运筹学试题

学号 姓名 成绩

一、（ 20 分）下述线性规划问题 Max z=-5x1+5x2+13x3 ST

-x1+x2+3x3≤ 20 ——① 12x1+4x2+10x3 ≤ 90 ——② x1,x2,x3≥0

先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列条件下，最优解分别有什么变化？ （ 1 ）约束条件①的右端常数由 20 变为 30 ； （ 2 ）约束条件②的右端常数由 90 变为 70 ； （ 3 ）目标函数中的 x3 的系数由 13 变为 8 ； （ 4 ）增加一个约束条件③ 2x1+3x2+5x3 ≤ 50

（ 5 ）将原有约束条件②变为 10x1+5x2+10x3 ≤ 100 二、（ 10 分）已知线性规划问题 Max z= 2x1+x2+5x3+6x4对偶变量 2x1 +x3+x4≤ 8 y1

2x1+2x2+x3+2x4≤ 12 y2 x1,x2,x3,x4≥0

其对偶问题的最优解为 y1*=4 ， y2*=1 ，试用对偶问题的性质，求原问题的最优解。 三、（ 10 分）某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：化肥厂 A —— 7 万吨， B —— 8 万吨， C —— 3 万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区—— 6 万吨，乙地区—— 6 万吨，丙地区—— 3 万吨，丁地区—— 3 万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示（单位：元 / 吨）：

产粮区 化肥厂 A B C 甲 5 4 8 乙 8 9 4 丙 7 10 2 丁 3 7 9 根据上述资料指定一个使总的运费最小的化肥调拨方案。 四、（ 10 分）需要分配 5 人去做 5 项工作，每人做各项工作的能力评分见下表。应如何分派，才能使总的得分最大？ A1 A2 A3 A4 A5 B1 1.3 0 1.0 0 1.0 B2 0.8 1.2 0 1.05 0.9 B3 0 1.3 0 0 0.6 1.3 1.2 0.2 0 B4 0 B5 1.0 0 0 1.4 1.1 五、（ 10 分）用动态规划方法求解： Max F=4x 1 2 -x 2 2 +2x 3 2 +12 3x 1 +2x 2 +x 3 =9 x1,x2,x3≥0 六、（ 10 分）公司决定使用 1000 万元开发 A 、 B 、 C 三种产品，。经预测估计开发上述三种产品的投资利润率分别为 5% ， 7% ， 10% 。由于新产品开发有一定风险，公司研究后确定了下列优先顺序目标： 第一， A 产品至少投资 300 万元；

第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过投资总额的 35% ； 第三，应至少留有 10% 的投资总额，以备急用； 第四，使总的投资利润最大。

试建立投资分配方案的目标规划模型。 七、（ 10 分）某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为 Poisson 流，平均每小时 3 人，修理时间服从负指数分布，平均需 10 分钟。求：（ 1 ）店内空闲的概率；（ 2 ）有 4 个顾客的概率；（ 3 ）店内顾客的平均数；（ 4 ）等待服务的顾客的平均数；（ 5 ）平均等待修理时间。 八、某商店准备在新年前订购一批挂历批发出售，已知每售出一批（ 100 本）可获利 70 元，如果挂历在新年前不能售出，每 100 本损失 40 元。根据以往销售经验，该商店售出挂历的数量如下表所示，如果该商店对挂历只能提出一次订货，问应定几百本，使期望的获利数为最大。

销售量（百本） 概率 0 0.05 1 0.10 2 0.25 3 0.35 4 0.15 5 0.10 九、（ 10 分）某企业要投资一种新产品，投资方案有三个： S 1 、 S 2 、 S 3 ，不同经济形势下的利润如下表所示。请用： （ 1 ）悲观准则决策； （ 2 ）后悔值法决策；

（ 3 ）乐观系数法（ ＝ 0.6 ） 进行决策。

投资方案 S 1 S 2 S 3

不同经济形势 好 10 25 50 一般 0 10 0 差 -1 5 -40 2.1《管理运筹学》考试试卷（A）参

1.参

目标函数最优值为: 100 x1=0， x2 = 20， x3= 0 （1）目标函数最优值 : 117 x1=0, x2=0 ,x3=9

(2)目标函数最优值为: 90 x1 =0 ,x2 =5, x3 =5

(3)目标函数最优值为: 100 x1=0,x2=20 ,x3 = 0

(4)目标函数最优值为: 95 x1=0,x2=12.5,x3=2.5

(5)目标函数最优值为: 100 x1=0 ,x2=20 ,x3=0 2.参

原问题的对偶问题是： Min w=8 y1+12 y2

s.t. 2 y1+2 y2≥2 （1）

2 y2≥1 （2） y1+ y2≥5 （3） y1+ 2y2≥6 （4） y1, y2≥0

将y1*=4，y2*=1代入对偶问题约束条件，可知（1）（2）为严格不等式，由互补松驰条件知，x1*=0，x2*=0，由，可知原问题约束为等式，所以x3*=4，x4*=4。（注：原问题有多重解） 3.参 最优解如下:

起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 0 4 0 3 2 6 2 0 0 3 0 0 3 0 此运输问题的成本为: 4.参 6.100000

A1 A2 A3 B1 1 B2 B3 1 1 B4 B5 A4 A5 1 1 5.参： MAXF=174 X1=0.000000 X2=0.000000 X3=9.000000 6.参

设公司投资A产品X1万元，投资B产品X2万元，投资C产品X3万元，则目标规划模型为： Min P1d1-+ P2 (d2++ d3++ d4+)+ P3 d5- +P4 d6- s.t. X1+d1- - d1+=300

X1+d2- - d2+=1000*35% X2+d3- - d3+=1000*35% X3+d4- - d4+=1000*35%

X1+X2+X3+d5- - d5+=1000*10%

5%X1+7%X2+10%X3+d6- - d6+=1000*10% 7.参

店内空闲的概率：0 .5 有4个顾客的概率：0.0313 店内顾客的平均数：1

等待服务的顾客平均数：0.5 平均等待修理时间：0.1667 8.参

k=70，h=40，k/(k+h)=0.63636，Q=3，即：应定购300本挂历，逾期利润144元。 9.参

（使用悲观准则）

策略方案 准则值 推荐策略 ********** ******** ********** 1 -1

2 5 YES 3 -40 （使用后悔值准则）

策略方案 准则值 推荐策略 ********** ******** ********** 1 40 2 25 YES 3 45 （使用乐观系数准则）

E(S1)=5.6；E(S2)=17（max）；E(S3)=14；选择方案S2。

2.2《管理运筹学》考试试卷（B）

题号 得分

班级______学号______姓名_______成绩______ 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 一、（10分）

某咨询公司，受厂商委托，对新上市的一种新产品进行消费者反映的调查。该公司采用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对该调查提出下列几点要求： （1）必须调查2000户人家；

（2）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等； （3）至少应调查700户有孩子的家庭； （4）至少应调查450户无孩子的家庭。 每会见一户家庭，进行调查所需费用为

家庭 有孩子 无孩子 白天会见 25元 20元 晚上会见 30元 24元 问为使总调查费用最少，应调查各类家庭的户数是多少？（只建立模型） 二、（10分）

某公司受委托，准备把120万元投资两种基金A和B，其中A基金的每单位投资额为50元，年回报率为10%，B基金的每单位投资额为100元，年回报率为4%。委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上要求投资风险最小。据测定每单位A基金的投资风险指数为8，每单位B基金的投资风险指数为3，投资风险指数越大表明投资风险越大。委托人要求在B基金中的投资额不少于30万元。为了使总的投资风险最小，该公司应该在基金A和基金B中各投资多少单位？这时每年的回报金额是多少？

为求该解问题，设

可以建立下面的线性规划模型

使用《管理运筹学》软件，求得计算机解如下图所示，

最 优 解

目 标 函 数 值 = 62000.000 变 量 值 相差值 x1 4000.000 0.000 x2 10000.000 0.000 3

约束 松驰/剩余变量 对偶价格 1 0.000 0.057 2 0.000 -2.167 3 7000.000 0.000 目 标 系 数 范 围

变量 下限 当前值 上限 x1 3.750 8.000 无上限 x2 无下限 3.000 6.400 常 数 项 范 围

变量 下限 当前值 上限 1 780000.000 1200000.000 1500000.000 2 48000.000 60000.000 102000.000 3 无下限 3000.000 10000.000 根据图回答问题：

a.最优解是什么，最小风险是多少？ b.投资的年收入是多少？

c.每个约束条件的对偶价格是多少？

d.当每单位基金A的风险指数从8降为6，而每单位基金B的风险指数从3上升

为5时，用百分之一百法则能否断定，其最优解变或不变？为什么？

e.对图中的右边值范围的上、下限给予具体解释，并阐述如何使用这些信息。 三、（10分）

某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供五条规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮的成本如下表所示。

已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常高出10%，又知造出来的客货轮如当年不交货，每艘每积压一年所造成的积压损失为60万元。在签合同时，该厂已积压了两艘未交货的客货轮，而该厂希望在第三年末完成合同后还能储存一艘备用。问该厂应如何安排每年客货轮生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用为最少？建立上述运输问题模型。

年度 1 2 3 四、（10分）

某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Ai (i＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：

在东区由A1，A2，A3三个点中至少选择两个； 在西区由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区由A6，A7两个点中至少选一个； 在北区由A8，A9，A10三个点中至多选两个。

Ai各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单位：万元）所示。

投资额 利润 A1 110 31 A2 130 35 A3 160 45 A4 90 17 A5 80 15 A6 100 25 A7 90 20 A8 150 43 A9 170 53 A10 190 56 正常生产时间内 可完成的客货轮数 3 4 2 加班生产时间内 可完成的客货轮数 3 2 3 正常生产时每艘成本 （万元） 600 700 650 但投资总额不能超过820万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立上述问题的整数规划模型。 五、（10分）

某公司拟将某种设备4台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂。各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如下表所示，

问这4台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？用动态规划求解。 六、（10分）

请确定a、b、c、d各题的存储模型，确定各输入数据，不需计算： a、某公司生产一种电子设备，该设备所需的一个部件由自己的分厂提供，分厂对这种部件的生产能力为6000/件，分厂每次的生产准备费为250元。公司的这种电子设备的年需求为2000台/年。装配允许滞后，滞后的费用为每台成本的40%。该部件每件成本为500元，年存贮为成本的20%。求：公司生产关于这种部件费用最小的生产批量。

b、某单位每年需要一种备件5000个，这种备件可以从市场直接购买到。设该备件的单价为16元/个，年存贮费为单价的25%。一个备件缺货一年的缺货费为单价的10%。若每组织采购一次的费用为120元。试确定一个使采购存贮费用之和为最小的采购批量。

c、一条生产线如果全部用于某型号产品时，其年生产能力为600000台。据预测对该型号产品的年需求量为250000台，并在全年内需求基本保持平衡，因此该生产线将用于多品种的轮番生产。已知在生产线上更换一种产品时，需准备结束费1350元。该产品每台成本为45元，年存贮费用为产品成本的24%，不允许发生供应短缺。求使费用最小的该产品的生产批量。

d、某企业的产品中有一外购件，年需求量为60000件，单价为35元。该外购件可在市场立即采购到，并设不允许缺货。已知每组织一次采购需720元，每件每年的存贮费为该件单价的20%。试求经济订货批量及每年最小的存贮加上采购的总费用。 七、（10分）

确定 a、b、c的排队论模型及输入数据，并写出要求解问题的符号，不计算。 a、某公用电话占有3台电话机，来打电话的人按泊松分布到达，平均每小时24人，每次通话的时间服从负指数分布平均为3分钟。求：

(1)到达时，不需要等待即可打电话的概率； (2)平均排队人数；

(3)为打电话平均耗费的时间，

b、一个机加工车间有30台相同的机器，每台机器平均每小时需加油一次，由于工作强度是随机的，机器缺油时自动停机，停机数服从泊松分布。一个修理工完成一台机器的加油平均需要10分钟，加油时间服从负指数分布，现有3个加油工人。求：

(1)系统里平均等待和正在加油的机器数； (2)一个机器缺油而停机等待加油的平均时间； (3)有1个，2个加油工人空闲的概率。

c、一个私人牙科诊所只有一个医生，诊室外有三把座椅可以等待。已知每名患者的平均治疗时间为20分钟。来看病患者的到达服从泊松分布，平均每小时2人。求：

(1)系统中顾客的平均数； (2)患者到达需要排队的概率；

(3)患者因没有等待的座位而离去的概率。 八、（10分）

某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15元，如果当天不能售出，每一百张赔20元。每日售出该报纸份数的概率为，根据以往经验如下表所示。

试问报亭每日定购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大？

销售量（单位：百张） 5 6 7 8 9 10 11 概率九、（10分）

0.05 0.10 0.20 0.20 0.25 0.15 0.05 某企业要投资一种新产品，投资方案有三个：S1、S2、S3，不同经济形势下的利润如下表所示。请用：

（1）悲观准则决策； （2）后悔值法决策； （3）乐观系数法（投资方案 S1 S2 S3 十、（10分）

某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各个月所需的仓库面积数字如下所示：

月份 所需仓库面积 （百平方米） 1 15 2 10 3 20 4 12 ＝0.5） 进行决策。

不同经济形势 好 8 23 100 一般 12 25 －8 差 16 5 －40 仓库的租借费用，当租借期限越长时，享受的折扣优惠越大，具体数字如下：

合同租借期限 合同期限内每百平方米 仓库面积的租借费用

1个月 二800 2个月 4500 3个月 6000 4个月 7300 租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理，可签一份，也可同时签定若干份租用面积和租借期不同的合同。请建立求解出一个所付租借费为最小的租借方案的线性规划模型。

2.2《管理运筹学》考试试卷（B）参

第一题（10分） 标准答案：

设xij表示i时会见的j种家庭的人数 目标函数：（2分）

minZ=25x11+30x21+20x12+24x22 约束：（8分） x11+x21+x12+x22=2000 x11+ x12=x21+ x22 x11+x21≥700 x12+x22≥450 xij≥0（i,j=1,2） 第二题（10分） 标准答案：

a. 最优解：x1=4000；x2=10000；最小风险：62000（2分） b. 年收入：6000元（2分）

c. 第一个约束条件对偶价格：0.057；第二个约束条件对偶价格：-2.167；第三个约束条

件对偶价格：0（2分） d. 不能判定（2分）

e. 当右边值总投资额取值在780000—1500000之间时，不改变约束条件1的对偶价格；当

右边值回报额取值在48000—102000之间时，不改变约束条件2的对偶价格；当右边值B的投资额小于10000时，不改变约束条件3的对偶价格。（2分） 第三题（10分） 标准答案：

M为一足够大的数

第四题（10分） 标准答案：

设

目标函数：（2分）

maxZ=31x1+35x2+45x3+17x4+15x5+25x6+20x7+43x8+53x9+56x10 约束条件：（8分）

110x1+130x2+160x3+90x4+80x5+100x6+90x7+150x8+170x9+190x10≤820 x1+x2+x3≥2 x4+x5≥1 x6+x7≥1 x8+x9+x10≤2

xi为0-1变量（i=1,2,…,10） 第五题（10分） 标准答案： 阶段3(3分) xi r f(xi) X* Si 0 1 2 3 4 0 0 1 5 2 7 3 12 4 13 0 5 7 12 13 0 1 2 3 4 阶段2(3分) xi Si 0 1 2 3 4 0 0 0+5 0+7 0+12 0+13 1 6+0 *6+5 6+7 *6+12 2 *11+0 *11+5 *11+7 r 3 12+0 12+5 4 12+0 0 6 11 16 18 0 1 1,2 2 1,2 f(xi) X* 阶段1(3分) xi Si 4 0 0+18 1 *4+16 r 2 8+11 3 10+6 4 13 20 1 f(xi) X* 分配给甲厂1台；分配给乙厂2台；分配给丙厂1台；总利润：20(1分) 第六题（10分） 标准答案：

a. 允许缺货的经济生产批量模型：D=2000台/年；d=2000台/年；p=6000台/年；C1=100

元/年；C2=200元/年；C3=250元/年(3分)

b. 允许缺货的经济订购批量模型：D=5000个/年；C1=4元/年； C2=1.6元/次；C3=120元/

年(3分)

c. 经济生产批量模型：D=250000台/年；p=600000台/年；d=250000台/年；C1=10.8元/年；

C3=1350元/次(2分)

d. 经济订购批量模型：D=60000件/年；C1=7元/年； C3=720元/次(2分) 第七题（10分）

标准答案：

a. 多服务台泊松到达服务负指数分布模型M/M/3：C=3；λ=0.4人/分钟；μ=1/3人/分钟

（1）p0+p1+p2；（2）Lq；（3）Ws(3分)

b. 多服务台泊松到达服务负指数分布模型M/M/3：λ=30台/小时；μ=18台/小时（1）

Ls；（2）Wq；（3）p2, p1(3分)

c. 单服务台泊松到达服务时间任意模型：λ=2人/小时；μ=3人/小时（1）Ls；（2）1- p0；

（3）1-（p0+p1+p2+ p3+p4）(4分) 第八题（10分） 标准答案：

k=15；h=20；k/(k+h)=3/7；(3分)

当Q=8时：；（4分）

满足条件最大。(3分) 第九题（10分） 标准答案：

，所以当报亭每日购800张报纸能使其赚钱的期望

（1） 悲观准则：min(S1)=8；min(S2)=5；min(S3)=--40；max{ min(S1), min(S2), min(S3)}=8；

选择方案S1。(3分)

（2） 后悔值法：(3分)

方案 S1 S2 S3 选择方案S3。

（3） 乐观系数法：E(S1)=12；E(S2)=15；E(S3)=30（max）；选择方案S3。（4分） 第十题（10分） 标准答案：

形势 好 92 77 0 一般 13 0 33 差 0 11 56 92 77 56（min） 设xij为第i月初办理的期限为j月的合同规定的仓库面积 目标函数：（2分）

minZ=2800(x11+x21+x31+x41)+4500((x12+x22+x32) +6000(x13+x23) +7300x14 约束条件：（8分） x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x21+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 xij≥0（i,j=1,2,3,4）