闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响

闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响

作者： 单位： 邮编：

摘要

在工程上电路中出现两个储能元件时便构成了二阶系统。由于欠阻尼二阶系统最具有实际意义，并且二阶系统往往需要满足工程最佳参数的要求，然而仅仅通过改变开环放大系数从而满足工程要求则可能会出现系统稳态误差增大的现象，设置具有闭环零点的二阶系统既可以达到满足工程所需的阻尼比，又可保证系统稳态精度。

在全面的分析了二阶系统之后，得出二阶系统的动态变化，由此引入带有零点的二阶系统，并分析了在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应，并分析了其上升时间、峰值时间、调节时间、最大超调量，与没有零点的二阶系统进行了动态特性的对比。在此基础上分析了零点位置变化对二阶系统的影响。得到了重要结论。

关键字：二阶系统 上升时间 峰值时间 调节时间 最大超调量

0 引言

在已经知道了二阶系统的动态特性的基础之上，进一步研究具有闭环零点的二阶系统。并通过对比二阶系统和具有闭环零点的二阶系统，得出一定的结论。讨论当零点移动时对动态特性的影响。对满足工程所需的阻尼比，保证系统稳态精度具有重要作用。

1 二阶系统

用二阶微分方程描述的系统成为二阶系统。 等效开环传递函数方框图：

其闭环传递函数方框图： Xr(s) 2ωn 22s＋2ξωns＋ωn Xc(s) 其中ωn无阻尼自然振荡角频率，ξ为阻尼比。

ω2nWB（s）=2 （1-1）

s＋2ξωns＋ω2n二阶系统的特征方程为：

s2＋2ξωns＋ω2n=0

2两根为S1,2=－ξω1 nωnξ－二阶系统极点分布图：

1、当ξ>1时，（过阻尼） 2、当0<ξ<1时，（欠阻尼） 3、当ξ=1时，（临界阻尼） 4、当ξ=0时，（无阻尼） 5、当ξ<0时，（发散振荡）

在不同的阻尼比时，二阶系统的动态响应有很大的差别，因此阻尼比ξ是二阶系统的重要参数，当ξ<0时系统不可以正常工作，而在ξ>1时，系统动态响应进行得太慢，所以对二阶系统来说欠阻尼是最有实际意义的。

2 具有零点的二阶系统

ω2(τs1)Wk（s）=2n

s2ξωnsω2τs1)n(WB（s）=2 22s2ξωsωτωsnnnω2τs1)n( = 2 22s（2ξωnτωn）sωnω2(τs1) =2n

s2ξωnsω2n1τω2n(s)τ =2s2ξωnsω2n =

1ω2(s)nτ12(s2ξωnsω2n)τ （2-1）

1令=z （τ为时间常数） τω2n(sz)则WB（s）= （2-2） 2z(s22ξωsω)nn上式系统的闭环传递函数为具有零点-z的二阶系统。

其结构图如下： Xr(s) ω2Xc(s) n(sz) z(s22ξωnsω2)n

3 带零点二阶系统的单位阶跃响应

1当输入信号为Xr(s)=

sω2n(sz)Xc(s)= 2sz(s22ξωsω)nnsω2n=(1+)() 22zs(s2ξωnsωn)s=(1+)[Xc1(s)]

zω2nXc1(s)= 22s(s2ξωnsωn)s则Xc（s）= Xc1(s)+ Xc1(s)

z-1

Xc(t)=L[Xc（s）]

1= L-1[Xc（s）]+ L-1[sXc（s）]

z1dXc1(t)= Xc1(t)+

zdtXc1(t)=1-

eξωnt21ξ2sin(1ξωntθ)

1dXc1(t)eξωnt1222=[ξωnsin(1ξωntθ)1ξωncos(1ξωntθ)]

2zzdt1ξ则得

eξωntl2Xc(t)=1- sin(1ξωntθφ) （3-1）

2z1ξ21ξ式中 θ=arctan

ξωn1ξ2 φ==arctan

zξωn

l=zz22zξωnωn2

z2具有零点的二阶系统零极点分布图：

4 带零点二阶系统的动态特性

4.1 上升时间tr

在动态过程中，系统的输出第一次达到稳定值的时间称为上升时间tr，根据这一定义，在式中t=tr时 Xc(t)=1得

eξωntlsin(ωdtθφ)=0 得 2z1ξωdt＋θ＋φ=π

trπθφ1ξωn2 (4-1)

4.2 峰值时间

峰值时间为第一个峰值对应的时间 令

dXc(t)=0 dtlξωneξωntleξωntsin(ωdtθφ)-cos(ωdtθφ)=0 22zz1ξ1ξ21ξsin(ωdtmθφ)=

ξcos(ωdtmθφ)21ξωdtmθφ)=得tan(

ξ21ξωdtmθφ=nπ+arctan

ξ∴ωdtmφ= nπ 当n=1时

πφtm= =

ωdπφ1ξωn2 (4-2)

4.3 最大超调量

超调量=

xc(m)－xc()*100%

xc()

在单位阶跃输入下xc()=1 将tm代入xc(t)得

ξ(πφ)21ξxc(m)=1elsin(πθ) 2z1ξ =1+

eξ(πφ)21ξl21ξ 2z1ξ =1+e则 δ%=e

ξ(πφ)21ξl zξ(πφ)21ξl*100% (4-3) z4.4 调节时间

调节时间ts是Xc(t)与稳态值Xc(∞)之间的偏差大道允许范围（一般去稳态值的±2%~±5%）而不超出的动态过程时间，在动态过程中偏差为： Δx= xc(∞)- xc(t)

eξωntl2 = sin(1ξωntθφ)

2z1ξ当Δx=0.02或0.05时得

eξωntl2sin(1ξωntθφ）=0.05 (或0.02) 2z1ξ为简单起见，采用近似计算的方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时过渡过程及进行完毕，这样得到：

leξωnts=0.05（或0.02） 2z1ξ由此求得调节时间为：

1lts(5%)=(3ln) (4-4)

ξωnz

1lts(2%)=(4ln) (4-5)

ξωnz

5 加入零点之后二阶系统的变化

未加入闭环零点时二阶系统的动态特性与存在闭环零点的二阶系统有很大差别，在过渡工程开始阶段有较大影响。

5.1 上升时间的变化

由trπθ1ξωn2 与公式4-1对比可得当阻尼系数ζ和无阻尼振荡角频率一

定时，附加一个闭环零点时，上升时间tr减小，即使系统响应速度加快。

5.2 峰值时间tm的变化

由

tmπ= =ωdπ1ξωn2与公式4-2对比可得当阻尼系数ξ和无阻尼

振荡角频率一定时，存在闭环零点时，峰值时间峰值时间tm减小，并与上升时间的时间减小量相同，是系统响应速度加快。

5.3 最大超调量的变化

ξπ21ξδ%=e*100%与公式δ%=el*100% B=ezξ(πφ)21ξl*100%（4-3）相比可得 z设A=eξ(πφ)21ξξπ21ξ*100%

ABeξ(πφ)21ξξπ21ξl*100%z *100%

el =ezφ21ξ将其转化成关于φ的函数关系

得当阻尼系数ζ和无阻尼振荡角频率一定时，加入闭环零点使系统的调节量略有上升。

5.4 调节时间的变化

当系统中未加入闭环零点时其调节时间如下： 3ts(5%)

ξωn4 ts(2%)ξωn

加入闭环零点时公式如下：

1lts(5%)=(3ln) (4-4) ξωnz1lts(2%)=(4ln) (4-5) ξωnz显然当阻尼系数ζ和无阻尼振荡角频率一定时，系统存在闭环零点时，其调节时

1l间均延长了ln。

ξωnz

6 零点位置变化对二阶系统的影响

6.1 对上升时间的影响

由公式（4-1）可知

当z>ξωn时，tr增大。

当z= ξωn时，φ=90度，此时tr最小。 当090度， tr减小。

由此得出结论：上升时间会随零点的左移而增大。

6.2 对峰值时间的影响

同理可得当零点左移时峰值时间会增大。

6.3 对最大超调量的影响

由公式（4-3）可得，将其转化成关于φ的函数 当零点左移时减小，增大，由三角形正弦定理可知：

e()12减小

lzlsin，则 sinsin()zsin()所以当闭环零点左移时，最大超调量将减小。

6.4 对调节时间的影响

lsinzsin()

将其代入公式（4-4）中

得出结论：当闭环零点左移时，系统的调节时间减小。

7 结束语

当阻尼系数和无阻尼自然振荡角频率一定时，附加一个闭环零点，将使二阶系统单位阶跃响应的震荡剧烈，响应速度加快，超调量上升。

随着闭环零点的左移，即远离极点，系统的上升时间，峰值时间，超调量，调节时间均减小。随着附加闭环零点向虚轴靠近，比值αz逐渐减小，闭环ξωn零点影响更加显著。

当附加零点距s平面虚轴很远时，附加零点的影响可忽略，这是系统可用无零点典型二阶系统代替。

参考文献

[1]王建辉，顾树生.自动控制原理.北京：清华大学出版社[M],2006 [2]张元林.积分变换.北京：高等教育出版社[M],2003 [3]郑君里等.信号与系统.北京：高等教育出版社[M]2008