异面直线所成的角专项练习

1、异面直线的定义与取值范围

2、求两条异面直线所成角的步骤：

(1) ；(2) ；3) ；

类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角

1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为

A．30 B．45 C．60 D．90

2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C1的中点，则直线EF与GH所成的角是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（ ）

A．251025 B． C．10 D． 5555D'A'B'C'4．如图，正四棱柱ABCDABCD中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），AA3AB，则异面直线AB与AD所成角的余弦值为（ ）

473A、9 B、 C、 D、

510510DABC5．点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是

A．60 B．90 C．45 D．30

6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为 A．

3321 B． C． D． 22327．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所的 θ角的取值范围是（ ）

A.

8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（ ）

A. 0 B. 45 C. 60 D. 90

 B.

C. D.

P 9．如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=2,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小

等于 60°

（作业）

1、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？求异面直线A1M和D1N 所

成的角？

7．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点

(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值

6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，

求直线AM与CN所成角的余弦值

6．如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． 求AE与D1F所成的角。

类型二：以锥为载体的异面直线所成的角

DAE A

D

F B

D

C

C

A

B

(图1－28)

D1

A1 M D N A

B (第6题)

B1

C1

C

D1A1B1EFBC1C例1、在空间四边形ABCD锥中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．

例2．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．

2求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．

C

N S B M A 例3．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．45°

例4、A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点 若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值是

针对练习：

1.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与 SA所成的角45°

2．（作业）如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，

A M 3 D B 4 N C E C A S (第7题)

D1

F1 C1

B

A

C (第5题)

A1

B1 B F 4M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值

3

3.如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，

7且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值

5(第8题)

A 6 E 8

6 B D

4.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体， M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与CC1所成角的余弦值。

25 5(第9题) C A1

B1 A B M

C

N C1

(10题)

尝试高考题：

1、(2005年)在正方体ABCD- A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角的大小是_________________

2、（2006年）正方形ABCD- A1B1C1D1的底面中心是O，E是DD1的中点，AE与A1O所成的角是（ ） A、0 B、30 C、60 D、90

3、（2007年）在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，异面直线A1C1与EB所成的角等于（ ） A、90 B、45 C、30 D、60

4、(2008年)棱长为1的正方形ABCD- A1B1C1D1中，

5、（2009年）已知正方体ABCDABCD，则AC与BC所成的角为（ ） A、45 B、60 C、30 D、90

6、(2010年)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是正方形，且AA12AB，点E是线段AA1的中点，则DE与

'''''''oA1B与B1C所成的角为___________

CC1所成的角为（ ）A、30 B、45 C、60 D、90

7、（2011年）在正方体ABCD- A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角的大小是_________________

8、（2013年）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C与BD的夹角大小为_______________

9、（2014年）在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是DD1的中点，F是CC1的中点，则异面直线A1E与D1F的夹角余弦值为（ ）A.

1324 B. C. D. 5555

10．（2018年）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A．

2 2 B．3 2 C．5 2 D．7 2