四川省成都七中育才学校2014-2015学年八年级(下)期末数学模拟试卷(2)(解析版)

2014-2015学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期末数学模拟试

卷（2）

一、选择题

1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ） A．a﹣3＜b﹣3

B．＜

C．﹣2a＜﹣2b

D．﹣a＞﹣b

2．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ） A．a2+a+ B．a2+b2﹣2ab 3．若分式

C．﹣a2+25b2 D．﹣4﹣b2

的值为0，则（ ）

D．x=0

A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1

4．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

5．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分

D．两组对角分别相等

6．用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第10个图案中，所包含的黑色正三角形的个数是（ ）

A．36 B．38 C．40 D．42

产生增根，则常数m的值等于（ ） D．2

7．解关于x的方程A．﹣1 B．﹣2 C．1

8．关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0，则m的值是（ ） A．m=3或m=﹣1 B．m=﹣3或m=1 C．m=﹣1

D．m=3

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9．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）

A．2

B．4 C．4 D．8

二．填空题：

11．已知2x﹣y=，xy=2，则2x2y﹣xy2= ． 12．函数13．若

的自变量x的取值范围是 ． =，则= ．

14．关于x的方程x2﹣mx+4=0有两个相等实根，则m= ．

15．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=2

，CQ=5，则正方形ABCD的面积为 ．

三．解答题：

16．（1）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）

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（2）解方程：2x2+4x﹣1=0

（3）解不等式组，并求出它的所有整数解．

17．先化简，再求值 已知：

，求

的值．

18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2.3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0） （1）画出△ABC关于原点对称的三角形△A′B′C′；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点B的对应点B′的坐标； （3）画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形，并写出第四个顶点D的坐标．

19．如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，菱形ABCD的周长是20，BD=6． （1）求AC的长．

（2）求菱形ABCD的高DE的长．

20．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF；

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（2）当点O在AC上运动到何处时，四边形AECF为矩形？请说明理由； （3）当点O在AC上运动时，四边形BCFE能为菱形吗？请说明理由．

一．填空题：

21．已知a2﹣3a+1=0，则（a2﹣22．若关于x的分式方程

）（a﹣）= ．

﹣1=无解，则m的值 ．

23．已知关于x的一元一次不等式组 有解，则直线y=﹣x+b不经过第 象限．24．BD相交于点O，OD=12cm，如图：在梯形ABCD中两条对角线AC、已知OB=18cm，则S△ABD：S△ABC= ．

25．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．

二．解答题：

26．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长． （1）k取何值时，方程有两个实数根；

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（2）当矩形的对角线长为时，求k的值．

27．我市向汶川灾区赠送270台计算机并于近期启运，经与其物流公司联系，得知用A型汽车若干辆，刚好装完；如用B型汽车，可比A型汽车少一辆，但有一辆少装30台．已知每辆A型汽车比每辆B型汽车少装15台．

（1）求只选用A型汽车或B型汽车装运需要多少辆？

（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元，若运送这批计算机同时用这两种型的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所需运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A、B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？

28．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t=15时，△PEF的面积；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

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2014-2015学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期末数

学模拟试卷（2）

参与试题解析

一、选择题

1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ） A．a﹣3＜b﹣3

B．＜

C．﹣2a＜﹣2b

D．﹣a＞﹣b

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的基本性质判断．

【解答】解：A、如果a＞b，根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a﹣3＜b﹣3不成立；

B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，＜不成立； C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣2a＜﹣2b成立； D、﹣a＜﹣b． 故选C．

【点评】不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注意不等号的方向是否改变．

2．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ） A．a2+a+ B．a2+b2﹣2ab

C．﹣a2+25b2 D．﹣4﹣b2

【考点】因式分解-运用公式法． 【专题】计算题．

【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可． 【解答】解：A、原式=（a+）2，不合题意； B、原式=（a﹣b）2，不合题意；

C、原式=（5b+a）（5b﹣a），不合题意； D、原式不能分解，符合题意． 故选D．

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【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键． 3．若分式

的值为0，则（ ）

D．x=0

A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】分式值为零的条件是分式的分子等于0，分母不等于0． 【解答】解：∵分式∴|x|﹣1=0，x+1≠0． ∴x=±1，且x≠﹣1． ∴x=1． 故选：B．

【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，明确分式值为零时，分式的分子等于0，分母不等于0是解题的关键．

4．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ） A．5

B．6

C．7

D．8 的值为0，

【考点】多边形内角与外角．

【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题． 【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8． 故选D．

【点评】解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．

5．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分

D．两组对角分别相等

【考点】矩形的性质；菱形的性质．

【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；

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C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误； D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误． 故选B．

【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．

6．用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第10个图案中，所包含的黑色正三角形的个数是（ ）

A．36 B．38 C．40 D．42

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】仔细观察发现第n个图案中，黑色正三角形的个数分别是4n． 【解答】解：第1个图案中，黑色正三角形的个数分别是4； 第2个图案中，黑色正三角形的个数分别是2×4=8； 第3个图案中，黑色正三角形的个数分别是3×4=12； …

第n个图案中，黑色正三角形的个数分别是4n． 故当n=10时，4n=4×10=40． 故选C．

【点评】本题考查了图形的变化类问题，找规律的题，应以第一个图象为基准，细心观察，得到第n个图形与第一个图形之间的关系．

7．解关于x的方程A．﹣1 B．﹣2 C．1

产生增根，则常数m的值等于（ ） D．2

【考点】分式方程的增根． 【专题】计算题．

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．

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【解答】解；方程两边都乘（x﹣1），得 x﹣3=m， ∵方程有增根，

∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=﹣2． 故选：B．

【点评】增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

8．关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0，则m的值是（ ） A．m=3或m=﹣1 B．m=﹣3或m=1 C．m=﹣1 【考点】一元二次方程的解． 【专题】压轴题．

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入方程式即可解．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0， 把x=0代入得到m2﹣2m﹣3=0，解得m=3或﹣1，因为m+1≠0，则m≠﹣1，因而m=3． 故本题选D．

【点评】本题主要考查了方程的根的定义，就是能使方程左右两边相等的未知数的值，本题特别要注意一元二次方程的二次项系数不等于0．

9．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有（ ）

D．m=3

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【考点】相似三角形的判定．

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【分析】已知平行四边形的对边平行，平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似．

【解答】解：∵AD∥BC

∴△ADG∽△ECG，△ADG∽△EBA， △ABC∽△CDA，△EGC∽△EAB； 所以共有四对 故选C．

【点评】本题考虑平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似，注意要找全，不可漏掉任何一个．

10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8

【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长． 【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵DC∥AB， ∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA，

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∴AD=FD， 又F为DC的中点， ∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=则AF=2AG=2

，

，

∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF， 在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF， 则AE=2AF=4故选：B

【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

二．填空题：

11．已知2x﹣y=，xy=2，则2x2y﹣xy2= 【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式，将已知代入求出即可． 【解答】解：∵2x﹣y=，xy=2， ∴2x2y﹣xy2=xy（2x﹣y）=2×=． 故答案为：．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．

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．

．

12．函数的自变量x的取值范围是 x＞2 ．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣2＞0， 解得x＞2． 故答案为：x＞2．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13．若

=，则= ．

【考点】比例的性质．

【分析】根据比例的性质，即可解答． 【解答】解：∵∴7m=11n， ∴

，

．

，

故答案为：

【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质．

14．关于x的方程x2﹣mx+4=0有两个相等实根，则m= ±4 ． 【考点】根的判别式． 【专题】探究型．

【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，求出m的值即可．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+4=0有两个相等实根， ∴△=（﹣m）2﹣4×4=0，解得m=±4． 故答案为：±4．

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【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．

15．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=2

，CQ=5，则正方形ABCD的面积为 81 ．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】压轴题．

【分析】作PE⊥AD与E，过点P作FG⊥CD于G，交AB于F，根据已知条件以及正方形ABCD的性质，易证明四边形AEPF是正方形，则其边长是2，易证得△PQG≌△BPF，则QG=PF=2，则大正方形的边长是9，进而可得其面积．

【解答】解：作PE⊥AD与E，过点P作PF⊥AB于F，延长FP交CD于G， ∵正方形ABCD，

∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°=∠PEA=∠PFA， ∴PE=PF，

∴四边形AEPF是正方形， ∴AE=PE=PF=AF， ∵AP=2

，由勾股定理得：AE2+PE2=

，

∴AE=PE=PF=AF=2，

∴PG=BF，且∠PFB=∠PGQ=90°； ∵∠FBP+∠FPB=90°， ∴∠FBP=∠GPQ， 在△PQG和△BPF中

，

∴△PQG≌△BPF，则QG=PF=2， ∴AB=BC=CD=2+2+5=9，

则大正方形的边长是9，即面积是81；故答案为81．

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【点评】此题主要是通过作辅助线构造正方形和全等三角形，然后求得大正方形的边长．

三．解答题：

16．（1）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a） （2）解方程：2x2+4x﹣1=0

（3）解不等式组，并求出它的所有整数解．

【考点】解一元一次不等式组；因式分解-提公因式法；解一元二次方程-公式法；一元一次不等式组的整数解．

【分析】（1）利用提公因式法分解，然后利用公式法即可分解； （2）利用求根公式即可求解；

（3）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．

【解答】解：（1）原式=4a（a﹣1）2+（a﹣1）=（a﹣1）【4a（a﹣1）+1】=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2； （2）∵a=2，b=4，c=﹣1， b2﹣4ac=16+8=24＞0， ∴x=则x1=

， ，x2=

；

（3），

解①得x＜， 解②得：x≥﹣5．

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则不等式组的解集是﹣5≤x＜．

则整数解是：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1．

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．

17．先化简，再求值 已知：

，求

的值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再=，设x=2k，y=3k（k≠0），再代入进行计算即可． 【解答】解：原式=[

﹣

]×

=×

=

=；

解法一：∵ =，不妨设x=2k，y=3k（k≠0）， ∴原式=

=

；

解法二： =

∵=，

∴原式==．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

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18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2.3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0） （1）画出△ABC关于原点对称的三角形△A′B′C′；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点B的对应点B′的坐标； （3）画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形，并写出第四个顶点D的坐标．

【考点】作图-旋转变换；平行四边形的性质． 【专题】作图题．

【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，即可得到△A′B′C′；

B、C旋转后的对应点A″，B″、C″， （2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、即可得到△A″B″C″； （3）分类讨论：分别以AB、BC和AC为对角线作出平行四边形，然后写出第四个顶点D的坐标．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）如图，△A″B″C″为所作，点B的对应点B″的坐标的坐标为（0，﹣6）； （3）如图，四边形ABCD′、四边形ADBC和四边形ABD″C为所作， 第四个顶点D的坐标为（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．

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【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的性质．

19．如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，菱形ABCD的周长是20，BD=6． （1）求AC的长．

（2）求菱形ABCD的高DE的长．

【考点】菱形的性质． 【专题】计算题．

【分析】（1）菱形的四边相等，周长是20，则边长为5；根据菱形对角线互相垂直平分，可得OC=AC，OD=3．运用勾股定理求出OC便可求出AC． （2）利用等积法求解：S△ABD=AB•DE=BD•OA． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，

AC⊥BD，BO=OD，AO=OC． ∵菱形的周长是20，

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∴DC=．

∵BD=6，∴OD=3． 在Rt△DOC中

==4．

∴AC=2OC=8．

（2）∵S△ABD=AB•DE=BD•OA， ∴5•DE=6×4 ∴DE=

．

【点评】此题考查了菱形的性质：对角线互相垂直平分；四边相等． 问题（2）亦可运用菱形面积的两种表达式求解．菱形的面积有两种求法： （1）利用底乘以相应底上的高；

（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．

20．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF；

（2）当点O在AC上运动到何处时，四边形AECF为矩形？请说明理由； （3）当点O在AC上运动时，四边形BCFE能为菱形吗？请说明理由．

【考点】菱形的判定；矩形的判定．

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【分析】（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得OE=OC，同理可证OC=OF，则可证得OE=OF=OC； （2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而分析求出即可． 【解答】（1）证明：∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠1=∠2， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OE=OC， 同理可证OC=OF， ∴OE=OF；

（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 理由是：当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACG=（∠ACB+∠ACG）=90°， ∴平行四边形AECF是矩形．

（3）解：不可能． 理由如下：如图，连接BF， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACG=（∠ACB+∠ACG）=90°， 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，

但在△DFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．

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【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

一．填空题：

21．已知a2﹣3a+1=0，则（a2﹣【考点】分式的混合运算． 【专题】计算题．

【分析】已知等式两边除以a变形后求出a+=3，两边平方求出a2+平方差公式化简，变形后将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a2﹣3a+1=0， ∴a+=3，

两边平方得：（a+）2=a2+

+2=9，即a2+

=7，

的值，原式第一个因式利用

）（a﹣）= 15 ．

则原式=（a+）（a﹣）2=3（a2+故答案为：15．

﹣2）=15．

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．若关于x的分式方程【考点】分式方程的解．

【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得m的值． 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x=2（x﹣3） （2m+1）x=﹣6 x=﹣

，

﹣1=无解，则m的值 ﹣或﹣ ．

第20页（共27页）

当2m+1=0，方程无解，解得m=﹣． x=3时，m=﹣， x=0时，m无解． 故答案为：﹣或﹣．

【点评】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案．

23．已知关于x的一元一次不等式组【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】根据关于x的一元一次不等式组象限．

【解答】解：根据题意得：b+2＜3b﹣2， 解得：b＞2．

当b＞2时，直线经过第一、二、四象限，不过第三象限． 故填：三．

【点评】根据不等式组的解集的确定方法首先确定b的范围是解决本题的关键．

24．BD相交于点O，OD=12cm，如图：在梯形ABCD中两条对角线AC、已知OB=18cm，则S△ABD：S△ABC=

．

有解即可得到b的范围，即可判断直线经过的有解，则直线y=﹣x+b不经过第 三 象限．

【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．

【分析】在梯形ABCD中，由于AD∥BC，于是得到△ADO∽△BCO，求出【解答】解：在梯形ABCD中，

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，即可得到结论．

∵AD∥BC， ∴△ADO∽△BCO， ∴∴

，

，

∴==，

故答案为：

【点评】本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，知道等高三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．

25．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是

﹣1 ．

【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．

AD为直径的圆上的弧AD上运动，【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．

【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FM=DM×cos30°=∴MC=

， =

，

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∴A′C=MC﹣MA′=故答案为：

﹣1．

﹣1．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．

二．解答题：

26．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长． （1）k取何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为

时，求k的值．

【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理；矩形的性质．

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式△≥0，得出关于k的不等式，求出k的取值范围．

（2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验． 【解答】解：（1）设方程的两根为x1，x2 则△=[﹣（k+1）]2﹣4（k2+1）=2k﹣3， ∵方程有两个实数根，∴△≥0， 即2k﹣3≥0， ∴k≥

∴当k≥，方程有两个实数根．

（2）由题意得：，

又∵x12+x22=5，即（x1+x2）2﹣2x1x2=5， （k+1）2﹣2（k2+1）=5， 整理得k2+4k﹣12=0，

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解得k=2或k=﹣6（舍去）， ∴k的值为2．

【点评】解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值．

27．我市向汶川灾区赠送270台计算机并于近期启运，经与其物流公司联系，得知用A型汽车若干辆，刚好装完；如用B型汽车，可比A型汽车少一辆，但有一辆少装30台．已知每辆A型汽车比每辆B型汽车少装15台．

（1）求只选用A型汽车或B型汽车装运需要多少辆？

（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元，若运送这批计算机同时用这两种型的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所需运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A、B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？ 【考点】分式方程的应用．

【分析】（1）本题可根据两车的辆数的数量关系来列方程．等量关系为：装270台需A型车的数量=装300台需B型车的数量+1．由此可得出方程求出未知数．

（2）可先根据（1）求出单独用两种车分别要多少费用，然后让同时用两种车时花的费用小于单独用一种车的最少的费用．得出车的数量的取值范围，然后判断出有几种运输方案，然后根据运输方案求出运费．

【解答】解：（1）设A型汽车每辆可装计算机x台，则B型汽车每辆可装计算机（x+15）台． 依题意得：

=

+1．

解得：x=45，x=﹣90（舍去）． 经检验：x=45是原方程的解． 则x+15=60．

答：A型汽车每辆可装计算机45台，B型汽车每辆可装计算机60台．

（2）由（1）知．

若单独用A型汽车运送，需6辆，运费为2100元； 若单独用B型汽车运送，需车5辆，运费为2000元．

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若按这种方案需同时用A，B两种型号的汽车运送，设需要用A型汽车y辆，则需B型汽车（y+1）辆．根据题意可得：350y+400（y+1）＜2000． 解得：y＜

．

因汽车辆数为正整数．∴y=1或2．

当y=1时，y+1=2．则45×1+60×2=165＜270．不同题意． 当y=2时，y+1=3．则45×2+60×3=270．符合题意． 此时运费为350×2+400×3=1900元．

答：需要用A型汽车2辆，则需B型汽车3辆．运费1900元

【点评】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程或不等式，再求解．

28．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t=15时，△PEF的面积；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

【考点】相似三角形的判定与性质；根的判别式． 【专题】综合题；分类讨论．

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t=15时，OE=15，【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=EF•OE．关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则

，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；

（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；

（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应． 【解答】解：（1）∵EF∥OA， ∴∠BEF=∠BOA 又∵∠B=∠B， ∴△BEF∽△BOA， ∴

当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30， ∴

∴S△PEF=EF•OE=

（2）∵△BEF∽△BOA， ∴∴

整理，得t2﹣30t+240=0

∵△=302﹣4×1×240=﹣60＜0，∴方程没有实数根． ∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值

（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA ∴

，即

（平方单位）

解得，t=12

当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB

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∴解得，

，即

∴当t=12或时，△EOP∽△BOA

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．

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