维普资讯 http://www.cqvip.com 总第２７期 Ｓｍｎ Ｎｏ．２７ Ｊ伽ｌｍａｌ 南京广播电视大学学报 ０ｆ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｒａｄｉｏ＆ＴＶ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２００２年第２期 Ｎｏ．２，２００２ 积分的概率解法及其误差分析 陆银根 （南通广播电视大学。江苏南通２２６００６） 各种类型的积分 。 ，羞 文介绍了利用随机数据进行近似计算的方法及其误差分析。理论上说。本方法适用于 。 … 【关键词】积分方法误差分析 实例观察 考虑ｎ维空间Ｒ－Ｉ中函数ｆ（ｘ）在有界闭域Ｄ内的积分。这里ｘ：（ｘ，，ｘ２，…， ）表示 维空间中 的点，假设函数ｆ（ｘ）在Ｄ可积，即Ｉ＝＿ｆｆ（ｘ）ｄｘ存在。 现 一！ 洛方法来求解此积分并估计其误差，、积分方法 最后给出欲达到指定精度所需的数据量。 。…一一…一 设Ｑ是 。中的可度量区域，ＩＤＩ￣ｌ＇ｌ的度量值，在Ｑ上定义了一个可积函数ｆ（ｘ），ｘ∈Ｑ，现在 号虑积分 Ｊｆ（Ｘ）ｄＸ ． 均匀分布的随机变量￡竺 篓曼 ， ：使Ｑ∈（・，岛，…，ａ＇￡ｂ．），“令￡，（ａ，＝（ｂ）“毛，是（岛，ａ…，，ｂ）毛）的ｎ次笛卡尔积。取ｎ个相互独立的在（，则￡在Ｑ中是均匀分布的 三。， Ｖｂ ） ∈∈Ｑ）＝；斫ＶＩ，这里ＩＶＩ表示Ｖ的度量，ｖ Ｑ 由 分中值定理。得 ）锻 Ｅ［“ｓ） ￣Ｅ ｓｑ］ ＝ 某个向量值 订皇 方 如 ．＝（￡ｆ；），龟 ，…，（１）产生一个ｎ维随机向量￡＝（￡ ）甚Ｑ，则舍去，设总共有ｍ个向量属于Ｑ∈。。龟，… ），￡在（记为 ＇ｂ￡（）”中均匀分布，Ｉ），。 若 ，， （２）记Ｉ ＝）Ｄ２：：ｓ ’。 ｍ。耋ｆ（ ），其中ＩＤＩ是Ｑ的度量 由中心极限定理 ｌｉｍｌ ＝１ ¨Ｉ’ 这样，只要取适当大小的ｎｒｌ值，即可求得满足精度要求的积分值。 首先求出Ｉ 的期望和方差： ．）一ｉＬ Ｄ２兰ｆ（ ㈦）］＝．Ｉ ＤＩ。耋Ｅ ’）：ＩＤＩＥｆ（￡ｍ）：Ｉ Ｄ（ＩｌＩ一）～［．ＩＤＩ ㈦）］＝ Ｉ ＤＩ ２ｆ（ ］：＿Ｉ ＤＩ ２。 ｉ’）］ ｍ． ． 由中心极限定理知： 州 ， 问题化为：对Ｖ Ｅ＞Ｏ及给定的显著性水平Ｑ，要使Ｐ（ＩＩＩＩｌ—ＩＩ＜ｅ）＞ｌ一。或Ｐ（Ｐ『ＩＩＩＩ—Ｉｆ≥Ｅ）≤。 ４７ 维普资讯 http://www.cqvip.com 陆银根：积分的概率解法及其误差分析 成立．！Ｊ！ｕ ｍ应取多大？ 根据Ｐ（・ｚ 一ｚ・＜ｅ）＝Ｐ（ｉ ｝＜ 南）＞－一ａ 查正态分布表，得临界值ｕｔ一薹即有Ｐ（ Ｉ寺｛＜ｕｔ一｛）＝ｌ—ａ，所以，只要 ≥ｕｔ一 即ｍ ＩＤＩ ｕ 一 ≥一 Ｄ［ｆ（ ）］，就能使Ｉ 与Ｉ之差小于￡的概率大于１一ａ。 荇方差Ｄｆｆ（∈）］不易求出，则可用频率法公式，此时ｍ＝——Ｉ＿— Ｐ・ｑ，其中ｈｈ Ｄ Ｉ １ ｕ 一昙 是ｆ（∈）在ｎ中的 最大值，Ｐ、ｑ分别是 和（１一 三、实例观察 例１．求二重积分Ｉ＝ （Ｘ２＋ｙ２一ｘ）ｄｏ，Ｄ：｛ｘ，ｙ）Ｉｙ≤２，ｙ≥ｘ，ｙ≤２ｘ｝ 解：产生ｕ（０，２）分布的随机数序列（Ｘｉ，Ｙｉ），设有ｍ Ｘ＇－Ｊ＂（Ｘｉ￣Ｙｉ）落在Ｄ中，则ＩⅡ－＝ ｘｉ ）．其 中Ｉ ＤＩ是积分区域Ｄ的面积。下表是ｍ取不同值时的计算结果和误差： ｍ 计算值 理论值 绝对误差 相对误差 ２０ ２．２７ｌ ２．１６６ ，Ｊｏ５ ．０４８ ４０ ２．４５９ ２．１６６ ．２９２ ．１３５ ｌ（】０ ２．２０６ ２．１６６ ．０３９ ．０１８ ５１３０ ２．１ １４ ２．１６６ ．０５３ ．０２５ ｌ０００ ２．１９３ ２．１６６ ．０２６ ，０ｌ２ 误差分析： 若给定ａ＝０．０５，￡＝０．ｏｌ，即要求以９５％的概率保证误差不超过ｌ％。由此可计算得：ｍ＝｝ １）［ｆ（ ）］ ８８１２６ 例２．计算二重积分Ｉ：Ｉｌ ｅ ‘ ｙ—ｄｏ，Ｄ：ｘ ＋Ｙ ≤１ 解：产生ｍ对单位圆上均匀分布的随机数对（ ， ），则由公式可得积分值为 ｈｎ＝ 耋（Ｘｉ Ｙ。） 其中ＩＤＩ是Ｄ的度量值 下表是ｍ取不同值时的计算结果和误差： ｍ 计算值 理论值 绝对误差 相对误差 ２０ １．９ｌ２ １．９８５ ．０７４ ．０３７ ４（） １．９９ｌ １．９８５ ．１３０６ ．００３ ｌ１３０ ２．０３ １．９８５ ．０４４ ．０２２ ５１３０ ２．Ｏ０９ １．９８５ ．０２３ ．０１２ １０００ １．９９７ １．９８５ ．０ｌ１ ．００５ 误差分析： 符给定ａ＝０．０５，￡＝０．０１，即要求以９５％的概率保证误差不超过１％。由此可计算得：ｍ： Ｌ ｉ Ｄｌｆ １ ｌ２４ｌ９ 例３．求Ｉ：ｆ ｄｘ 解：Ｉ ＝ 善ｆ（∈ｉ）， Ｅ ｌ ｌ， ］，这里，Ｉ ＤＩ＝ 一ｌ 维普资讯 http://www.cqvip.com 陆银根：积分的概率解法及其误差分析 下表是ｎｌ取不同值时的计算结果和误差： ， 计算值 理论值 绝对误差 ２０ ４０ ｌＯ０ ５Ｏ０ ｌ０００ ．９３２ ．８６２ ．８８９ ．８９２ ．９０１ ．９ｏ５ ．９ｏ５ ．９ｏ５ ．９ｏ５ ．９ｏ５ ．０２６ ．０４４ ．０ｌ６ ．０ｌ３ ．００５ 相对误差 ．０ｏ＿９ ．０４８ ．０ｌ８ ．０１５ ．００５ 误差分析： 若要求Ｐ（Ｉ Ｉ 一Ｉ Ｉ＜￡）＝０．９５，则ｍ圭 显然，【）Ｌｌ≤ １ｈ＝ｍ ａｘ ｆ（ｘ）＝０．８４ ．．・一圭（＿ 号 一 ｘ ｌ－－３１０００， 本‘｝ｔ－算方法使用方便，计算精度高，且能根据用户的要求调整计算量，从而达到预期的计算目 的。经大星例子测试，实际数据量只需２００～１０００即可达到一般精度要求。 参考文献： ［１ ｊ周兆麟、李毓芝，《数理统计》，中国统计出版社，１９８５年． Ｉ２ｊ［美］Ｅ・勒克斯，黄志远等译，《概率论与数理统计（引论）》． 口 ４９