初中数学竞赛专项训练(4)及答案

（不等式）

一、选择题：

1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a有解，则a的取值范围是 A. 0＜a≤4 B. a≥4 C. 0＜a≤2 D. a≥2 2、已知a、b、c、d都是正实数，且

（ ）

acacac，给出下列四个不等式：① ② bdabcdabcdbcbd③ ④其中正确的是 （ ） abcdabcd（ ）

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a、b、c满足a＜b＜c，ab+bc+ac＝0，abc＝1，则 A. ｜a+b｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定

2x5x534、关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 （ ）

x3xa2 A. -611 2B. -6≤a<-

11 2C. -6＜a≤-

11 2D. -6≤a≤-

11 25、设关于x的方程ax2(a2)x9a0有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是 A.  B. a

（ ）

22a 752

5

C. a2 7D.2a0 11b，其中 a

（ ）

6、下列命题：①若a=0，b≠0，则方程axb无解 ②若a=0，b≠0，则不等式axb无解 ③若a≠0，则方程axb有惟一解 ④若a≠0，则不等式axb的解为x A. ①②③④都正确

C. ①③不正确，②④正确

B. ①③正确，②④不正确 D. ①②③④都不正确

x37、已知不等式①|x-2|≤1 ②(x2)21 ③(x1)(x3)0 ④x10其中解集是1x3的不等式为 A. ①

B. ①②

C. ①②③

（ ） D. ①②③④

（ ）

8、设a、b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.9＜ A. 171

二、填空题： 1、若方程

B. 177

C. 180

a＜0.91，则b2-a2等于 bD. 182

2xa1的解是正数，则a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ x22、乒乓球队开会，每名队员坐一个凳子，凳子有两种：方凳（四脚）或圆凳（三脚），一个小孩走进会场，他数得人脚和凳脚共有33条（不包括小孩本身），那么开会的队员共有＿＿＿＿名。

- 1 -

3、已知不等式①|x2|3 ②(x2)290 ③的不等式有＿＿＿＿＿个。

x160 ④1，其中解集是5x1x5x14、若关于x的一元二次方程2x2(a5)x20无实数根，则a的取值范围是＿＿＿

5、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.6元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内），如果某人寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费＿＿＿＿＿＿＿

6、若x1、x2都满足条件|2x1||2x3|＝4且x1＜x2则x1-x2的取值范围是＿＿＿

三、解答题

1、有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？

- 2 -

2、已知一元二次方程(k21)x2(4k)x10的一个根大于1，另一个根小于1，求整数k的值。

3、若关于x的不等式｜ax+a+2｜＜2有且只有一个整数解，求a的整数值。

- 3 -

4、某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？

5、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？

- 4 -

参

一、选择题

当1x3时，　x＋10，x-30，所以|x1||x3|x13-x4当x-1时，|x-3|3-x4|x1|x141、B。解：当x3时，因此，对一切实数x，恒有|x1||x-3|4，原不等式有解，必须a4。故选B2、D。解：

因a、b、c、d都是正实数， acbdbdabcbac11 bdacacacabcdacacabcdbd11bdbdbdabcd 故选D。 3、A。解：

(abbcac)2a2b2b2c2a2c22abc(abc)01abc(a2b2b2c2a2c2)20 2abc　　a0，又abc10　　b0　　c0|ab|abc|c| 故选A。 4、C。解：

x20解不等式组，得，不等式组只有5个整数解，即解只能是x32a

32a1411x15、16、17、18、19，a的取值范围是，6a232a15 故选C。

5、D。解：

2 易知a0，原方程可变形为x(122)x90，记yx2(1)x9 aa 则这个抛物线开口向上，因x11x2，故当x1时，y0。 即1(122)90，解得a0 a11 故选D。

6、B。 7、C。 8、B。解：

由题设得：0.9bb59 0.91bb56，所以b30，31。

数学竞赛专项训练参（4）－5

当b＝30时，由0.9b222xa2a2a1得x0，所以a2，但x2，即2， x233 所以a4，故应填a2且a4。

2、解：设有x人开会，则全坐圆凳共有5x条脚，全坐方凳共有6x条脚，于是

13 5x336x，即5x6，而x只能为整数，x6，故应填6。

251、解：解方程

3、解：由①得3x23即5x1，则②得(x5)(x1)0，

∴5x1。由③得5x1。由④得∴5x1。故应填4。

4、解：(a5)24220，即(a1)(a9)0，∴1a9，故应填1a9。 5、解：20372.5204，由题意应付邮费0.8×4＝3.2元，故应填3.2元。

6x510，即0， x1x113||x|2。 22113|x|表示数轴上表示数x的点到表 |x|表示数轴上表示数x的点到表示的点之间的距离，

222331示数-的点之间的距离，显然，当x或x时，

22213131331 |x||x||()|2，而当x时，|x||x|2，又x1x2，∴

2222222231x1x2，故2x1x20，故应填2x1x20。 226、解：|2x1||2x3|4，两边都除以2得：|x

三、解答题

1、解：设开始抽水时满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z，2小时抽干

满池水需n台水泵，则

x5y512z　　① x7y710z　　②

x2y2nz　　　③ 由①②得 ∴n22x＝35z，代入③得：35z10z2nz

y5z1，故n的最小整数值为23。 222 答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台。

2、解：原方程有一个大于1的根和一个小于1的根，相当于抛物线y(k1)x(4k)x1与x轴的两个

数学竞赛专项训练参（4）－6

2交点分在点（1，0）的两旁，因为k10，抛物线开口向上，所以当x1时，y值小于0即可，

即

(k21)(4k)10

k2k20(k2)(k1)02k1　　　整数k的值只有1和0

0 3、解：由题可得a4axa，

若a0，则400，不等式无解，不合题意舍去。 若a0，则14x1， a441a ∵不等式有惟一整数解，∴312，即12。∴1，即

aa24 2a4，∴整数a值只能为3。

4a41，即12，∴ 若a0则1x1 ∵不等式有惟一整数解 ∴01a4a1a1，即4a2，∴整数a的值为－3。 24 综上所求，a的整数值为±3。

4、解：设第一层有客房x间，则第二层有(x5)间，由题可得

y1 x

4x485x　　　　　　①3(x5)484(x5)　　②4x483，即9x12

5485x3(x5)48，即7x11

484(x5)3x11 5

由①得： 由②得： ∴原不等式组的解集为9 ∴整数x的值为x10。 答：一层有客房10间。

5、解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件 由题意

8(x10)200

4(x1027)8(x10)解得15x17

∵x是整数 ∴x＝16 （16＋37）÷16≈3.3

故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。http://www.czsx.com.cn

数学竞赛专项训练参（4）－7

数学竞赛专项训练参（1）－8