

x2y2xxyy ① 切点P(x0,y0)已知 221(a0,b0) 切线02021

ababy2x2yyxx 221(a0,b0) 切线02021

ababx2y2b222② 切线斜率K已知 221 ykxakb(k)

abay2x2b222 221 ykxabk(k)

aba8、焦点三角形面积：SPF1F2b2cot2（为F1PF2）

抛物线

1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）

2、几何性质：P几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为P 标准方程：y2px(p0) y2px(p0)

图 像：

范 围： x0 x0 对 称 轴： x轴 x轴 顶 点： （0，0） （0，0）

22pp,0） （,0）

22离 心 率： e1 e1

pp准 线： x x

22焦 点： （

标准方程：x2py(p0) x2py(p0) 图 像：

范 围： y0 y0 对 称 轴： y轴 y轴

22

定 点： （0，0） （0，0）

pp） (0,)

22离 心 率： e1 e1

pp准 线： y y

22焦 点： （0，

x2pt223、参数方程（t为参数方程）y2px(p0)

y2pt4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦

2b2 椭圆：双曲线通径长 抛物线通径长2P

a5、直线与抛物线的位置关系

1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点）； 3）相离（没有交点） 6、抛物线切线的求法

1）切点P(x0,y0)已知：y2px(p0)的切线；y0yp(xx0)

2p 2kp2 y2px(p0):ykx

2k2）切线斜率K已知：y2px(p0):ykx2pk2 x2py(p0):ykx

22pk2 x2py(p0):ykx

22此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用

附加：弦长公式：ykxb与曲线交与两点A、B则

dABx2x11k2y2y111 2k解题指导： 轨迹问题：

(一)求轨迹的步骤

1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y） 2、立式：写出适条件的p点的集合

3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=0 4、化简：化成简单形式，并找出限制条件 5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 （二）求轨迹的方法

1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹

2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。

5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。 6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。 弦长问题：|AB|=(1k2)[(x1x2)24x1x2]。 弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。 Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知

这类问题一般可用待定系数法解决。 例1 （1994年全国）

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）

和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y=2px(p>0).

设A、B关于L的对称点分别为A、B，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

/

/2

k212k8(k21)/（16k//

,2,A（2），B）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，22k1k1k1k1/

得：k-k-1=0.解得：k=

2

1525,p=. 2515245x,抛物线C的方程为y=x. 25所以直线L的方程为：y=

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

例3 （1994年全国）

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x+y=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的

O Q N M 2

2

集合是：

P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入，

2

2

2

2

可得：(-1)(x+y)-4x+(1+4)=0.

2

2

2

2

2

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。

这种方法叫做直接法。

B C Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1．有关最值问题

例6 (1990年全国)

设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，

已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是7，

求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。

分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，

32O A x 然后利用函数的知识求其最大值。

3x2y222222

设椭圆方程为221，则由e=得：a=4b，所以x=4b-4y.

2ab设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:

|PQ|=x(y)=4b4y(y)2322223223y23y4b29(-byb). 4若b<

9911222，则-<-b,当y=-b时|PQ|max=3b3b4bb3b7.

4422解得：b=7-得:b=1,a=2.

31111>与b<矛盾；若b，则当y=-时|PQ|max=4b237,解222222．有关范围问题

例7 （2001春季高考题）

已知抛物线y=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。

（1）求a的取值范围；

2

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不

等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y=2px,得：设直线L与抛

2

4(ap)4a20物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1x22(ap),又y1=x1-a,y2=x2-a,

2x1x2a|AB|(x1x2)2(y1y2)22[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)0|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p,解得:

ppa. 24(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：

x3x1x222

ap,y32

2

2

y1y2(x1a)(x2a)p. 22所以|QM|=(a+p-a)+(p-0)=2p.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，

所以S△NAB=

122|AB||QN|p|AB|p2p2p2,即△NAB面积的最大值为2222P2。