2015全国卷1数学试卷及答案(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6页。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题。

（1）设复数z满足1+z1z=i，则｜z|=

（A)1 （B）2 （C）3 （D）2 （2）sin20cos10cos160sin10

(A）32 （B）3112 （C）2 (D）2

（3)设命题P：nN,n2>2n，则P为

(A)nN， n2>2n (B） nN， n2≤2n （C)nN, n2≤2n （D) nN, n2=2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0。6,且各次投篮是否投中相互,则该同学通过测试的概率为 （A)0。8 （B）0。432 （C）0。36 （D）0.312

（5）已知M（x0x2，y0）是双曲线C：2y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点,若

MF1•MF2＜0，则y0的取值范围是

（A）（-33，33）（B)(-36,36）(C）（222223233，3） （D)(3，3)

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?\"其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A。14斛 B。22斛 C.36斛 D.66斛

（7）设D为ABC所在平面内一点BC3BC，则

(A)AD13AB43AC (B)AD143AB3AC

（C）AD43AB13AC （D)AD413AB3AC

(8）函数f(x)=的部分图像如图所示,则f(x）的单调递减区间为

（A)(k13134,k4),kZ （B）(2k4,2k4),kZ

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(C)(k14,k34),kZ （D）(2k14,2k34),kZ

（9）执行右面的程序框图,如果输入的t=0。01，则输出的n= (A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10）（x2xy）5的展开式中，x5y2的系数为

（A）10 （B)20 （C)30 （D)60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=

（A)1 （B）2 (C）4 (D）8

12.设函数f(x）=ex（2x—1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0)0，则a的取值范围是（ ）

A。32e,1 B。32e,34 C。3332e,4 D. 2e,1

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22)题~第（24)题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13)若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a=

（14）一个圆经过椭圆

x2y21641的三个顶点,且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。

x10（15）若x，y满足约束条件xy0则x的最大值为 .

xy40y（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 。

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三。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分)

Sn为数列｛an}的前n项和.已知an〉0，an2an4Sn3

（Ⅰ）求｛an}的通项公式,

(Ⅱ)设b1na ,求数列bn}的前n项和。

nan1

（18）如图,，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 (1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

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（19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1(i=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x y w 1(x1-x）2 x1111（w1—w）x1(x1-x）x1（w1—w）x12 （y-y） (y—y） 46.6 56.3 6。8 2。8 1.6 1469 108.8 1表中w1 =x1, 1，w =

8w1

x1（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由）

(Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0。2y-x。根据（Ⅱ)的结果回答下列问题:

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附:对于一组数据(u1 v1）,(u2 v2）……。。 (un vn），其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

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（20）（本小题满分12分)

xoy中,曲线C：y=x2在直角坐标系4与直线y=ks+a（a>0)交与M，N两点,

(Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x）=x3ax14,g(x)lnx

（Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线;

（Ⅱ)用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0) ，讨论

h（x）零点的个数

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请考生在(22）、(23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22)（本题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线,BC交☉O于E （1）若D为AC的中点,证明：DE是O的切线； （2）若OA=3CE，求∠ACB的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系O中。直线C1:=2，圆C22:1221,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求C1，C2的极坐标方程；

（II） 若直线C3的极坐标方程为4R,设C2与C3的交点为M,N ,

求C2MN的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

=|x+1｜-2|x—a|，a〉0。

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x）>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围

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