第４２卷第４期 ２０１５年４月 计算机科学 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｖｏ１．４２ Ｎｏ．４ Ａｐｒ ２０１５ 复杂网络结构的稳定性与鲁棒性研究 毛 凯 （重庆大学计算机学院 重庆４０００４４） （重庆工商大学计算机科学与信息工程学院 重庆４０００６７） 摘要在对复杂网络研究的过程中，根据网络结构中结点连接度的连接倾向而将其划分为３种类型，即异配网络、 同配网络、中性网络，采用变量梯度分析法分别对其稳定性进行判定与分析。理论分析表明，异配网络在大范围内是 稳定的，同配网络状态是不稳定的，中性网络的稳定性不能确定，需要根据结点总体连接度的倾向性才能确定其是否 处于稳定状态。同时对复杂网络的鲁棒性研究的仿真结果表明，其稳定性与鲁棒性具有正相关性，即异配网络的鲁棒 性最好，中性网络次之，同配网络的鲁棒性脆弱。 关键词异配网络，同配网络，中性网络，稳定性，鲁棒性 ＴＰ２０２．１ 文献标识码Ａ ＤＯＩ １０．１１８９６／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２—１３７ｘ ２０１５．４．０１６ 中图法分类号Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ＭＡＯＫａｉ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００４４，Ｃｈｉｎａ） （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００６７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｗｅ ｄｉｖｉｄｅｄ ｉｔｓ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｏ ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｅｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｄｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｔｅｎｄｅｎｃｙ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｄｉｓａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ，ａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｗｅ ａｄｏｐｔ ｖａｒｉａｂｌｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｏ ｊｕｄｇｅ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅ ｉｔ’Ｓ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｄｉｓａｓｓｏｒ— ｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｓｔａｂｌｅ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｗｉｄｅ ｒａｎｇｅ，ｔｈｅ ａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ’ｓ ｓｔａｔｅ ｉｓ ｕｎｓｔａｂｌｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ．Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｉｎ ａ ｓｔｅａｄｙ ｓｔａｔｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｅｎｄｅｎｃｙ ｏｆ ｎｏｄｅ ｃｏｎｎｅｃ— ｔｉｏｎ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ，ｒｅｌａｔｅｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｒＯ— ｂｕｓｔｎｅｓｓ ｈａｖｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ。ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｂｅｓｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｉｓ ｎｅｕｔｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ，ｆｏｌｌｏｗｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｒａｇｉｌｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｄｉｓａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ，Ａｓｓｏｒｔａｔｉｖｅ ｎｅｔｗｏｒｋ，Ｎｅｕｔｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ，Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，Ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ １ 概述 当前，随着人类社会进入信息化的脚步不断加快，网络技 网络系统来说，稳定性是一个非常重要的特性。随着时间的 推移，网络结构本身也在发生着变化，包括网络结点和连边增 减等。复杂网络的稳定性是网络发展的关键所在，对于网络 术得到了迅速的发展，各式各样的复杂网络层出不穷，表现形 式多种多样，并且功能千差万别。以最著名的三网即计算机 互联网、电话网、有线电视网为例，计算机互联网主要用于数 据文件的传输与共享，电话网主要用于话音信号的传输。有 线电视网则主要用于视频信号的传输。虽然这３种网络的功 能各异，但都能较好地满足人们在生活和工作中的一部分需 稳定性的判定是预测复杂网络未来发展的重要基础。然而由 于其类型五花八门，种类繁多，因此对于复杂网络的稳定性判 定又是一件十分困难的事情，目前并没有一个统一的标准。 本文试图从各种复杂网络最基本的结构属性即网络连接度着 手，对复杂网络进行归类判定其结构的稳定性与鲁棒性，从而 可以更好地预测其未来的发展趋势。 参照一般系统的稳定性 ］，本文首先给出复杂网络结构 稳定性的定义： 求，都得到了快速的发展，甚至达到指数级别的增长。除上述 的３种著名网络之外，其它各行各业的复杂网络也得到了广 泛的应用和快速的发展，如电力系统的电力网，交通系统的公 路网、铁路网，生物系统的神经网络、蛋白质交换网络以及人 类社会的交友网、科研人员科技合作网、影视演员商业演出合 如果对于任意给定的若干网络结点集合Ｎ，都存在另一 个与Ｎ取值有关的该结点集连接度Ｘ （ ），使得当不等式 ｌ —ＴＩｆｌ≤ｘ 成立时，就一定有ｌＩ —ＴｌＩ≤ｌｌ ＮＩｌ成立 （￡≥ ），其中 和Ｔ分别为ｔ时刻该网络中去掉结点集合 Ｎ后连通子图个数和 ｏ时刻原连通子图个数。 作网等各种在线社会网络也都走进了人们的日常生活，甚至 成为了生活中不可缺少的一部分［１］。 为了更好地把握和预测未来复杂网络的发展趋势，现在 对于复杂网络的性质和结构的探索已经成为一个研究热点， 其中对于稳定性的研究已经达成了共识。这是因为对于复杂 到稿日期：２０１４～０５—０８返修日期：２０１４—０８—０６ 另外对于任何一个复杂网络，无论其性质如何，网络结构 均是由结点和结点之间的连线组成。如果网络中两个结点之 间是否有边相连与这两个结点的连接度无关，即网络中随机 毛凯（１９６８一），博士生，讲师，主要研究方向为计算机网络和信息系统，Ｅ－ｍａｉｌ：ｍａｏｋａｉ—ｃｑ＠１６３．ｃｏｒｎ。 ・ ８５ ・ 选择的一条边的两个端点是完全随机的，则称该网络不具有 方程可设置为 ＋ 一 ＋１，考虑到同配网络中连接度大的 度相关性，或者称网络是中性的，即有 岛：≠ ｑ ，Ｖｉ，Ｊ 结点总是倾向于与连接度大的结点相连，即 一 ＋ 一 一１。则对于每一类结点，其梯度值可设置为 Ｖｉ—ａｉｘ ，其 其中，％为结点ｉ和结点 连接的概率， 和 分别为网络中 随机选取的结点ｉ和结点 的邻居结点的连接度。 如果网络中连接度大的结点总是倾向于与连接度大的结 点相连，那么称该网络为同配网络；而如果网络中连接度大的 中ａ 为结点度为Ｘ 的结点数，按照变量梯度法的求解过程， 其李雅普诺夫函数变量梯度可设为 Ｖ— Ｖｌ＋…＋ —ｍＸ１＋口２Ｘ２＋…＋ｎ Ｘ （３） 结点总是倾向于与连接度小的结点相连，那么称该网络为异 配网络 ｊ。 对大量的网络实例的研究显示，互联网以及蛋白质交换 一（ｖＶ） ・义一“１Ｘ１＋ｎ２Ｘ２＋…＋ｎ Ｘ ＞０ 同样考虑到 一 一。成立，可求得同配网络 网络、神经网络等生物网络是异配网络，而科研人员合作网络 以及电影演员合作网络等许多现实社会网络往往显示出明显 的李雅普诺夫函数为： ｖ 。… ｖ ｄｘ ＋ ’…” ＝。 Ｖ２＆ｃ。 的同配性特征，包括复杂网络中著名的无标度网络也属于同 配网络，因为其网络结点的连接表现出明显的“富者更富”的 特征。而不同的在线社会网络可能是同配、异配或者是中性 网络。例如包含７亿多结点的Ｆａｃｅｂｏｏｋ网络呈现出同配性 特征［ ，大型在线社交网络Ｃｙｗｏｒｌｄ却是异配网络［ ，而随机 网络是属于中性网络，因为其结点的连接度表现为随机性［３］， 即不确定是与连接度大的结点还是与连接度小的结点相连。 ２复杂网络的稳定性 考虑到目前对复杂网络的稳定性判定并没有一个统一的 标准，本文采用由舒茨（Ｓｃｈｕｌｔｚ）和吉布森（Ｇｉｂｓｏｎ）提出的变 量梯度法＿２］对复杂网络的稳定性进行判定，在使用变量梯度 法对复杂网络的稳定性进行判定的过程中，本文提出了一个 相关概念，即网络中某一类节点的连接总度为ａｉＸ ，其中 为网络中该类结点的总数，Ｘ 为该类结点的连接度。 ２．１异配网络的稳定性 根据异配网络的性质，按照结点的连接度由大到小进行 划分，其状态方程设置为 ＋ 一Ｘｎ一１，其中 表示为 类 结点连接度，进一步考虑到异配网络中连接度大的结点总是 倾向于与连接度小的结点相连，即 一 ＋ 一 一一１。则 对于每一类结点，其梯度值可以设置为 Ｖｉ—ａｉＸ ，其中ｎ 为结点度为ｘ 的结点数，按照变量梯度法的求解过程，其李 雅普诺夫函数的变量梯度可设为 Ｖ— Ｖ１＋…＋ —ｎ１Ｘ１＋口２Ｘ２＋…＋口 Ｘ （１） 一（ Ｖ） ・Ｘ一一皖１Ｘｌ—ｎ２Ｘ２一…一口 Ｘ ＜０ 在变量梯度法中考虑到有 一 ＝ｏ成立，进 一步对 积分可求得异配网络的李雅普诺夫函数为： —ｆｑ … ＝。’ Ｖｌｄｘ１＋『 一１ …何 ｖ２ｄｚ２ ＋…＋Ｉ 一 …’ 一 出 一寺ｎ１ｘ｝＋寺ｎ２弼＋…＋÷Ⅱ ｘ：＞ｏ （２） 显然异配网络的平衡状态是渐近稳定的，并且由于随着 网络结点数量不断增加，当 一Ｃ×３， ＋。。时，异配网络是大范 围内稳定的。 ２．２同配网络的稳定性 对同配网络稳定性的判断也可采用变量梯度法。根据同 配网络的性质，按照结点的连接度由大到小进行划分，其状态 ・ ８６ ・ 十…＋ １ … 一 ｖＶ￣ｃｂ ：÷ｍｘ｛＋÷ｎ２ｘ；＋…＋÷ｎ ｘ ＞ｏ （４） 因为同配网络的李雅普诺夫函数是正定的，但由于其函 数微分值１７＞０，因此同配网络的状态是不稳定的。 ２．３中性网络的稳定性 根据中性网络的性质，按照结点的连接度由大到小进行 划分，其状态方程可设置为Ｘ 一Ｘ ±１，这是因为在中性网 络中连接度大的结点并不能够确定是与连接度大的结点相连 还是与连接度小的结点相连，即义 一 ＋ ４－ 一±１。在采 用变量梯度法对中性网络的分析中，对于中性网络每一类结 点，其梯度值同样可以设置为 一。 Ｘ ，由于其网络连接度 倾向的不确定性，故其李雅普诺夫函数的变量梯度值具有不 确定性，即 Ｖ— Ｖ１＋…＋ 一ⅡｌＸｌ±０２Ｘ２±…±“ Ｘ 一（ Ｖ） ・义一。ｌＸｌ±ｎ２Ｘ２４－＿…±口 Ｘ （５） 同理可求得中性网络的李雅普诺夫函数为Ｖ一÷ ｘ｝ ＋＿去－口２ｘｌ＋…＋÷Ⅱ ｘ ＞０。 显然中性网络的李雅普诺夫函数是正定的，但由于其函 数微分值 的大小具有不确定性，因此并不能简单地从上面 的结果中判断出中性网络的状态是否稳定，必须加以区分进 行判别。 如果中性网络的Ｖ＜ｏ，即要求ｎ Ｘ ±“ Ｘ２±…±“ Ｘ ＜Ｏ，则网络中连接度大的结点总体倾向于与连接度小的结点 相连，那么网络状态是趋于稳定的，否则网络的状态就是趋于 不稳定的，即Ｖ＞Ｏ。这一结论可以从理论上解释为什么有些 中性网络呈现出稳定状态，而有些中性网络呈现出不稳定状 态。 ２．４复杂网络结构的稳定性分析方法在实际中的应用 为了能够更好地说明复杂网络稳定性的演变过程，本文 以近年来兴起并流行的一些在线社交网络为例，如图１所 示＿５］，这是一家在线社交网络于２００５年６月到２００７年８月 的拓扑结构变化曲线图（横坐标表示时间刻度，共计３Ｏ个 月），其中图１的左图部分表示网络中边数（Ｅ（Ｔ）表示）与结 点数（Ｎ（Ｔ）表示）随时间变化的曲线图，图１中右图部分表示 网络中同配系数（ｒ（丁））随时间变化的曲线图。文献［３］对文 献ｒ５１给出的统计数据进行分析，认为是由于在线社交网络继 承了现实中人际关系网络的同配结构，逐渐地低度值用户可 能会优先与那些高度值的网络名人建立连接，从而导致网络 传输过程中重要的传输结点＿８］。一旦这些结点出现故障，对 的异配性ｌ３］。通过本文的复杂网络稳定性模型可以更加明确 地从其本质上加以分析，其演化的根本原因在于网络是由一 个不稳定状态转变为一个稳定状态，而只有这样才能更有利 于网络的演变和发展。即只有稳定的系统才能正常工作，不 稳定的系统是不能正常工作的＿２］。 图１ 一个在线社会网络拓扑结构随时间变化曲线图（取自文献［５］） ３复杂网络的鲁棒性 在现实的生活中，我们希望复杂网络具有一定的鲁棒性， 即对外界的各种干扰等扰动具备一定的抗干扰能力，特别是 对外界一些小的结点故障扰动仍能保持网络本身的特性和稳 定状态。为此我们需要对复杂网络的鲁棒性加以研究。以全 球最大的计算机网络因特网为例，现在人们的生活、工作、学 习和交往都离不开因特网，设想一下如果因特网由于某些结 点受到黑客攻击而发生故障导致网络不能工作，整个社会将 会是一片混乱ｌ１］。所以对复杂网络的鲁棒性研究有很强的现 实意义。 目前基于渗流理论和随机图理论对网络鲁棒性的理论分 析有很多研究Ｅ ］，而本文基于网络结构对其鲁棒性进行研 究。复杂网络的鲁棒性研究是当网络遭遇到故意攻击或随机 故障时，网络中结点之间的连接程度所受到的破坏以及网络 中传输行为（如包传输、负载分配等）所受到的影响Ｉ９］。对于 一个给定的网络，每次从该网络中移走一个结点，也就同时移 走了与该网络结点相连的所有边。如果在移走少量结点后网 络中的绝大部分结点仍然是连通的，那么就可称该网络的连 通性对结点故障具有鲁棒性ｌ＿３］。 图２至图４形象地描绘出了同配网络、中性网络和异配 网络在遭遇到攻击前和攻击后的网络的连通状态的仿真结 果，其中攻击分为随机故障和故意攻击。所谓随机故障是指 随机假定网络任意结点发生故障后的连通状态，而故意攻击 是指网络特定结点（即关键结点）发生故障后的连通状态。 通过比较可以发现，随机故障对于不同类别网络连通性 的影响差异不是很大，特别是发生随机故障的网络结点数较 少的情况下，对网络整体的连通性都不会产生很大的影响。 但是故意攻击对网络连通性的影响则不同，不同类别的网络 差异很大，且无论受到故意攻击的网络结点的数量是多少都 会对网络整体连通性产生很大的影响，特别是同配网络对故 意攻击表现出了异常的脆弱性，即使是在受到攻击的结点数 很少的情况下。而异配网络则对故意攻击表现出了很强的健 壮性。中性网络表现次之，对抗击故意攻击具有很大的不确 定性。 究其原因是因为在网络中连接度大的结点往往也是网络 于异配网络，由于连通度大的结点总是与连通度小的结点相 连，这样就必然造成连通度大的结点位置分散，而且这些结点 由于其连通度大，则往往能够找出其它的结点替代该结点而 组成新的传输路径，而不至于发生整个传输路径中断从而造 成整个网络传输的瘫痪，因此其网络的结点故障鲁棒性好。 而对于同配网络，由于连通度大的结点总是与连通度大的结 点相连，这样必然就造成连通度大的结点位置集中，一旦这些 结点发生故障，由于相互连接的位置集中而无法找出其可以替 代的结点从而造成整个网络传输系统的瘫痪，进而引发灾难性 的后果，因此同配网络对故意攻击表现出了异常的脆弱性。 ｍｔ，￣Ｏ Ｑ＠ 图２同配网络受到攻击前后的连通状态 图３ 中性网络受到攻击前后的连通状态 攻击前 图４异配网络受到攻击前后的连通状态 为了准确地分析与比较不同类型的网络对结点故障的鲁 棒性，本文分别对具有１０００个结点的同配网络、中性网络和 异配网络进行结点故障的鲁棒性仿真攻击测试，算法如下： １．遍历网络中结点和边，构建相应的结点集Ｎ，同时构建一个二维的 关系矩阵Ａ ，其中关系矩阵的元素 ｆ１，结点ｉ和结点Ｊ有边相连 【０，结点ｉ和结点ｊ无边相连 ２．分别按照故意攻击和随机故障两种方式确定受到攻击的结点ａ ， 构建受攻击结点集Ｎ 一Ｎ ＋｛ａｉｊ）；同时将关系矩阵中 和ａｊ 的值 设为０； ３．判定当前网络的连通状态，如果产生了新的子图，则需在最大的连 通子图结点集中减去新产生的连通子图结点集，即Ｎ＆★ 目一 Ｎ最大连通子图一Ｎ新连通子图； ４．￣Ｊ－３ｇＤＮ１ Ｈ值，Ｄ一 ，Ｈ一 ； ５．判断关系矩阵Ａ 中的元素是否全部为０或者Ｎ．是否等于Ｎ，如果 条件为真，则转到下一步，否则返回步骤２； ６．算法结束。 仿真结果如表１所列，其中Ｄ为受到攻击的结点数与原 来网络结点数的比值，Ｈ为受到攻击后网络中最大连通子图 的结点数与原来网络结点数的比值。同时为了更加清楚地比 较不同类型网络受到攻击前后的连通状态，绘制了相应的连 通状态比较示意图，如图５所示。 ・ ８７ ・ 表１不同类型网络受到攻击前后的连通状态值（Ｄ值） 、＼攻击类型Ｈ值、—～ １０ ．络传输的瘫痪，因为这些重要的结点位置分布集中，在传输路 径上又是关键结点，一旦出现故障无法找到替换的结点将造 成网络传输路径的中断。由此可以得出结论：网络中不同类 ０．８ ０．０５ ０．１２ ０．１５ ０．２１ ０．６ ０．１１ ０．４ ０．１３ ０．２ ０．１８ ０．２８ ０．２５ 同配网络随机故障 同配网络故意攻击 中性网络随机故障 中性网络故意攻击 异配网络随机故障 异配网络故意攻击 ０．２２ ０．１８ ０．２３ ０．２７ ０．２５ ０．２２ ０．２５ ０．３６ Ｏ．３８ 型结构对结点故障的鲁棒性起到决定性作用。 结束语通过对复杂网络结构稳定性和鲁棒性的理论推 导和分析可知，在异配网络中，其网络的结构是大范围内稳定 的；在同配网络中，其网络结构是不稳定的；而在中性网络中， ０．２８ ０．４２ ０．４２ ０．２５ ０．２７ Ｏ．２８ 其网络结构不能简单判定为是否处于稳定状态，需根据网络 节点连接的倾向性加以判断，网络中连接度大的结点总体倾 向于与连接度小的结点相连，则可以判定网络状态是稳定的， 否则是处于不稳定状态。对于相关网络的鲁棒性，通过仿真 测试实验的结果表明，异配网络的鲁棒性最好，中性网络次 之，同配网络的鲁棒性最差。除结点故障的鲁棒性外，复杂网 络在其它相关方面的性能在将来需要做进一步的研究和验证 工作。 参考文献 ［１］谢希仁．计算机网络（第五版）Ｉ－Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００９ Ｅ２］钟秋海．现代控制理论Ｉ－Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４ ［３］汪小帆，李翔，陈关荣．网络科学导论［Ｍ］．北京：高等教育出版 图５不同类型网络受到攻击前后的连通状态比较 社，２０１２ 从实验可以看出，对于同配网络，故意攻击和随机故障两 种方式攻击对网络连通性的影响差别很大，中性网络次之，而 在异配网络中对这两种攻击方式的影响差别较小，在受到攻 ［４］Ｕｇａｎｄｅｒ Ｊ，Ｋａｒｒｅｒ Ｂ，Ｂａｃｋｓｔｏｒｍ Ｉ ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ａｎａｔｏｍｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｆａ— ｃｅｂｏｏｋ ｓｏｃｉａｌ ｇｒａｐｈ＿Ｊ］．２０１ｉ，ａｒＸｉｖ：１１１１．４５０３ｖｌ Ｅ５］Ｈｕ Ｈ．ＷＡａｎｇ Ｘ．Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｌａｒｇｅ ｏｎｌｉｎｅ ｓｏｃｉａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ＥＪ］．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，２００９，３７３（１２／１３）：１１０５—１１１Ｏ ［６］Ｃａｌｌｗａｙ Ｄ Ｓ，Ｎｅｗｍａｎ Ｍ Ｅ Ｊ，Ｓｔｒｏｇａｔｅ Ｓ Ｈ，ｅｔ ａ１．Ｎｅｔｗｏｒｋ ｒｏ— ｂｕｓｔｎｅｓｓ ａｎｄ ｆｒａｇｉｌｉｔｙ：Ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ ｏｎ ｒａｎｄｏｍ ｇｒａｐｈｓ ＥＪ］．Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．，２０００，８５（２５）：５４６８—５４７１ 击后其网络健壮性也要较同配网络和中性网络好很多，这也 再次验证了理论分析中关于异配网络结构的稳定性和健壮 性，即异配网络较同配网络具有更强的抗攻击能力。 理论分析和仿真实验表明，复杂网络的鲁棒性与其网络 的稳定性有着正相关性，对于异配网络来说，其鲁棒性好，尤 其是完全异配网络（即严格按照连通度大的结点总是与连通 度小的结点相连），其鲁棒性最好；中性网络次之；同配网络的 鲁棒性差，尤其是完全同配网络（即严格按照连通度大的结点 ［７］Ｃｏｈｅｎ Ｒ，Ｅｒｅｚ Ｋ，Ｂｅｎ－Ａｖｒａｈａｍ Ｄ，ｅｔ ａ１．Ｂｒｅａｋｄｏｗｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒ— ｎｅｔ ｕｎｄｅｒ ｉｎｔｅｎｔｉｏｎａｌ ａｔｔａｃｋ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．，２００１，８６ （１６）：３６８２—３６８５ ［８１ Ｎｅｗｍａｎ Ｍ．Ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２０１０ 总是与连通度更大的结点相连），鲁棒性最差。在网络中如果 某个结点或某些特定的结点发生故障，则必然会造成整个网 （上接第５９页） ［９］王林，戴冠中．复杂网络的Ｓｃａｌｅ－ｆｒｅｅ性、Ｓｃａｌｅ—ｆｒｅｅ现象及其控 制ＥＭ］．北京：科学出版社，２００９ ｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ ｃｒｉｔｅｒｉａ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｗｉｒｅｌｅｓｓ ｏｍｍｕｎ．，２０１０，９：Ｃ ２０６６—２０７５ 参考文献 ［１１ Ｌｉａｎｇ Ｙ Ｃ，Ｃｈｅｎ Ｋ Ｃ，Ｌｉ Ｇ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ｒａｄｉｏ ｎｅｔｗｏｒｋｉｎｇ ａｎｄ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ：ａｎ ｏｖｅｒｖｉｅｗ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｖｅｈ．Ｔｅｃｈｎ— ｏ１．，２０１１，６０：３３８６—３４０７ ［６］Ｓｖｅｎｓｓｏｎ Ｔ，Ｆｒａｎｋｙ Ｔ，Ｆａｌｃｏｎｅｒ Ｄ，ｅｔ ａ１．Ｂ－ＩＦＤＭＡ：ａ ｐｏｗｅｒ ｅｆ— ｆｉｃｉｅｎｔ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｃｃｅｓｓ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｎｏｎ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｒａｎｓ— ｍｉｓｓｉｏｎ［Ｃ］｝？Ｐｒｏｃ ２００７ ＩＳＴ Ｍｏｂｉｌｅ ａｎｄ Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａ— ｔｉｏｎｓ ＮＵｍｍｉｔ，２００７ Ｅ２１ Ｍａｏ Ｊ，Ｇａｏ Ｊ，ＬｉｕＹ，ｅｔ ａ１．Ｐｏｗｅｒ ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｖｅｒｆａｄｉｎｇ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ＭＩＭＯ ｃｈａｎｎｅｌｓ：ａｎ ｅｒｇｏｄｉｃ ｃａｐａｃｉｔｙ ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｖｅｈ．Ｔｅｃｈｎｏ１．，２０１２，６１：１１６２—１１７３ ［７］Ｃｉｏｆｆ Ｊ Ｍ，Ｄｕｄｅｖｏｉｒ Ｇ Ｐ，Ｅｙｕｂｏｇｌｕ Ｍ Ｖ，ｅｔ ａ１．ＭＭＳＥ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｅｑｕａｌｉｚｅｒｓ ａｎｄ ｃｏｄｉｎｇ：ｐａｒｔ Ｉ ａｎｄ ＩＩ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ． ｏｍｍｕｎ．，１９９５，４３：２５８２—２６０４ ＣＥ３］Ｂａｎｓａｌ Ｇ，Ｈｏｓｓａｉｎ Ｍ Ｊ，Ｂｈａｒｇａｖａ Ｖ Ｋ．Ｏｐｔｉｍａｌ ａｎｄ ＮＵｂｏｐｔｉｍａｌ ｐｏｗｅｒ ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｆｏｒ ＯＦＤＭ－ｂａｓｅｄ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ｒａｄｉｏ ｓｙｓ— Ｅ８］Ｄａｎｇ Ｕ，Ｒｕｄｅｒ Ｍ，Ｓｃｈｏｂｅｒ Ｒ，ｅｔ ａ１．ＭＭＳＥ ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ ｆｏｒ ＳＣ－ ＦＤＭＡ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｏｖｅｒ ＭＩＭＯ ＩＳＩ ｃｈａｎｎｅｌｓ［Ｊ］．ＥＵＲＡＳＩＰ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１１ ｔｅｎｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００８，７（１１）：４７１Ｏ一４７１８ ［９］Ｂｏｙｄ Ｓ，Ｖａｎｄｅｎｂｅｒｇｈｅ Ｉ Ｃｏｎｖｅｘ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｌ［Ｍ１．Ｃａｍ— ｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２００４ Ｅ４］Ｗａｎｇ Ｓ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｒｅｓｏｕｒｃｅ ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ＯＦＤＭ ｓｙｓｔｅｍｓ ＥＪ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，ＩＥＥＥ，２０１０，１４ （８）：７２５—７２７ ［１Ｏ１ Ｍｏｋａｒｉ Ｎ，Ｊａｖａｎ Ｍ Ｒ，Ｎａｖａｉｅ Ｋ．Ｃｒｏｓｓ－ｌａｙｅｒ ｒｅｓｏｕｒｃｅ ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ ｉｎ ＯＦＤＭＡ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｔｒａｆｆｉｃ ｗｉｔｈ ｉｍｐｅｒｆｅｃｔ ＣＳＩ ［５］Ｋａｎｇ Ｘ，Ｇａｒｇ Ｈ，Ｌｉａｎｇ Ｙ Ｃ，ｅｔ ａ１．Ｏｐｔｉｍａｌ ｐｏｗｅｒ ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ＯＦＤＭ－ｈａｓｅｄ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ｒａｄｉｏ ｗｉｔｈ ｎｅｗ ｐｒｉｍａｒｙ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ＥＪ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｖｅｈｉｃｕｌａｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１０，５９（２）： ］Ｏ】１＿１ Ｏ】７ ・８８ ・
