曲线和圆的方程

一、基础知识：

（一）曲线方程

1、曲线的方程与方程的曲线的定义： 2、求曲线轨迹方程的步骤：

3、求曲线轨迹方程的方法：建系、设点、列式、代入、简化、检验。

求曲线的轨迹方程常采用的方法有：

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求

(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的。 （二）、圆的方程：

1、圆的方程的三种形式： 方程形式 圆心坐标 半径 标准方程 一般方程 参数方程 2、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆的位置关系有三种： 、 、 ； （2）判定方法：① 线心距法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则 相离， 相切， 相交。

② 判别式法：由直线方程与圆的方程消去一个未知数后，得到一个关于x或y的一元二次方程， 则0 ， 相切， 相离。

（3）直线与圆相交时，弦长的求法有两种。① ② 3、圆与圆的位置关系： （1）、圆与圆的位置关系： 位置关系 图形 等价条件 外离 外切 相交 内切 内含 4、圆的切线方程： （1）过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程是： ； （2）过圆(xa)2 （3）过圆

x2(yb)y22r2上一点P(x0,y0)的切线方程是： ；

r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程

r2是 ； （4）过圆(xa)2(yb)2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程

高二解析几何综合复习资料（2） 曲线方程和圆的方程 第1页（共13页）

是 ；

5、公共弦所在的直线方程：圆C1：x2y2D1xE1yF1程是：______________________________；

0和圆C2：x2yD2xE2yF202的公共弦的方

求轨迹方程的方法

曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。

求曲线方程的一般思路是：在平面直角坐标系中找出动点P（x,y）的纵坐标y和横坐标x之间的关系式fx,y0，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y的范围。

求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、代入法、参数法、交轨法等求之。

由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。

一、常见的轨迹:

(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.

(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.

(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.

(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.

二、求动点的轨迹的一般步骤:

(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);

(2)根据动点M(x,y)应满足的条件列出方程; (3)化简方程;

(4)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点，以保证曲线的纯粹性与完备性. 三、求动点的轨迹的一般方法: 1、用待定系数法

曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。

例1：已知椭圆5x14y70和直线l:xy90，在直线l上任取一点P，过P且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。

21。若过l上2aa9的P点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。把直线方程代入椭圆方程，利用判别式等于

220，从而设所求椭圆的方程为解：已知椭圆的焦点F13,0和F23，22x2y20，得a45，从而椭圆方程为

2x45y361.

例2：已知双曲线C的两个焦点为F1,F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为3，直线l过点F2，与线段F1F2夹角为,且 tan=，与线段F1F2垂直平分的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为

2Q，且PQ2QF2，求双曲线方程。

F1F2的中垂线为Y轴建立直角坐标系，解：取F1F2所在直线为x轴，设双曲线方程为

21xa22yb221，

c)设F1c,0,F2c,0,由题意直线l的方程为y212(xc)，令x0，得点P的坐标为(0,216c)212，

2c又PQ2QF2，由定比分点坐标公式可得点Q坐标(,3.因为点Q在双曲线上，所以

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4c229a36b由①、②消去c，化简整理得

4221c222221， ① ， 又cab, ②

bbb1641210解得aaa3 ③

又由已知有ab3 ④

3由③、④得a=1,b=

,则所求双曲线方程为x22y231。

又由对称性知，双曲线y故所求双曲线方程为x2x231也适合。

y231或y2x231

2、直译法

直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论。

例3 已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1，动点M到圆O的切线长与MQ的比等于常数(>0)。求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

解 设直线MN切圆于点N，则动点M组成的集合是P={M∣∣MN∣=MQ}. 设M(x,y)，从而xy1222x2222y，即

21xy242x140

经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求，当=1时，它表示一条直线，当≠1时，它表示一个圆。

例4 求与y轴相切，并且和圆x2y24x0外切的圆的圆心的轨迹方程. 解：由x2y24x0,有x2y2.

222设动圆的圆心P（x,Y）,由题意记A（2，0），则PAx2,即y4x4x,当x0时，y28x;当x﹤0时,y=0.

2x22yx2,化简得

2 综上，所求圆心的轨迹方程为y8x(x0)或y=0(x0) 3、定义法

若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之。

例5 如图所示，直线l1和l2相交于M，l1l2,点Nl1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，AM17,AN3,且AB6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

L 2 解 如图所示，建立坐标系，以l1和l2为轴，线段MN的垂直平分线为y轴，点

O为坐标原点建立直角坐标系。

依题意知：曲线段C是以点 N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B 分别为C的端点，设曲线段C的方程为y2=2px(p>0,xA≤x≤xB,y>0)

其中P=｜MN｜,M(-P22B A M N L1 ,0),N(

P2，0),由

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ppAM17,AN3得：xA2pxA17,xA2pxA9，

22联立解得xA1,p4或xA2.P2

22△AMN是锐角三角形，P2xA,舍去xA2,P2 xA1,P4

P2又点B在双曲线段上C上，所以xBBN2因此所求的曲线段C的方程为y=8x(1≤x≤4,y>0) 4，

2

例6 已知圆Cx1y225内一点A（1，0），Q点为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程。

解 连结AM，点M在线段AQ的垂直平分线上,则AM=MQ,

CMMQ5CMMA5

故点M(x,y)到点C（-1，0）和点A（1，0）的距离之和是常数5，且5>2，所以点P的轨迹是一个以A、C为焦点的椭圆，∵2a=5, 2c=2,∴

bac222214,∴点M的轨迹方程为

x22y22141.

4、代入法

当所求轨迹上的动点P随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q的坐标可且动点P的坐标(x0，y0)代入动点Q的曲线方程即得曲线P的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法。

2

例7: 抛物线x=4x的焦点为F，过点M(0,-1)作直线l交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程。

解 设R(x,y)，平行四边形FARB的对角线的点为P(x0,y0)，F(0,1)由中点坐标公式得

x0x2,y0y12,设A(x1,y1)，B(x2,y2)则x1≠x2, 且x12=4y1,x22=4y2，，相减得x12-x22=4(y1-y2),

x02从而kAB把x0x2，又A、P、B、M四点共线，且kPMy12y01x0，由KAB=KPM得x02=2(y0+1)

,y0代入并整理得x2=4y+12

注：动点是直线被方程圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获

得动点的轨迹方程，这事实上就是中点弦问题的处理方法。

5、参数法

若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k、比值等）作参数t，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法。

例9 给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a的关系

解 设B(-1,t)，C(x,y)，则OB1t，点C分BA所成的比为 y1y2

2BCCAOBOA1ta2,x1ax1ta2.

2

消去t并整理得点C的轨迹方程为(1-a)x-2ax+(1+a)y=0(0≤x＜a) 当a=1时，轨迹方程为y2=x(0≤x＜a)，它表示抛物线段；

ax1aa1a22当a≠1时，轨迹方程可化为 ya2221(0≤x＜a).

1a高二解析几何综合复习资料（2） 曲线方程和圆的方程 第4页（共13页）

故当a＞1时，方程表示双曲线一支上的弧段，当0＜a＜1时，表示方程椭圆弧段。

例10 已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且和OP垂直，通过点

A（1，0）及点P的直线m和直线l相交于Q，求点Q的轨迹方程。 Y

解：如右图所示，设OP所在直线的斜率为k，则点P的坐标为（2，2k）. P 由lOP，得直线的方程为x+ky=0. ① l 易得直线m的方程为y=2k(x-1). ②

因为点Q（x,y）是直线l和直线m的交点， O A 22

所以由①②联立，消去k，得点Q的轨迹方程为2x+y-2x=0(x≠1). Q

2

m 6、交轨法

如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程。“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。

例11 设点A和B 为抛物线y24px(p0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB、OM⊥AB，求点M的轨迹，并说明它表示什么曲线。

解 设M(x,y)，直线AB方程为y=kx+b，把它代入y=4px，消去x得ky-4py+4pb=0，从而y1y2因此x1x2b222

2

4pbk，

k由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即b=-4kp，所以y=kx+b=k(x-4p),

x又OM⊥AB,故k.

y消去k得点M的轨迹方程x2+y2-4px=0(x≠0).

.

例12 已知点O、点B为二定点，OB1,点P是线段OB上一点，分别以OP、OB为斜边在线段OB的同一侧作等腰直角三角形OCP和ODB。设PD、BC相交于点Q，当P在线段OB上移动时求点Q的轨迹方程。 解：以OB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立如右图所示的直角坐标系，设点P(t,0)(0＜t＜1), 则Ctt, 又22,D11, 2,2tt2112t(x1), ① ∵ BC的方程为yPD的方程为y由①②得x3ty D (xt) ② t2(t1)2(t1),y,

C Q 34由以上两式消去t，得x-3y= 0, 当t0时，x0；当t1时,x故点Q的轨迹方程为x-3y=0(0＜x＜

34则0＜x＜

34

O P B x ),

34同理当△ODB位于x轴下方时，点Q的轨迹方程为x+3y=0(0＜x＜)

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巩固练习：

1、设A、B两点的坐标分别为（－5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们斜率的积为2，求点M

的轨迹方程。

2．设⊙C ：(x轨迹方程.

3、已知A（0，7）、B（0，－7），C（12，2），以C为焦点的椭圆经过点A、B，求此椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.

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3)y2216内部一点A（

3，0）与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的

2

4、△ABC中，B（－3，8）、C（－1，－6），另一个顶点A在抛物线y=4x上移动，求此三角形重心G的轨

迹方程.

5、自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.

6、点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．

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7、点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)．

8、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=程.

9、设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆交直线l于A，B两点，l分别交两坐标轴于C，D两点，已知椭圆的一条准线x25与l的夹角的正切为2，且CD恰好把线段AB三等分，求此椭圆及直线l的方程。

4103，试求椭圆的方

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巩固练习：

1、设A、B两点的坐标分别为（－5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们斜率的积为2，求点M

的轨迹方程。

解：设点M的坐标为（x,y），依题意有：xy2 (x5）化简得：1 (y0) x5x5510yy222．设⊙C：(x3)y2216内部一点A（3，0）与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点

P的轨迹方程.

解：点P（x，y）是线段AQ的垂直平分线上的点PAPQ而点P在半径CQ上，即CPPQCQ4CPPA4说明点P与两定点C、A距离之和为定长4，即点P的轨迹应该是以C、A为焦点长轴长为4的椭圆故点P的轨迹方程是x24y224(3)1.

3、已知A（0，7）、B（0，－7），C（12，2），以C为焦点的椭圆经过点A、B，求此椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.

解：以C为焦点的椭圆过点AB,且F是它的另一个焦点,

|AC|+|AF|=|BC|+|BF| |AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2

即点F与点A的距离和与点B的距离的差是常数2

点F的轨迹是以点A、B为焦点实轴长为2的椭圆的右支

点F的轨迹方程是x2y2481(x0)

2

4、△ABC中，B（－3，8）、C（－1，－6），另一个顶点A在抛物线y=4x上移动，求此三角形重心G的轨迹方程. 解：设点G的坐标为x,y,点A的坐标为(m,n),由三角形重心公式有：

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31mxm3x43 86nn3y2y3n4m 点A在抛物线上，2即：(3y2)23x4

5、自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.

解：设P（m，n）、R（x，y），则Q（－∴OP的方程为y=

nm1212，n）、F（

，0），

① ②

x，

1

FQ的方程为y=－n（x－）

2由①②得m＝

2

2x12x，n＝

2

2y12x22

，

代入n＝2m，可得y＝－2x+x.

6、点A(1，1)、B、C是抛物线y=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．

运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于AB⊥AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．

解：设点B(t1，t1)，C(t2，t2)，P(x，y)．

2x1t12t222 tty1212222

∵ (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2， ∴ (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]． 即：(y+2)=x-2．

最后来讨论纯粹性和完备性．BA时，t11,代入得t2而点B与点A显然不重合y

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2

32.y32

,32,

7、点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)．

解：设B(2cosα，2sinα)、C(2cosβ，2sinβ)、P(x，y)．

∴ x2+y2=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)．

kAC·kAB=-14(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cosβ)+2(sinα+sinβ)-2． ∴ x+y2-2=x+y-1．

2

即(x-

12)2+(y-

12)2=

32

8、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=程.

解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2, ∴b=4,设椭圆方程为

2

4103，试求椭圆的方

xa22y241 ②

①

设过M1和M2的直线方程为y=－x+m 2

2

2

22

2

将②代入①得：(4+a)x－2amx+am－4a=0 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0), 则x0=

12③

(x1+x2)=

am4a22,y0=－x0+m=

4m4a2.

代入y=x,得

am4a224m4a2,

由于a＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－

41032

4a224a,

又|M1M2|=2(x1x2)24x1x22

,

x2代入x1+x2,x1x2可解a=5,故所求椭圆方程为：

5y24 =1.

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9、设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆交直线l于A，B两点，l分别交两坐标轴于C，D两点，已知椭圆的一条准线x25与l的夹角的正切为2，且CD恰好把线段AB三等分，求此椭圆及直线l的方程。

∵ C，D是AB的三等分点， ∴ B(2m，－n)，A(－m，2n)． 依题意得

解得 n＝1，m＝2，a＝10，b＝5．

2

2

2

2

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∴ 所求直线l的方程为

高二解析几何综合复习资料（2）

第13页（共13页） 曲线方程和圆的方程