三角函数的应用(一)

三角函数的应用(一)

教学目标：合理地运用三角换元法及三角函数的有关知识解决数学问题，将三角知识与

其他知识有机结合以培养学生综合运用知识解题的能力

教学方法：讲练结合

教学重点：三角函数及三角式的恒等变形，实际问题三角化 教学难点：将实际问题转化为三角问题

新课引入：三角是高中代数的重要内容之一，每年的高考试题中约有30来分，在复习中

要注意三角函数及三角式的恒等变形。在许多数学问题中，三角是作为工具应用的，有时运用“三角换元法”可将其他问题转化为三角问题，有时在解题中需将其他知识与三角知识有机地结合起来。

小题训练：

(1) 若x∈(0，)，则函数y＝(1－sinx)² (1－cos2x)的最大值是 （ ） （A）

24813 （B）(23) （C） （D）

2727443 提示：y＝(1－sinx)²2sin2x＝(2－2sinx)²sinx²sinx

82-2sinxsinxsinx ∵x∈(0，) ∴sinx＞0，1－sinx＞0 ∴y≤＝

2723 当且仅当2－2sinx＝sinx即sinx＝

2时取等号，故选（D） 3 说明：本题将三角知识与基本不等式有机地结合了起来 (2) 已知x、y∈R，且

＋

191，则x＋y的最小值为 （ ） xy （A）12 （B）16 （C）6 （D）24 提示： ∵x、y∈R，且

＋

11991 ∴可令＝cos2α，＝sin2α，α∈(0，)

x2xyy∴x＋y＝sec2α＋9csc2α＝10＋(tan2α＋9cot2α)≥10＋6＝16

当且仅当tan2α＝9cot2α即tan2α＝3时等号成立

说明：1°本题巧妙地运用三角换元法化繁为简，便于求解。此题用其他方法（如基本

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不等式或化归为关于x的分式函数），则易错且麻烦。 2°这里限定α∈(0，

)是非常有必要的（为什么？） 2 3°非三角问题转化为三角问题有时是较方便的。

＋＋

一般地，形如：x、y∈R，x＋y＝1(或r 2)； x、y∈R，x－y＝1(或r 2) x 2＋y 2＝1(或r 2) x 2－y 2＝1(或r 2)

2x2y2y2x 221 221 abab 的条件均可考虑用三角换元法将其三角化 ．．．(3) P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2＝α，

∠PF2F1＝2α，则椭圆的离心率等于 （ ） （A）2cosα－1 （B）2sinα－1 （C）1－sinα （D）1－cosα 提示：在△PF1F2中，由正弦定理有：

y P  2F1 O F2 x |PF1||PF2||F1F2|

sin2sinsin(3) 由合分比定理知：

|PF1||PF2||F1F2|2a2c 即

sin2sinsin3sin2sinsin32csin3sincos2cossin24cos21 ∴e＝＝＝2cosα－1 2asin2sinsin(12cos)2cos133322sincoscos4cos3cos2csin322222  或：e＝＝2asin2sin312sincoscoscos2222 ＝4cos2－3＝2cosα－1 （这里要记住三倍角公式）

2说明：

1°本题将三角知识与解几知识结合在一起，并综合用到椭圆的定义、正弦定理、合分比定理等知识，是一道综合题

2°这里可将2α推广到一般的角β来求离心率（留作作业），并且对双曲线也有同样的问题可解决

3°本题是否可考虑用特殊值来处理？如令α＝30°(令α＝45°就不能一步到位地解决)

注：一般说来，特殊化考虑总要较一般化考虑来得更方便，但这里似乎是个反常（留作学生思考）

(4) 函数y＝x＋1x2的值域是

提示： ∵1－x2≥0 ∴x∈[－1，1] 令x＝cosα，α∈[0，π]

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则y＝cosθ＋1cos2＝cosθ＋sinθ＝2sin( ∵4)

4∈[

52，] ∴sin()∈[－，1] ∴y∈[－1，2] 4442说明：1°本题采用了三角换元法，注意对角的范围的限制 2°若改为求函数y＝

x＋1x2的最值，又如何换元？

－

，]，则|z2＋z2|的取值范围是： 63 提示：设z＝cosθ＋isinθ，θ∈[，]

63(5) 若复数z的模为1，辐角θ∈[

|z 2＋z2|＝|cos2θ＋isin2θ＋cos2θ－isin2θ|＝2|cos2θ|

－

211，] ∴－≤cos2θ≤ ∴2|cos2θ|∈[0，1] 3322例1． 设复数z1、z2的模都是1，辐角分别是α和α－，其中α∈(，2)，已知z1＋z2＝

21717－－i ，求tgα的值。 1313解：由题意：z1＝cosα＋isinα， z2＝cos (α－)＋isin (α－)＝sinα－icosα

221717 ∴ z1＋z2＝(cosα＋sinα)＋i(cosα＋sinα)＝－－i

131317120 ∴cosα＋sinα＝－ 两边平方得：sin2α＝

131691191cos2512 ∵2α∈(2π，4π) ∴cos2α＝± ∴tanα＝＝或

169sin2125601760或：sinαcosα＝ ∴sinα、cosα是一元二次方程x 2＋x＋＝0的两根

16913169512sinsin13或13 ∴tanα＝5或12 ∴125125coscos1313 ∵2θ∈[

说明：此题明显应将z1、z2用三角形式表达，然后由共轭复数概念得到三角关系式，是道

基本题，可让学生独立完成

例2． 水渠横断面为等腰梯形（如图所示），渠深为h，梯形面B A 积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰

h 及下底边长之和为最小，问此时腰与下底夹角α应该是

 多少？ D C

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分析：这里涉及多个字母，首先应搞清已知条件中哪些字母是定值，哪些字母是变量 解：由已知：CE＝hcotα BC＝hcscα ∵S＝

ABCD2CD2CESh＝h＝(CD＋hcotα)h ∴CD＝－hcotα 22h 设两腰及下底边长之和为l ，则 l＝CD＋2BC＝ α∈(0，

SScos2－hcotα＋2hcscα＝－h hhsiny 2 1 x ) 2cos2 令f(α)＝ ，α∈(0，)

sin2 要求l的最小值就是要求f(α)的最大值

∵f(α)表示两点(sinα，cosα)、(0，2)连线的斜率 ∴f(α)max＝－

S33 ∴lmin＝＋h

h33 ∴当腰与下底夹角α为时渠道渗水量最小 33Scos2 说明：1°得到l＝－h α∈(0，)后也可用万能置换法解

hsin2 当l取最小值时α＝

1m222cos23m211m 令m＝tan ∈(0，1)，则＝≥3 2sin2m2m1m2 当且仅当tan

3＝m＝∈(0，1) 即α＝时取等号 233 2°这是一个实际应用题，将其转化为三角问题来解思路自然，条理清晰

3°此题分析后直接将解答过程用幻灯打出，以节省时间

小结：

1°利用“三角换元法”可将其他问题转化为三角问题，但要注意角的范围是否要作限制；若要限制，应如何限制？

2°应注意三角知识与其他知识如复数、基本不等式、解析几何、实际应用题的结合。

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