等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题

例1 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列

（1）求{an}的公比q；

（2）求a1－a3＝3，求sn

a例2 在正项数列n中,令

Sni1n1aiai1.

a（Ⅰ）若n是首项为25,公差为2的等差数列,求S100；

（Ⅱ）若

Snnpa1an1a（p为正常数）对正整数n恒成立,求证n为等差数列；

例3 已知{an}是公比为q的等比数列，且am,am2,am1成等差数列.

（1）求q的值；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm,Sm2,Sm1是否成等差数列？说明理由.

2a2an4n2nN,n2aann1例4 已知数列｛an｝的首项1（a是常数），（）．（Ⅰ）

an是否可能是等差数列.若可能，求出an的通项公式；若不可能，说明理由；

2banbbn（Ⅱ）设1，n（nN,n2），Sn为数列bn的前n项和，且

Sn是等比数列，求实数a、b满足的条件．

例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；

(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.

例6 已知数列{an}中，a02,a13,a26，且对n≥3时有an(n4)an14nan2(4n8)an3．

bana,nN{b}nnn1n（Ⅰ）设数列满足，证明数列{bn12bn}为等比数列，并求数列{bn}的

通项公式；

（Ⅱ）记n(n1)21n!，求数列{nan}的前

n项和Sn

例7 设数列

an,bn满足a11,b10且

anbnan12an3bn,bn1an2bn,n1,2,3,

（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；

ab（Ⅱ）求数列n和n的通项公式；

SnnSabn的值． （Ⅲ）令数列n和n的前n项和分别为Sn和Sn，求极限

lim2aa,S,aS例8 数列n的各项均为正数，为其前n项和，对于任意nN*，总有nnn成等

n差数列.

(Ⅰ)求数列an的通项公式；

(Ⅱ)设数列bn的前n项和为Tn ，且

bnlnnxan2，求证:对任意实数x1,e（e是常数，e＝

2.71828）和任意正整数n，总有Tn 2；

n1*ac,(nN).求数列cn中的最大项. cn1nn(Ⅲ) 正数数列中，

ana22a32a42a52,S77Snn例9 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

a（1）求数列n的通项公式及前n项和Sn；

amam1a（2）试求所有的正整数m，使得am2为数列n中的项。

ab例10 已知n是公差为d的等差数列，n是公比为q的等比数列。

*（1） 若an3n1，是否存在m、kN，有amam1ak?说明理由；

an1bn*anbna（2） 找出所有数列和，使对一切nN,n,并说明理由；

a（3） 若a15,d4,b1q3,试确定所有的p，使数列n中存在某个连续p项的和是b数列n中的一项，请证明。