2019年江苏省南通市中考数学试卷

2019年江苏省南通市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（ ） A．﹣3℃ 2．（3分）化简A．4

B．﹣1℃ 的结果是（ ）

B．2

C．3

D．2

C．0℃

D．1℃

3．（3分）下列计算，正确的是（ ） A．a2•a3＝a6

B．2a2﹣a＝a

C．a6÷a2＝a3

D．（a2）3＝a6

4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．球

B．圆锥

C．圆柱

，则a+b的值为（ ）

C．﹣2

D．﹣4 D．棱柱

5．（3分）已知a，b满足方程组A．2

B．4

6．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ） A．（x+4）2＝﹣9

B．（x+4）2＝﹣7

C．（x+4）2＝25

D．（x+4）2＝7

7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）

A．1和2之间

B．2和3之间

C．3和4之间

D．4和5之间

8．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为

（ ）

A．110°

B．125°

C．135°

D．140°

9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）

A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50） C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快

D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）

10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（ ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出答案过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（3分）计算：22﹣（

﹣1）0＝ ．

12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为 ．

13．（3分）分解因式：x3﹣x＝ ．

14．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度．

15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．

16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm． 17．（3分）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．

18．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+

PD的最小值等于 ．

三、答案题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，答案时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解不等式

﹣x＞1，并在数轴上表示解集．

）÷

，其中m＝

﹣2．

20．（8分）先化简，再求值：（m+

21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜

色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．

23．（8分）列方程解应用题：

中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．

24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．

一班 二班

平均分 7.2 6.85

方差 2.11 4.28

中位数 7 8

众数 6 8

合格率 92.5% 85%

优秀率 20% 10%

根据图表信息，回答问题：

（1）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；

（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？

25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．

（1）求⊙O的半径；

（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长； （3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

26．（10分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）． （1）请写出该二次函数的三条性质；

（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．

27．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点． （1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形； （2）当△PEF的周长最小时，求

的值；

（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．

28．（13分）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．

（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点 是“线点”； （2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；

（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．

参

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（ ） A．﹣3℃

B．﹣1℃

C．0℃

【答案】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2， 所以比﹣2℃低的温度是﹣3℃． 故答案为：A． 2．（3分）化简的结果是（ ）

A．4

B．2

C．3

【答案】解：＝

＝2

，

故答案为：B．

3．（3分）下列计算，正确的是（ ） A．a2•a3＝a6

B．2a2﹣a＝a

C．a6÷a2＝a3

【答案】解：∵a2•a3＝a5， ∴选项A不符合题意；

∵2a2﹣a≠a， ∴选项B不符合题意；

∵a6÷a2＝a4， ∴选项C不符合题意；

∵（a2）3＝a6， ∴选项D符合题意． 故答案为：D．

4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）

D．1℃

D．2

D．（a2）3＝a6

A．球

B．圆锥

C．圆柱

D．棱柱

【答案】解：由于主视图和左视图为矩形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱． 故答案为：C．

5．（3分）已知a，b满足方程组A．2 【答案】解：

①+②得：5a+5b＝10， 则a+b＝2， 故答案为：A．

6．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ） A．（x+4）2＝﹣9

B．（x+4）2＝﹣7

C．（x+4）2＝25

D．（x+4）2＝7

B．4

，

，则a+b的值为（ ）

C．﹣2

D．﹣4

【答案】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9， 配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7， 故答案为：D．

7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）

A．1和2之间

B．2和3之间

C．3和4之间 ＝

，

D．4和5之间

【答案】解：由勾股定理得，OB＝

∵9＜13＜16， ∴3＜

＜4，

∴该点位置大致在数轴上3和4之间． 故答案为：C．

8．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为（ ）

A．110°

B．125°

C．135°

D．140°

【答案】解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB＝180°， ∵∠C＝70°， ∴∠CAB＝110°， ∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE＝∠CBA＝55°，

∴∠AED＝∠C+∠CAE＝70°+55°＝125°， 故答案为：B．

9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）

A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50） C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快

D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）

【答案】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错； B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b， 把（25，1200），（50，2000）代入得，解得：

，

∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错； C、在A点的速度为C错误；

D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错． 故答案为：C．

10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（ ）

＝105m/min，在B点的速度为

＝

＝45m/min，故

A．

B．

C．

D．

【答案】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，

则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′， ∴△ABF≌△AC′E（ASA）， ∴BF＝C′E，AE＝AF， 同理△CDE≌△B′DF（ASA）， ∴B′D＝CD，

∴B′D+DE＝CD+ED＝x，

AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高， BC＝2

＝B′C′，

）＝﹣x+

，

y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高＝（2故答案为：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出答案过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（3分）计算：22﹣（

﹣1）0＝ 3 ．

【答案】解：原式＝4﹣1＝3．

故答案为：3．

12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为 3×108 ．

【答案】解：将300 000 000用科学记数法表示为：3×108． 故答案为：3×108．

13．（3分）分解因式：x3﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ． 【答案】解：x3﹣x， ＝x（x2﹣1）， ＝x（x+1）（x﹣1）． 故答案为：x（x+1）（x﹣1）．

14．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 70 度．

【答案】解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． ∴∠BAE＝∠BCF＝25°； ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°，

∴∠ACF＝25°+45°＝70°； 故答案为：70．

15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 9x﹣11＝6x+16 ． 【答案】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得： 9x﹣11＝6x+16．

，

故答案为：9x﹣11＝6x+16．

16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 5 cm． 【答案】解：设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为：5．

17．（3分）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 4 ．

【答案】解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E， ∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A， ∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2， ∴直线为y＝2x﹣2， 令y＝0，则求得x＝1， ∴A（1，0），

∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E， ∴BE∥x轴， ∴∠ABE＝∠BAF， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵∠BAF+∠ABF＝90°，

∴∠EBC＝∠ABF， 在△EBC和△FBA中

∴△EBC≌△FBA（AAS）， ∴CE＝AF，BE＝BF， 设B（m，），

∵4﹣＝m﹣1，m﹣3＝， ∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1， 解得m＝4，k＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝， 把x＝1代入得y＝4， ∴a＝4﹣0＝4， ∴a的值为4． 故答案为4．

18．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+

PD的最小值等于 3

．

【答案】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB∥CD

∴∠EDP＝∠DAB＝60°， ∴sin∠EDP＝∴EP＝∴PB+

PD PD＝PB+PE

∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵sin∠A＝∴BE＝3故答案为3

＝

三、答案题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，答案时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解不等式

﹣x＞1，并在数轴上表示解集．

【答案】解：4x﹣1﹣3x＞3， 4x﹣3x＞3+1， x＞4，

将不等式的解集表示在数轴上如下：

20．（8分）先化简，再求值：（m+

）÷

，其中m＝

﹣2．

【答案】解：原式＝÷

＝•

＝m2+2m，

当m＝﹣2时，

原式＝m（m+2） ＝（＝2﹣2

﹣2）（

﹣2+2）

21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

【答案】解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下： 在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE．

22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．

【答案】解：画树状图为：

，

共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数为3， 所以取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率＝＝． 23．（8分）列方程解应用题：

中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．

【答案】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元， 依题意，得：解得：x＝80，

经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意． 答：每套《三国演义》的价格为80元．

24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．

＝2×

，

一班 二班

平均分 7.2 6.85

方差 2.11 4.28

中位数 7 8

众数 6 8

合格率 92.5% 85%

优秀率 20% 10%

根据图表信息，回答问题：

（1）用方差推断， 二 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 一 班的阅读水平更好些；

（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？

【答案】解：（1）从方差看，二班成绩波动较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较好，

故答案为：二，一．

（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反映一组数据集中发展趋势和集中水平，由于二班的众数、中位数都比一班的要好．

25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B． （1）求⊙O的半径；

（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长； （3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

【答案】解：（1）作OH⊥AB于H．

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴AB＝2BC＝2， ∵OH⊥AB， ∴AH＝HB＝1， ∴OA＝AH÷cos30°＝

（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．

．

∵

＝

，

∴OP⊥AB， ∴∠AHO＝90°， ∵∠OAH＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵OA＝OP，

∴△AOP是等边三角形， ∵PQ⊥OA， ∴OQ＝QA＝OA＝

（3）连接PC． 在Rt△ABC中，AC＝∵AQ＝QO＝AO＝∴QC＝AC﹣AQ＝

﹣

BC＝． ＝

， ，

．

∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA， ∴PQ＝1， ∴tan∠ACP＝

＝

＝

．

26．（10分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）． （1）请写出该二次函数的三条性质；

（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．

【答案】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，

∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2）， 其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．

（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点， ∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1， 整理为：x2﹣6x+3a+3＝0， ∴△＝36﹣4（3a+3）＞0， 解得a＜2，

把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，

把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a＝，

故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．

27．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点． （1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形； （2）当△PEF的周长最小时，求

的值；

（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．

【答案】证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，

∵点A与点C关于EF所在的直线对称 ∴AO＝CO，AC⊥EF

∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO ∴△AEO≌△CFO（AAS） ∴AE＝CF，且AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF ∴四边形AFCE是菱形；

（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，

∵四边形AFCE是菱形 ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∵AF2＝BF2+AB2， ∴AF2＝（4﹣AF）2+4， ∴AF＝ ∴AE＝＝CF ∴DE＝

∵点F，点H关于CD对称 ∴CF＝CH＝ ∵AD∥BC ∴

＝

（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点B作BO⊥FN于点O，

由（2）可知，AE＝CF＝，BF＝DE＝ ∵EH⊥BC，∠A＝∠ABC＝90° ∴四边形ABHE是矩形 ∴AB＝EH＝2，BH＝AE＝ ∴FH＝1 ∴EF＝∵AD∥BC ∴△BFN∽△AEN ∴∴

∴BN＝3，NF＝∴AN＝5，NE＝

＝

，

∵∠N＝∠N，∠BON＝∠A＝90° ∴△NBO∽△NEA ∴∴

∴BO＝，NO＝

∵∠EMP＝∠BMO＝45°，BO⊥EN

∴∠OBM＝∠BMO＝45° ∴BO＝MO＝

∴ME＝EN﹣NO﹣MO＝∵AB∥EH ∴△BNM∽△GEM ∴

∴

∴EG＝

∴GH＝EH﹣EG＝ ∵EH∥CD ∴△BGH∽△BPC ∴

∴

∴CP＝

28．（13分）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．

（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点 P2 是“线点”； （2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；

（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．

【答案】解：（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y＝t，y2﹣2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，

又∵P1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5， ∴点P1不是线点；

∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7， ∴点P2是线点， 故答案为：P2；

（2）∵点P（m，n）为“线点”， 则m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，

∴m2﹣2n﹣n2+2m＝0，m2﹣2n+n2﹣2m＝2t， ∴（m﹣n）（m+n+2）＝0， ∵m≠n， ∴m+n+2＝0， ∴m+n＝﹣2，

∵m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，

∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）＝2t， 即：（﹣2）2﹣2mn+2×2＝2t， ∴mn＝4﹣t， ∵m≠n， ∴（m﹣n）2＞0， ∴m2﹣2mn+n2＞0， ∴（m+n）2﹣4mn＞0， ∴（﹣2）2﹣4mn＞0， ∴mn＜1， ∵mn＝4﹣t， ∴t＞3；

（3）设PQ直线的解析式为：y＝kx+b， 则

，

解得：k＝﹣1，

∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B， ∴∠AOB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∵|∠AOB﹣∠POQ|＝30°， ∴∠POQ＝120°或60°， ∵P（m，n），Q（n，m）， ∴P、Q两点关于y＝x对称， ①若∠POQ＝120°时，如图1所示：

作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝60°， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴∠AON＝BON＝45°， ∴∠POC＝∠QOD＝15°，

在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°， ∴∠CTP＝30°， ∴PT＝2PC＝2n，TC＝∴﹣m＝

n+2n，

n，

由（2）知，m+n＝﹣2， 解得：m＝﹣1﹣

，n＝

﹣1，

由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3， ∴（﹣1﹣

）（﹣1+

）＝4﹣t，

解得：t＝6，

②若∠POQ＝60°时，如图2所示，

作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，

∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝30°， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴∠AON＝BON＝45°， ∴∠POD＝∠QOC＝15°，

在OD上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°， ∴∠DTP＝30°，

∴PT＝2PD＝﹣2n，TD＝﹣∴﹣m＝﹣

n﹣2n，

n，

由（2）知，m+n＝﹣2， 解得m＝﹣1﹣

，n＝﹣1+

，

由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3， ∴（﹣1﹣解得：t＝

）（﹣1+，

． ）＝4﹣t，

综上所述，t的值为：6或