数学试卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A．3x2+﹣1＝0
B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0
D．3x2﹣2x﹣1＝0
2．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣5的顶点坐标是（ ） A．（3，﹣5）
B．（﹣3，﹣5）
C．（﹣3，5）
D．（3，5）
3．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（ ） A．有实数根 C．有两个相等实根
B．无实根
D．有两个不相等的实根
4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ） A．y＝x2+3
B．y＝（x﹣6）2+3
C．y＝x2﹣7
D．y＝（x﹣6）2﹣7
5．（3分）某口罩厂6月份出货量是4月份的40%，设4月份到6月份口罩出货量平均每月的下降率为x，则可列方程为（ ） A．40%（1+x）2＝1 C．（1﹣x）2＝40%
B．（1﹣40%）（1+x）2＝1 D．（1﹣x）2＝1﹣40%
6．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ） A．﹣5
B．﹣3
C．﹣1
D．5
7．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（ ） A．a＝c≠b
B．a＝b≠c
C．b＝c≠a
D．a＝b＝c
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0； ③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）；⑤3a+c＞0．则其中正确的结论有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 ． 10．（3分）二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下，则m ．
11．（3分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝4，则x1x2＝ ． 12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x y
… …
﹣3 ﹣4
﹣1 2
1 4
3 2
… …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
13．（3分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 ． 14．（3分）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ． 15．（3分）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝ ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（12分）用适当的方程解下列方程： （1）3x（x﹣5）＝4（5﹣x） （2）x2﹣4x+3＝0 （3）2x2﹣5x﹣7＝0．
18．（7分）用配方法把函数y＝﹣3x2﹣6x+10化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
19．（7分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0， （1）求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4 （1）抛物线经过原点时，求m的值； （2）顶点在x轴上时，求m的值．
21．（8分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．
23．（10分）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
2021-2022学年湖北省黄冈市部分学校九年级（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A．3x2+﹣1＝0
B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0
D．3x2﹣2x﹣1＝0
【解答】解：A、是分式方程，故A错误； B、是二元二次方程，故B错误；
C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D．
2．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣5的顶点坐标是（ ） A．（3，﹣5）
B．（﹣3，﹣5）
C．（﹣3，5）
D．（3，5）
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x+3）2﹣5， ∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：B．
3．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（ ） A．有实数根 C．有两个相等实根
B．无实根
D．有两个不相等的实根
【解答】解：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m﹣2） ＝4m2﹣4m+1+4m+8 ＝4m2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实根， 故选：D．
4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ） A．y＝x2+3
B．y＝（x﹣6）2+3
C．y＝x2﹣7
D．y＝（x﹣6）2﹣7
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得
到新抛物线的函数解析式为：y＝（x﹣3﹣3）2﹣2+5，即y＝（x﹣6）2+3； 故选：B．
5．（3分）某口罩厂6月份出货量是4月份的40%，设4月份到6月份口罩出货量平均每月的下降率为x，则可列方程为（ ） A．40%（1+x）2＝1 C．（1﹣x）2＝40%
【解答】解：依题意得：（1﹣x）2＝40%． 故选：C．
6．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ） A．﹣5
【解答】解：如图
B．﹣3
C．﹣1
D．5
B．（1﹣40%）（1+x）2＝1 D．（1﹣x）2＝1﹣40%
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5）， ∴可画出上图， ∵抛物线对称轴x＝
＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5）， ∴当x＝2时，y的值为﹣5． 故选：A．
7．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（ ） A．a＝c≠b
B．a＝b≠c
C．b＝c≠a
D．a＝b＝c
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c， ∴a＝c≠b， 故选：A．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0； ③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）；⑤3a+c＞0．则其中正确的结论有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴点A（3，0）关于直线x＝1对称点为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．故①正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∴﹣
＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故③错误； ∵当x＝1时，函数有最大值， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④正确； ∵b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误； 综上，正确的有①②④． 故选：B．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 2 ． 【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故答案是：2．
10．（3分）二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下，则m ＜﹣1 ． 【解答】解：∵二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下， ∴m+1＜0， 解得：m＜﹣1， 故答案为：＜﹣1．
11．（3分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝4，则x1x2＝ 3 ． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1． 又∵x1+x2＝4， ∴m＝4，
∴x1x2＝m﹣1＝3． 故答案为：3．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x y
… …
﹣3 ﹣4
﹣1 2
1 4
3 2
… …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ﹣4＜y≤4 ．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4， ∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4， 故答案为，﹣4＜y≤4．
13．（3分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数
字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 63 ． 【解答】解：设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+依题意得：x2﹣（x+
）＝3，
）＝（x+3），
整理得：x2﹣x﹣6＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2， 又∵x为非负整数， ∴x＝3， ∴10（x+
）+x＝63．
故答案为：63．
14．（3分）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 0或3 ． 【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1， 解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1， ∴a﹣1＝2或a＝0， ∴a＝3或a＝0， 故答案为：0或3．
15．（3分）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝ 1 ． 【解答】解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0， 解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解）， 故答案为：1．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ﹣2+2
．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1， ∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m， ∴点E坐标为（m，4﹣2m）， ∴m2＝4﹣2m， 解得m＝﹣1﹣
（舍）或m＝﹣1+
． ．
．
∴CD＝2m＝﹣2+2故答案为：﹣2+2
三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（12分）用适当的方程解下列方程： （1）3x（x﹣5）＝4（5﹣x） （2）x2﹣4x+3＝0 （3）2x2﹣5x﹣7＝0．
【解答】解：（1）3x（x﹣5）+4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（3x+4）＝0， x﹣5＝0或3x+4＝0， 所以x1＝﹣5，x2＝﹣； （2）（x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3； （3）（2x﹣7）（x+1）＝0， 2x﹣7＝0或x+1＝0， 所以x1＝，x2＝﹣1．
18．（7分）用配方法把函数y＝﹣3x2﹣6x+10化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值． 【解答】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+10 ＝﹣3（x+1）2+13，
∴开口向下，对称轴x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，13），最大值13． 19．（7分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0，
（1）求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（k+1）2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0， ∴对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝2代入方程得：4﹣（k+1）×2﹣6＝0，解得k＝﹣2， 把k＝﹣2代入方程得：x2+x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣3，
∴k的值为﹣2，方程的另一个根为﹣3． 20．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4 （1）抛物线经过原点时，求m的值； （2）顶点在x轴上时，求m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4经过原点， ∴3m+4＝0，解得：m＝
；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4顶点在x轴上， ∴b2﹣4ac＝0，
∴（﹣2m）2﹣4×1×（3m+4）＝0， 解得：m＝4或m＝﹣1．
21．（8分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米， 依题意得：x（30+2﹣2x）＝120， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝10，x2＝6．
当x＝10时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×10＝12＜18，符合题意； 当x＝6时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×6＝20＞18，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长为12米，宽为10米．
（2）围成的鸡场面积不能达到180平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米， 依题意得：y（30+2﹣2y）＝180， 整理得：y2﹣16y+90＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×90＝﹣104＜0， ∴该方程没有实数根，
∴围成的鸡场面积不能达到180平方米．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入解析式得：
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值， ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小， ∵点A、B关于直线l对称，
∴连接AC交直线l于点P，此时PB+PC值最小，
∵AP＝BP，
∴△PBC的周长最小值为：PB+PC+BC＝AC+BC， ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）， ∴OA＝3，OB＝1，OC＝3， ∴AC＝3
，BC＝
，
+
．
∴△PBC的周长最小值是：3
23．（10分）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣依题意，得：280﹣解得：x≤55．
答：每个背包售价应不高于55元． （2）依题意，得：（x﹣30）（280﹣整理，得：x2﹣98x+2352＝0，
解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
×20）＝3120，
×20≥130，
×20）个，
（3）依题意，得：（x﹣30）（280﹣整理，得：x2﹣98x+2410＝0．
×20）＝3700，
∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0， ∴该方程无解，
∴这种书包的销售利润不能达到3700元．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得
．
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）， 得解得
， ，
故直线AC为y＝x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4），
当x＝1时，y＝x+1＝2， ∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）， ∵F在抛物线上， ∴x+3＝﹣x2+2x+3， 解得，x＝0或x＝1（舍去）， ∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）， ∵F在抛物线上， ∴x﹣1＝﹣x2+2x+3， 解得x＝∴E（
，或x＝
， ）或（
，
）， ，
）或（
，
）；
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（
（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3） ∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1） ＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ ＝PQ•AG
＝（﹣x2+x+2）×3 ＝﹣（x﹣）2+
，
∴面积的最大值为；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3） 又∵S△APC＝S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC
＝（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3 ＝﹣x2+x+3 ＝﹣（x﹣）2+
，
．
∴△APC的面积的最大值为
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容