第二章《一元二次方程》章末练习题-5
一、选择题
1. 对于实数 𝑎，𝑏，定义一种运算“⋃”为：𝑎⋃𝑏=𝑎2+𝑎𝑏−2，有下列命题： ① 1⋃3=2；
②方程 𝑥⋃1=0 的根为：𝑥1=−2，𝑥2=1； −2⋃𝑥−4<0,
③不等式组 { 的解集为：−1<𝑥<4；
1⋃𝑥−3<0其中正确的是 ( )
2. 若 2 是关于方程 𝑥2−5𝑥+𝑐=0 的一个根，则这个方程的另一个根是 ( )
3. 一元二次方程 3𝑥2−𝑥=0 的解是 ( )
4. 若 𝛼，𝛽 是一元二次方程 𝑥2+2𝑥−6=0 的两根，则 + 的值是 ( )
𝛼
𝛽1
1
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
A． −3 B． 3 C． −6 D． 6
A． 𝑥=0
B． 𝑥1=0，𝑥2=3 C． 𝑥1=0，𝑥2=3
1
D． 𝑥=3
1
A． −3
1
B． 3
1
C． −3 D． 3
5. 已知 𝑥=2 是方程 𝑥2−2𝑎=0 的一个解，则 2𝑎−1 的值是 ( )
2
3
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
6. 若 𝑡 为实数，关于 𝑥 的方程 𝑥2−4𝑥+𝑡−2=0 的两个非负实数根为 𝑎，𝑏，则代数式 (𝑎2−1)(𝑏2−1) 的最小值是 ( )
7. 关于 𝑥 的一元二次方程 (𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4=0 的一个根是 0，则 𝑎 的值是 ( )
8. 若方程 𝑥2−6𝑥+8=0 的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ( )
9. 关于 𝑥 的一元二次方程 (𝑎−1)𝑥2+3𝑥−2=0 有实数根，则 𝑎 的取值范围是 ( )
1
A． −15 B． −16 C． 15 D． 16
A． 0 B． 2 C． −2 D． 2 或 −2
A． 8 B． 10 C． 8 或 10 D．不能确定
A． 𝑎>−8
C． 𝑎>−8 且 𝑎≠1
1
1
B． 𝑎≥−8
D． 𝑎≥−8 且 𝑎≠1
1
1
10. 已知实数 𝑎 是一元二次方程 𝑥2+𝑥−7=0 的根，则 𝑎4+𝑎3+7𝑎−1 的值为 ( )
二、填空题
11. 已知方程 𝑥2−7𝑥+12=0 的两根恰好是 Rt△ABC 的两条直角边长，则 Rt△ABC 内切圆的半
径为 ．
12. 已知关于 𝑥 的方程 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1=0 的两根为 𝑥1=1，𝑥2=2，则方程 𝑎(𝑥+1)2+𝑏(𝑥+1)+
1=0 的两根之和为 ．
13. 若关于 𝑥 的方程 𝑎𝑥2+2(𝑎+2)𝑥+𝑎=0 有实数解，则实数 𝑎 的取值范围是 ．
14. 已知一个长方形的周长是 20 厘米，面积是 24 平方厘米，则这个长方形的长和宽是 ．
15. 方程 𝑥2=9 的解为 ．
2
16. 一元二次方程 𝑥2−4𝑥+1=0 的两根为 𝑥1，𝑥2，则 𝑥1−4𝑥1+3𝑥1𝑥2 的值为 ．
A． 48 B． 49 C． 50 D． 51
17. 若关于 𝑥 的一元二次方程 𝑎𝑥2−𝑥−=0(𝑎≠0) 有两个不相等的实数根，则点 𝑃(𝑎+1,−𝑎−
41
3) 在第 象限．
三、解答题 18. 解下列方程．
(1) 𝑥2−2𝑥−8=0． (2) (2𝑥−1)2−16=0．
19. 某学校为了了解 600 名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分 30 分，得分为整数），从中随机
抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图．已知成绩在 15.5∼18.5 这一组的频率为 0.05．请回答下列问题：
2
(1) 在这个调查中，样本容量是 ；平均成绩是 ； (2) 请补全成绩在 21.5∼24.5 这一组的频数分布直方图；
(3) 若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了 29.403 分，求该校学生体育成绩的年平
均增长率．
20. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，点 𝐴 是 𝑥 轴外的一点，若平面内的点 𝐵 满足：线段 𝐴𝐵 的长度
与点 𝐴 到 𝑥 轴的距离相等，则称点 𝐵 是点 𝐴 的“等距点”．
(1) 若点 𝐴 的坐标为 (0,2)，点 𝑃1(2,2)，𝑃2(1,−4)，𝑃3(−√3,1) 中，点 𝐴 的“等距点”是 ； (2) 若点 𝑀(1,2) 和点 𝑁(1,8) 是点 𝐴 的两个“等距点”，求点 𝐴 的坐标； (3) 记函数 𝑦=
√3𝑥(𝑥3
>0) 的图象为 𝐿，⊙𝑇 的半径为 2，圆心坐标为 𝑇(0,𝑡)．若在 𝐿 上存
在点 𝑀，⊙𝑇 上存在点 𝑁，满足点 𝑁 是点 𝑀 的“等距点”，直接写出 𝑡 的取值范围．
21. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，以点 𝐵 为圆心，𝐵𝐶 的长为半径画弧，交线段 𝐴𝐵 于点 𝐷，
以点 𝐴 为圆心，𝐴𝐷 长为半径画弧，交线段 𝐴𝐶 于点 𝐸，设 𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏．
(1) 请你判断：线段 𝐴𝐷 的长度是方程 𝑥2+2𝑎𝑥−𝑏2=0 的一个根吗？说明理由； (2) 若线段 𝐴𝐷=𝐸𝐶，求 𝑏 的值．
22. 要建一个面积为 150 平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙
长为 20 米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35 米，求鸡场的长和宽各为多少．
23. 请回答：
3
𝑎
(1) 计算：(−1)0+√12−√8×√2． (2) 解方程：𝑥2−2𝑥−3=0．
24. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，以 𝐴𝐵 边上的中线 𝐶𝐷 为直径作圆，如果与边 𝐴𝐵 有交点 𝐸（不与点 𝐷 重合），
⏜ 为 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐶− 中线弧．例如，如图 𝐷𝐸⏜ 是 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐶− 中线弧．在平面直角那么称 𝐷𝐸
坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，已知 △𝐴𝐵𝐶 存在 𝐶− 中线弧，其中点 𝐴 与坐标原点 𝑂 重合，点 𝐵 的坐标为 (2𝑡,0)(𝑡>0)．
1
(1) 当 𝑡=2 时，
①在点 𝐶1(−3,2)，𝐶2(0,2√3)，𝐶3(2,4)，𝐶4(4,2) 中，满足条件的点 𝐶 是 ；
⏜ 所在圆的圆心，其②若在直线 𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0) 上存在点 𝑃 是 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐶− 中线弧 𝐷𝐸中 𝐶𝐷=4，求 𝑘 的取值范围；
⏜ 所在圆的圆心为定点 𝑃(2,2)，直接写出 𝑡 的取值范围． (2) 若 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐶− 中线弧 𝐷𝐸
25. 解答下列问题．
(1) 解方程：3𝑥(𝑥−2)=2𝑥−4； (2) 计算：(1−𝑥)⋅𝑥2−1．
1
𝑥
4
答案
一、选择题 1. 【答案】A
【解析】① 1⋃3=12+1×3−2=2，故①正确； ②方程 𝑥⋃1=𝑥2+𝑥−2=0， (𝑥+2)(𝑥−1)=0，
𝑥1=−2，𝑥2=1，故②正确；
③ (−2)⋃𝑥−4=(−2)2−2𝑥−2−4=−2𝑥−2， (−2)⋃𝑥−4<0，则 −2𝑥−2<0 ∴𝑥>−1，
1⋃𝑥−3=1+𝑥−2−3=𝑥−4， 1⋃𝑥−3<0，则 𝑥−4<0． ∴𝑥<4．
综上：−1<𝑥<4，故③正确， ∴ 选A．
【知识点】因式分解法
2. 【答案】B
【解析】由根与系数的关系，设另一个根为 𝑥， 则 2+𝑥=5， 即 𝑥=3． 故选：B．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
3. 【答案】C
【解析】 ∵3𝑥2−𝑥=0，即 𝑥(3𝑥−1)=0． 解得：𝑥1=0，𝑥2=3． 【知识点】因式分解法
4. 【答案】B
【解析】 ∵𝛼，𝛽 是一元二次方程 𝑥2+2𝑥−6=0 的两根， ∴𝛼+𝛽=−2，𝛼𝛽=−6， ∴𝛼+𝛽=
5. 【答案】C
【解析】 ∵𝑥=2 是方程一个解，
5
1
1
𝛼+𝛽𝛼𝛽
−2
11
=−6=3，故选B．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
∴2×22−2𝑎=0，解得：𝑎=3， ∴2𝑎−1=5．
【知识点】一元二次方程的根
6. 【答案】A
【解析】由题意可知，此方程有两个非负实数根， 故 𝛥=16−4(𝑡−2)≥0， 解得 𝑡≤6，
又根据根与系数关系得：𝑎+𝑏=4，𝑎𝑏=𝑡−2， 因为 𝑡−2≥0，所以 𝑡≥2， 故 𝑡 的取值范围是 2≤𝑡≤6，
所求代数式展开=𝑎2𝑏2−𝑎2−𝑏2+1
2222
+1 =𝑎𝑏2−(𝑎+𝑏)
=(𝑎𝑏)−[(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏]+1=(𝑡−2)2−[16−2(𝑡−2)]+1=𝑡2−2𝑡−15.
此代数式的值是关于 𝑡 的二次函数，其开口向上，对称轴是 𝑡=1，在对称轴右侧，函数值随 𝑡 的增大而增大，因此在 𝑡 的取值范围内，当 𝑡=2 时，其代数式有最小值，为 −15． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系
7. 【答案】C
【解析】 ∵ 关于 𝑥 的一元二次方程 (𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4=0 的一个根是 0， ∴𝑎2−4=0， 解得 𝑎=±2， ∵𝑎−2≠0， ∴𝑎≠2， ∴𝑎=−2．
【知识点】一元二次方程的根
8. 【答案】B
【知识点】因式分解法
9. 【答案】D
【解析】根据题意得 𝑎≠1 且 𝛥=32−4(𝑎−1)⋅(−2)≥0， 解得 𝑎≥−8 且 𝑎≠1．
【知识点】一元二次方程根的判别式
10. 【答案】A
【解析】 ∵ 实数 𝑎 是一元二次方程 𝑥2+𝑥−7=0 的根，
6
1
3
∴𝑎2+𝑎−7=0， ∴𝑎2+𝑎=7，
∴(𝑎2+𝑎)2=𝑎4+2𝑎3+𝑎2=49， ∴𝑎4+𝑎3=49−𝑎3−𝑎2，
∴𝑎4+𝑎3+7𝑎−1=49−𝑎3−𝑎2+7𝑎−1
=48−(𝑎3+𝑎2−7𝑎)
=48−𝑎(𝑎2+𝑎−7)
=48−0=48.
【知识点】完全平方公式、一元二次方程的根、简单的代数式求值
二、填空题 11. 【答案】 1
【解析】 𝑥2−7𝑥+12=0，(𝑥−3)(𝑥−4)=0，解得 𝑥=3，𝑥=4． ∴ 直角三角形的两条直角边为：3，4， 由勾股定理得：斜边长 =√32+42=5； ∴ 直角三角形的外接圆直径长为：5， 其内切圆的半径为：
3+4−52
=1．
【知识点】因式分解法、几何问题
12. 【答案】 1
【知识点】一元二次方程的根
13. 【答案】 𝑎≥−1
【解析】当 𝑎=1 时，方程是一元一次方程，有实数根， 当 𝑎≠0 时，方程是一元二次方程，
若关于 𝑥 的方程 𝑎𝑥2+2(𝑎+2)𝑥+𝑎=0 有实数解， 则 𝛥=[2(𝑎+2)]2−4𝑎⋅𝑎≥0， 解得：𝑎≥−1． 故答案为：𝑎≥−1．
【知识点】一元二次方程根的判别式
14. 【答案】 6 厘米和 4 厘米
【知识点】几何问题
15. 【答案】 ±3
【知识点】直接开平方法
16. 【答案】 2
【解析】 ∵ 一元二次方程 𝑥2−4𝑥+1=0 的两根为 𝑥1，𝑥2，
7
2 ∴𝑥1−4𝑥1=−1，𝑥1𝑥2=1，
2 ∴𝑥1−4𝑥1+3𝑥1𝑥2=−1+3×1=2．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
17. 【答案】四
【解析】 ∵ 关于 𝑥 的一元二次方程 𝑎𝑥2−𝑥−4=0(𝑎≠0) 有两个不相等的实数根， ∴{
𝑎≠0,
1 解得 𝑎>−1 且 𝑎≠0．
𝛥=(−1)2−4×𝑎×(−4)>0.
1
∴𝑎+1>0，−𝑎−3<0，
∴ 点 𝑃(𝑎+1,−𝑎−3) 在第四象限． 【知识点】一元二次方程根的判别式
三、解答题 18. 【答案】
(𝑥+2)(𝑥−4)=0.
(1) 𝑥+2=0 或 𝑥−4=0.
𝑥1=−2,𝑥2=4.(2𝑥−1)2=16.2𝑥−1=±4. (2)
53
𝑥1=2,𝑥2=−2.
【知识点】因式分解法、直接开平方法
19. 【答案】
(1) 60；24.3
(2) 补全频数分布直方图如下
(3) 设年平均增长率为 𝑥，由题意得24.3(1+𝑥)2=29.403解方程得𝑥=10%,∴ 两年的年平均增长率为 10%． 【解析】
(1) 样本容量：3÷0.05=60；
∴21.5∼24.5 组别人数 =60−3−6−10−14=27 人， 总成绩
=3×
(15.5+18.5)
2
+6×
(18.5+21.5)
2
+27×
(21.5+24.5)
2
+10×
(24.5+27.5)
2
+14×
(27.5+30.5)
2
=1458
均成绩 =1458÷60=24.3， 故答案为：60，24.3；
平
【知识点】平均增长率、频数分布直方图、条形统计图、加权平均数、数据的分布、总体、个体、样本、样本容量
20. 【答案】
(1) 𝑃1，𝑃3
8
(2) ∵ 点 𝑀(1,2) 和点 𝑁(1,8) 是点 𝐴 的两个“等距点”， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，
∴ 点 𝐴 在线段 𝑀𝑁 的垂直平分线上．
设 𝑀𝑁 与其垂直平分线交于点 𝐶，点 𝐴 的坐标为 (𝑚,𝑛)，如图 1 所示． ∵ 点 𝑀(1,2)，点 𝑁(1,8)，
∴ 点 𝐶 的坐标为 (1,5)，𝐴𝑀=𝐴𝑁=𝑛=5， ∴𝐶𝑀=3，𝐴𝐶=√𝐴𝑀2−𝐶𝑀2=4， ∴𝑚=1−4=−3 或 𝑚=1+4=5， ∴ 点 𝐴 的坐标为 (−3,5) 或 (5,5)． (3) −2<𝑡≤4． 【解析】
(1) ∵𝐴𝑃1=2−0=2，
𝐴𝑃2=√(1−0)2+(−4−2)2=√37， 𝐴𝑃3=√(−√3−0)+(1−2)2=2， ∴ 点 𝐴 的“等距点”是 𝑃1，𝑃3． (3) 设点 𝑀 的坐标为 (𝑎,则 𝑇𝑀=√(𝑎−
0)2
+
√3(3𝑎
√3𝑎)(𝑎3
22
>0)，
√3𝑎， 3
−𝑡)，𝑀𝐷=
2√3 𝑀𝑁=√(𝑎−0)2+(𝑎−𝑡)−2．
3
√3𝑎3
√3=√(𝑎−0)2+(𝑎−𝑡)−2，
3
2依题意，得：𝑀𝐷=𝑀𝑁，即 整理，得：𝑎2−
2√3(𝑡3
+2)𝑎+𝑡2−4=0，
∵ 关于 𝑎 的一元二次方程有解， ∴𝛥=
2√3[−3(𝑡
+2)]−4×1×(𝑡2−4)≥0，
2
即 𝑡2−2𝑡−8≤0，解得：−2≤𝑡≤4． 当 𝑡=−2 时，𝑎2=0，不合题意，舍去． ∴𝑡 的取值范围为 −2<𝑡≤4．
【知识点】两点间距离公式、平面直角坐标系及点的坐标、一次函数与圆的综合、一元二次方程根
9
的判别式、垂直平分线的判定、勾股定理
21. 【答案】
(1) 因为在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘， 所以 𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2， 因为 𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏． 所以 𝐴𝐵2=𝑎2+𝑏2，
方程 𝑥2+2𝑎𝑥−𝑏2=0 变形为：𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2=𝑎2+𝑏2， 所以 (𝑥+𝑎)2=𝐴𝐵2， 因为 𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝑎， 所以 (𝑥+𝐵𝐷)2=𝐴𝐵2，
所以线段 𝐴𝐷 的长度是方程 𝑥2+2𝑎𝑥−𝑏2=0 的一个根． (2) 因为 𝐴𝐷=𝐸𝐶， 所以 𝐴𝐶=2𝐴𝐷=2𝐴𝐸=𝑏， 所以 𝐴𝐷=2𝑏， 所以 𝐴𝐵=𝑎+𝑏，
211
因为 𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2， 所以 (𝑎+2𝑏)=𝑎2+𝑏2， 整理得 𝑎=𝑏，
431
2
所以
𝑎𝑏
=．
4
3
【知识点】配方法、勾股定理
22. 【答案】鸡场的长为 20 米，宽为 7.5 米，或长为 15 米，宽为 10 米．
【知识点】几何问题
23. 【答案】
(1) 2√3−1．
(2) 𝑥=−1 或 𝑥=3．
【知识点】因式分解法、二次根式的乘法
24. 【答案】
(1) ① 𝐶2，𝐶4
② ∵△𝐴𝐵𝐶 的中线 𝐶𝐷=4，𝐵(4,0)，𝑘>0，
⏜ 上（点 𝐻 除外） ∴ 点 𝐶 在 𝑀𝑁，其中点 𝑀(0,2√3)，点 𝑁(4,2√3)，点 𝐻(2,4)， ⏜ 所在圆的圆心， ∵𝑃 是 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐶− 中线弧 𝐷𝐸⏜ ∴ 点 𝑃 在 𝑃，其中点 𝑃1(1,√3)，点 𝑃2(3,√3)，点 𝑄(2,2)． 1𝑃2 上（点 𝑄 除外）
10
当直线 𝑦=𝑘𝑥 过点 𝑃1(1,√3) 时，得 𝑘=√3； 当直线 𝑦=𝑘𝑥 过点 𝑃2(3,√3) 时，得 𝑘=
√3； 3
当直线 𝑦=𝑘𝑥 过点 𝑄(2,2) 时，得 𝑘=1； 结合图形，可得 𝑘 的取值范围是 (2) ≤𝑡≤4 且 𝑡≠2．
34
√33
≤𝑘≤√3 且 𝑘≠1．
【知识点】垂径定理、弧的相关概念、平面直角坐标系及点的坐标
25. 【答案】
∵3𝑥(𝑥−2)=2(𝑥−2)
(1) 则
∴3𝑥(𝑥−2)−2(𝑥−2)=0.(2) 原式=
𝑥−1𝑥
(𝑥−2)(3𝑥−2)=0.
解得𝑥=2或𝑥=3.
∴𝑥−2=0或3𝑥−2=0.
2
⋅(𝑥+1)(𝑥−1)=𝑥+1．
𝑥1
【知识点】因式分解法、分式的混合运算
11
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