正弦定理(一)(附答案)

[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.

知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示 文字 语言 符号 语言 2.正弦定理的常见变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径. abc

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径).

2R2R2R

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. a＋b＋cabc

(4)＝＝＝. sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. 3.正弦定理的证明

(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C

ab

sin A＝，sin B＝，

cc

abcc

∴c＝＝＝＝，

sin Asin Bsin 90°sin C∴

abc＝＝. sin Asin Bsin C

(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，

CD＝asin_B＝bsin_A， ∴

ab＝， sin Asin B

ac

同理，作AC边上的高BE，可得＝，

sin Asin C∴

abc＝＝. sin Asin Bsin C

(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，

过B作BD⊥AC于D，则 BD＝asin(π－C)＝asin_C， BD＝csin_A，故有asin C＝csin_A， ∴

ac＝， sin Asin C

ababc

同理，＝，∴＝＝. sin Asin Bsin Asin Bsin C

思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B. 知识点二 解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题？

答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.

题型一 对正弦定理的理解

例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.a＝b⇔sin 2A＝sin 2B b＋ca

C.＝ sin Asin B＋sin C

D.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B

解析 在△ABC中，由正弦定理得

abc＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，csin Asin Bsin C

＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确. 当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a ≠b，故B错误. 根据比例式的性质易得C正确. 大边对大角，故D正确.

跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( ) A.a>bsin A C.a解析 在△ABC中，B∈(0，π)，∴sin B∈(0,1]， ∴

1

≥1， sin B

B.a＝bsin A D.a≥bsin A

abbsin A

由正弦定理＝得a＝≥bsin A.

sin Asin Bsin B题型二 用正弦定理解三角形

例2 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由

accsin A10×sin 45°＝得a＝＝＝102. sin Asin Csin Csin 30°

2＋6

， 4

∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6csin BcsinA＋C10×sin 75°∴b＝＝＝＝20×

sin Csin Csin 30°4

＝52＋56.

∴B＝105°，a＝102，b＝52＋56. (2)∵

asin A＝c

sin C

， ∴sin C＝csin A

a＝6×sin 45°2＝32，

∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝

csin B6sin 75°

sin C＝sin 60°＝3＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝

csin Bsin C＝6sin 15°

sin 120°

＝3－1. ∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°， C＝120°.

跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(A.42 B.43 C.46 D.4

(2)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则C＝______. 答案 (1)C (2)105°或15°

解析 (1)易知A＝45°，由asin A＝b

sin B得

b＝asin B

8·32sin A＝2

＝46. 2(2)由正弦定理ab

sin A＝sin B，

得sin B＝bsin A2sin 30°2

a＝2＝2. ∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，

∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.

题型三 判断三角形的形状

例3 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状. a2解 由已知得sin Bcos B＝b2sin A

cos A，

由正弦定理得sin2Asin Bsin2cos B＝Bsin A

cos A.

∵sin A、sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B. 即sin 2A＝sin 2B.

) ∴2A＋2B＝π或2A＝2B. π

∴A＋B＝或A＝B.

2

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

跟踪训练3 在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状. 解 由bsin B＝csin C，得b2＝c2， ∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形， 由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2， ∴△ABC为直角三角形， ∴△ABC为等腰直角三角形.

1.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( ) A.asin A＝bsin B C.absin C＝bcsin B

B.bsin C＝csin A D.asin C＝csin A

2.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，那么A等于( )

A.135° B.90° C.45° D.30°

3.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝3b，则A等于( ) ππππA. B. C. D. 123

sin Acos Bcos C4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，则△ABC

abc是( )

A.等边三角形 B.直角三角形，且有一个角是30° C.等腰直角三角形 D.等腰三角形，且有一个角是30°

5.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝503，则△ABC的形状是________.

π

6.在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝______，a＝________.

4

一、选择题

1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是( ) A.53353 B.5 C.7 D.7

2.在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A>sin B B.cos Asin 2B

D.cos 2A3.在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1

D.3∶1∶1

4.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰三角形

5.已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于( )

A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 6.在△ABC中，A＝60°，a＝3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C等于( )

A.833 B.2393 C.2833 D.23

7.在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为

3＋1

2

，则三角形的最大角为( A.60° B.75° C.90° D.115° 8.在△ABC中，a＝4，b＝5

2，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为( )

A.ππ6 B.4 C.π3 D.56π

二、填空题

9.已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.

10.在△ABC中，A＝π

3

，BC＝3，AB＝6，则角C＝______.

11.在△ABC中，BC＝a＝15，AC＝b＝10，A＝60°，则cos B＝________.

) 三、解答题

12.(1)在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，解三角形； (2)在△ABC中，BC＝a＝4，AC＝b，AB＝c＝26，A＝45°，求b，B和C.

13.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.

当堂检测答案

1.答案 D

abc

解析 由正弦定理＝＝，

sin Asin Bsin C得asin C＝csin A. 2.答案 C

abasin B

解析 由＝得sin A＝＝

sin Asin Bb∴A＝45°或135°.

又∵a解析 在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B＝3sin B， 又∵sin B≠0，∴sin A＝π

又A为锐角，∴A＝. 34.答案 C

解析 由题acos B＝bsin A， 又由正弦定理asin B＝bsin A， ∴sin B＝cos B，

又∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°.

同理C＝45°.故△ABC为等腰直角三角形. 5.答案 等腰或直角三角形

1

150×2bccsin B3

解析 由＝得sin C＝＝＝，

sin Bsin Cb2503又∵C∈(0°，180°)， ∴C＝60°或120°， ∴A＝90°或30°，

∴△ABC为等腰或直角三角形. 6.答案

25

210 5

3. 2

2×332

2， 2

＝解析 由tan A＝2，得sin A＝2cos A， 25

由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，

5

πab

∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，

4sin Asin Bbsin A25

得a＝＝＝210.

sin B2

2错误!

课时精练答案

一、选择题 1.答案 A 解析

sin Aa5

＝＝. sin Bb3

2.答案 C

解析 A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确. 由于(0，π)上，y＝cos x单调递减， ∴cos A∵sin A>sin B>0，∴sin2A>sin2B， ∴cos 2A解析 ∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1， ∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.

由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝311

∶∶＝3∶1∶1. 2224.答案 B

asin A

解析 ∵a＝bsin A，∴＝sin A＝，∴sin B＝1，

bsin Bπ

又∵B∈(0，π)，∴B＝，即△ABC为直角三角形.

25.答案 D

ab

解析 由正弦定理＝得

sin Asin B143×

2bsin A3

sin B＝＝＝，

a42又∵B∈(0°，180°)，且b>a，B>A，

∴B＝60°或120°. 6.答案 D

解析 利用正弦定理及比例性质，得

a＋b＋ca33

＝＝＝＝23.

sin A＋sin B＋sin Csin Asin 60°3

27.答案 B

解析 不妨设a为最大边，c为最小边，

3＋13＋1asin Asin A

由题意有＝＝，即＝. csin C22sin120°－A整理得(3－3)sin A＝(3＋3)cos A. ∴tan A＝2＋3，

又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故选B. 8.答案 A

3

解析 由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝，

5π4

∴A∈(0，)，∴sin A＝，

255

241

由正弦定理得＝，∴sin B＝. 4sin B25π

又∵a>b，∴A>B，且A∈(0，)，

2π

∴B必为锐角，∴B＝. 6二、填空题 9.答案 2

解析 ∵A∶B∶C＝1∶2∶3， ∴A＝30°，B＝60°，C＝90°. ∵

abc1

＝＝＝＝2， sin Asin Bsin Csin 30°

∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C， ∴

π

10.答案

4

a－2b＋c

＝2.

sin A－2sin B＋sin C

sin A·AB2解析 由正弦定理，得sin C＝＝. BC2ππ

因为BC >AB，所以A>C，则03411.答案

6

3

解析 由正弦定理得

b103

sin B＝sin A＝·sin 60°＝，

a153又b0， ∴cos B＝1－sin2B＝ 三、解答题

12.解 (1)因为A＋B＋C＝180°，所以C＝105°.

所以sin C＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝abc

由正弦定理＝＝，

sin Asin Bsin Csin A得a＝·c＝10(3－1)，

sin Ccsin B10sin 30°b＝＝＝5(6－2).

sin Csin 105°

所以C＝105°，a＝10(3－1)，b＝5(6－2). ac(2)由正弦定理＝得

sin Asin C2

26×

2csin A3

sin C＝＝＝. a42∵C∈(0°，180°)，且c>a，C >A， ∴C＝60°或120°，∴B＝75°或15°， ∴sin B＝

6＋26－2

或， 44

6＋2

. 4

1－

326＝. 33

a46±2

∴b＝·sin B＝×＝2(3±1)，

sin A422

∴b＝2(3＋1)，B＝75°，C＝60°或b＝2(3－1)，B＝15°，C＝120°.

abc13.解 方法一 根据正弦定理＝＝.

sin Asin Bsin C

∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1， ∴sin B＝

2

. 2

∵0°abc方法二 根据正弦定理＝＝.

sin Asin Bsin C∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.

∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，

∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°