数学笔记

（1） 数轴的概念 规定了原点 正方向 单位长度的直线叫数轴

补充知识数轴的定义包括三层含义 ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸

②数轴有三要素：原点 正方向 单位长度，三者缺一不可

③原点位置的选定，单位长度大小的确定，正方向的取向都是有实际需要规定的。

初中都是画成水平直线，取向右的方向为正方向，单位长度根据具体情况而言，

可长些，也可短些，但同一数轴的单位长度要一致。 、

（2）实数与数轴

实数与数轴上的点一一对应，即每一个点实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

补充知识点① 在数轴上表示的两个数，右边是的总比左边的大

② 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。两个负数比较，绝对值大的反而小。

补充下实数的概念和性质：无限不循环小数都叫无理数,例如 ∏，2等等；而有限小数（包括整数）和无限不循环小数都是有理 数，特别注意的是任何分数总能化成有限小数或无限循环小数，因此分数一定是有理数。 还有

22是无限循环小数。 7

(3)实数的相反数，绝对值，倒数

几何意义 在数轴上表示互为相反数的点，分别位于原点两旁，且与原点距离相等。如1与-1

相反数 代数意义 像2或者-2这样，只有符号不懂的两个数叫做互为相反数

性质 ①a的相反数是-a，0的相反数是0。 ②a与b互为相反数 所以a+b=0

几何意义 一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离

绝对值 代数意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 a等于a则 a大于等于零

a等于-a时，则a小于零（注意哦 这里的-a并不带表-a小于零 看情况定）

性质 ①绝对值a大于等于0。 ②互为相反数的两个数的绝对值相等。

代数意义 用1除以一个数叫做这个数的倒数，a的倒数是

1 （a不等于零（因为a分母为零分数没有意义）） 倒数

性质 ①a与b互为倒数等于axb=1。 ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数 。

个人意见 我们初中所学的数中，不是有理数就是无理数。

常见的几种无理数：①根号型：如2，等开方开不尽的数。（但不是所有的根号都开不尽。如9就可以开尽）。

②如1.211 211 12...等无限不循环小数， ③化简后含有π的数字。

④初三还要学习的三角函数sin45°，tan

π等无理数 3

（4）非负数的概念及性质

①在实数范围内，正数和零统称为非负数

我们要学的有三种情况 ①任何一个实数的绝对值是非负数，如a1大于等于0

②任何一个实数的偶次方是非负数。如：a2n次方a大于等于0 （n为正整数）

③任何非负数的算数平方根是非负数。如a大于等于0 （这里a大于等于零）；a平方大于等于0

② 非负数的性质 ①有限个非负数的和仍然是非负数

②如果几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零。.如（X-1）2+等于y=2

0

。

则

x-1=0.

y-2=0

即

y2x=1

③非负数的最小值是0.如a2的最小值是0。 a1-1的最小值是-1。 根号a的最小值是0，没有最大值

（5）乘方与开方

一 ① 平方根 算数平方根 立方根

如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，正数a的平方根可以表示为±a 正数a的正平方根叫做a的算数平方根，0的算数平方根是0 如果一个数的立方等于a，则这个数就叫a的立方根

注意 ①平方根：一个正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0； 负数没有平方根。

② 算数平方根：一个正数的正平方根叫做这个数的算数平方根。 0的算数平方根是0 ③ 立方根：一个正数有一个立方根，一个负数有一个立方根，0的立方根是0 ④平方根与立方根的区别：只有正数和0才有平方根，且正数的平方根有两个 任何实数都有立方根，且一个数的立方根只有一个。

二 乘方与开方

意义 求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂 乘方 表示法 a*a…..*a 乘到n个a 。 记作an次方

运算特点 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是整数；

0的任何次幂是0

意义若xn=a则x叫做a的n次方根（n为正数） 开方 表示法 a的n次方表示为：当a为偶数时，表示为±na（a≥0） 当n为奇数时，表示为na

运算特点 一个正数的偶次方根有两个，它们是互为相反数；一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数，0的任何次方跟是0

补充知识 ①乘方与开方互为逆运算。

②乘方总可以进行，而开方泽不一定，因为任何实数的偶次方是非负的。 所以只有正数和

0可以进行开偶次方运算。负数只能开奇次方运算。

（6）实数的运算 （1） 运算 加法 乘法 除法 类型 同号两数相加 异号两数相加 同号两数相乘 异号两数相乘 同号两数相除 异号两数相除 结果的符号 取两加数的符号 取绝对值较大的加数的符号 为正 为负 为正 为负 结果的绝对值 把绝对值相加 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 把绝对值相乘 同上.. 把绝对值相除 同上..

补充 减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个非零的数等于乘这个数的倒数，因此遇到减法运算常转化为加法运算进行计算。而遇到除法运算则常转化为乘法进行计算。但要注意：“-”变“+”，同时减数要变成它的相反数；而“÷”变“x”号时，除数要变成它的倒数。

（2）实数的加减乘除运算 运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 内容 两个数相加，交换加数的位置，和不变 三个数相加，先把前面 两数相乘，交换因数的位置，积不变 字母表示法 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab+ba 三个数相乘，先把前面两个数相乘，或者先把 (ab)c=a(bc) 后面两个数相乘，积不变 一个数同两个数的和相乘，就等于用这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac

(7)近似数，有效数字，科学记数法

（1）科学记数法：把一个数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10），n是整数） 注意点：①科学记数法把一个数表示成a×10n的形式时1≤a<10，即a必须只有一位整数的数 ②大于10的数用科学记数法表示时，n为正数，10的指数n比原数的整数位少。 用科学记数法表示大于10的数时，要先查下原数的整数位数，即可求出10的指数。

③ 小于1的数用科学记数法表示时，n为负整数，10的指数，

的绝对值为第一个不为0的数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。例如 0.00000000123用科学记数法表示为1.23×10-9

近似数：一般是四舍五入得到的数，在四舍五入取近似数时，不要随便将小数点末尾的0去掉、例如 近似数1.2与1.20的精确度不同，1.2精确到十分位，1.20精确到百分位.

有效数字：从一个数的左边第一个不为0的数字起，到末尾数字止，所有数字都叫做这个数字的有效数字。

整数 正整数 零 负整数 有理数 分数 正分数 负分数 有理数 整数 分数 实数

无理数

无限不循环小数