大一微积分练习题及答案

一．单项选择题

1．设fx0存在，则下列等式成立的有（ ） A． limfx0xfx0fx0xfx0fx0 B．limfx0

x0xx0xC．limfx02hfx0hfx D．limfx02hfx01h00h0h2fx0

2．下列极限不存在的有（ ）

A．limx0xsin1x22xx2 B．xlimx1

12C． limxx0e D．lim3x13x2x6x

3．设f(x)的一个原函数是e2x，则f(x)（ ）

A．2e2x B．e2x C．4e2x D． 2xe2x

4．函数f(x)2x,0x11,x1在0,上的间断点x1为（ ）间断点。

1x,x1A．跳跃间断点； B．无穷间断点；

C．可去间断点； D．振荡间断点

5． 设函数fx在a,b上有定义，在a,b内可导，则下列结论成立的有（ ） A． 当fafb0时，至少存在一点a,b，使f0； B． 对任何a,b，有limfxf0；

xC． 当fafb时，至少存在一点a,b，使f0； D．至少存在一点a,b，使fbfafba； 6． 已知fx的导数在xa处连续，若limfxxaxa1，则下列结论成立的有（ A．xa是fx的极小值点； B．xa是fx的极大值点； 文档

）

C．a,fa是曲线yfx的拐点；

D．xa不是fx的极值点，a,fa也不是曲线yfx的拐点； 二．填空： 1．设yfarcsin1，f可微，则yx x2．若y3x52x2x3，则y6

3．过原点0,1作曲线ye2x的切线，则切线方程为

4x12的水平渐近线方程为 x2 铅垂渐近线方程为 4．曲线y5．设f(lnx)1x，则fx fx

三．计算题：

x21x2（1）lim2 （2）limx1x2x3xxx3

ln(1x2)2（3）lim （4）yln12x 求dy

x0xsin3x （5）exyy35x0 求

dydxx0

四．试确定a，b，使函数fx

b1sinxa2,x0在x0处连续且可导。 axe1,x0x五．试证明不等式：当x1时，exe

六．设Fx1xexe 2fxfa,xaxa，其中fx在a,上连续，fx在a,内存

在且大于零，求证Fx在a,内单调递增。

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《微积分》练习题参

七．单项选择题 1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八．填空：（每小题3分，共15分） 1． 1xx21farcsin1x

2． y60 3． y2x1 4． y2 ， x0

5． fx1ex，fxxexc

三,计算题：（1）limx21x1x22x3 2limx1x1x22x3lim2xx12x2 12（3）limln(1x2)x0xsin3x ln(1x2lim) x0xsin3x2 limx1x0x3x3 （5）exyy35x0 求

dydxx0exyyxy3y2y505yexyy 3y2xexy又x0y1

x3 （2）limxx2x

x3limx2xxlim2x2x3x(12•xx) 2xexlim6xe2 （4）yln12x2 求dy

dy2ln12x1 122dx4lnx12x12xdx

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yx0（

5yexy23yxexyx0y12

九．试确定a，b，使函数fx（8分）

b1sinxa2,x0在x0处连续且可导。 axe1,x0解：f00limb1sinxa2ab2

x0f00limeax10， 函数fx在x0处连续f00f00

x0ab20， （1）

b1sinxa2ba2b

f0limx0xeax1ab2eax1f0limlima

x0x0xx函数fx在x0处可导f0f0，故ab （2） 由（1）（2）知ab1

十．试证明不等式：当x1时，exetx1xexe （8分） 2证：（法一）设fte t1,x 则由拉格朗日中值定理有

ex1exeex1exx1 1,x

整理得：exexx1xexe 2法二：设fxeex

fxexe0x1 故fxexex在x1时，为增函数，

fxexexf10，即exex

设fxex1xxee 2fxex1x1exexex1x022x1 故fxex1xxee在2x1时，为减函数，

11fxexexxexf10，即exxexe

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综上，exe

十一． 设Fxx1xexe 2fxfaxa，其中fx在a,上连续，fx在a,内xa存在且大于零，求证Fx在a,内单调递增。 （5分） 证：Fxfxxafxfa 2(xa)fxxafxaax 2(xa)fxf

xafx0x xa故Fx在a,内单调递增。

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