2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新逸翠园中学、高新三中九年级(上)期中数学试卷

2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新逸翠园中学、高

新三中九年级（上）期中数学试卷

1. 下列方程是一元二次方程的是( )

A. (𝑥−3)𝑥=𝑥2+2 C. 3𝑥2−𝑥+2=0

1

B. 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 D. 2𝑥2=1

2. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何

体的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

3. 已知=2，则

𝑎

𝑏𝑎−𝑏𝑎+𝑏

的值是( )

A. 3

1

B. −3

1

C. 3 D. −3

4. 某果园2018年砂糖橘产量为80吨，2020年要达到100吨，设砂糖橘产量的年平均

增长率为x，则依据题意所列方程为( )

A. 80(1+𝑥)2=100 C. 80(1+2𝑥)=100

B. 80(1+𝑥)3=100 D. 100(1−𝑥)2=80

5. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，若各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值( )

A. 扩大为原来的3倍 C. 不变

6. 如图，是三个反比例函数𝑦=

𝑘1

B. 缩小为原来的3 D. 以上都不对

，𝑦=𝑥

𝑘2

1

，𝑦=𝑥

𝑘3𝑥

在x

轴上方的图象，由此观察得到𝑘1、𝑘2、𝑘3的大小关系为( )

A. 𝑘1>𝑘2>𝑘3 B. 𝑘3>𝑘1>𝑘2 C. 𝑘2>𝑘3>𝑘1 D. 𝑘3>𝑘2>𝑘1

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7. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交

于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△𝐴𝐵𝐸与平行四边形ABCD的面积之比为

( )

A. 1：8 B. 1：4 C. 3：8 D. 3：4

8. 如图，正方形ABCD中，∠𝐷𝐴𝐶的平分线交DC于点𝐸.若P、

Q分别是AD和AE上的动点，则𝐷𝑄+𝑃𝑄能取到的最小值为4√2时，此正方形的边长为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

9. 如图，直线𝑎//𝑏//𝑐，直线m、n与a、b、c分别交于点A、

C、E、B、D、F，已知𝐴𝐶=3，𝐶𝐸=6，𝐵𝐷=2，则BF等于______.

10. 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的

球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.5，据此可以估计红球的个数约为______ 个．

11. 如图，菱形OBAC的边OB在x轴上，点𝐴(8,4)，tan∠𝐶𝑂𝐵=

4

，若反比个例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象经过点C，则反比3

例函数解析式为______.

12. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、

BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足______条件时，四边形EFGH是菱形．

𝑘

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13. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=10，P是AD

边上一动点(不含端点A，𝐷)，连接PC，E是AB边上一点，设𝐵𝐸=𝑎，若存在唯一点P，使∠𝐸𝑃𝐶=90∘，则a的值是______.

14. 用适当的方法解下列方程：

(1)4(𝑥−3)2−25=0；

(2)2𝑦2+7𝑦+3=0.

15. 计算(𝜋−2019)0+2sin60∘−√12+|1−√3|.

16. 已知：如图，在▱ABCD中，𝐵𝐴=𝐵𝐷，M，N分别是AD

和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．

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17. 在如图的方格纸中，△𝑂𝐴𝐵的顶点坐标分别为𝑂(0,0)、𝐴(−2,−1)、𝐵(−1,−3)，△

𝑂1𝐴1𝐵1与△𝑂𝐴𝐵是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点𝐵1的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△𝑂𝐴𝐵的一个位似图形△𝑂𝐴2𝐵2，使它与△𝑂𝐴𝐵的位似比为2：1，并写出点B的对应点𝐵2的坐标；

(3)△𝑂𝐴𝐵的内部一点M的坐标为(𝑎,𝑏)，写出M在△𝑂𝐴2𝐵2中的对应点M的坐标．

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18. 随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产物资

以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，经发现，一条生产线最大的产能是1500万个/天，若增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能的同时又要节省投入的条件下，应该增加几条生产线？

19. 已知在△𝐴𝐵𝐶中，D是边AC上一点∠𝐶𝐵𝐷的角平分线交AC于点E，且𝐴𝐸=𝐴𝐵.

(1)求证：△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐵；

(2)当𝐴𝐷=4，𝐶𝐷=7时，求AE的长．

20. 现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋

装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．

(1)将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

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21. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小

组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45∘；再在BD的延长线上确定一点G，使𝐷𝐺=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得𝐹𝐺=2米，小明眼睛与地面的距离𝐸𝐹=1.6米，测量器的高度𝐶𝐷=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度𝐴𝐵.(小平面镜的大小忽略不计)

22. 已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D是边BC的中点，E、F

分别是BD、AC的中点，且𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐶=10，sin𝐶=

45

.求：

(1)线段EF的长； (2)∠𝐵的余弦值．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑥与反比例函数𝑦=(𝑥>0)在第一象限内

2

𝑥

1

𝑘

的图象相交于点𝐴(𝑚,1). (1)求反比例函数的解析式；

(2)将直线𝑦=2𝑥向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点B，与y轴交于点C，且△𝐴𝐵𝑂的面积为，求直线BC的解析式．

23

1

24. 已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的

一个动点(与点A，C不重合)，过点P作𝑃𝐸⊥𝑃𝐵，PE

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交DC于点E，过点E作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，垂足为点𝐹. (1)求证：𝑃𝐵=𝑃𝐸；

(2)在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．

25. 问题发现

(1)如图1，四边形ABCD是平行四边形，点M是边AB上一定点，请在图①中过点M作一条直线，使其将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；

(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，点D是BC边上一点，点O是边AC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，若𝑂𝐸>𝑂𝐷，四边形ABDE的面积为𝑆1，△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆2，比较𝑆1与𝑆2的大小，并说明理由．

问题解决

(3)已知李叔叔家承包的农田如图3中的四边形ABCD所示，其中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷=40米，𝐵𝐶=120米，𝐶𝐷=60米，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，四边形EFCG为矩形，边FE、EG将农田分成了三部分，其中，矩形EFCG的面积为2700平方米．李叔叔今年除了种植常规玉米外还想尝试种植一种新品种(花玉米)，为了方便劳作，李叔叔准备在农田中修一条笔直的小路𝑀𝑁(小路的两端M、N分别在AB和BC上，且小路的宽度忽略不计)，使得MN将四边形ABCD分成两部分，同时平分矩形EFCG的面积，且使得新品种(花玉米)种植区域△𝐵𝑀𝑁的面积最小以降低风险．试问李叔叔的想法能否实现，若能请画出这条小路，并求出△

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𝐵𝑀𝑁面积的最小值，若不能，请说明理由．

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程； B：当𝑎=0时，不是一元二次方程；

C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程； D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程． 故本题选𝐷.

根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断．

本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，作出判断．

2.【答案】C

【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线． 故选：𝐶.

根据左视图是从左面看到的图形判定则可．

本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．

3.【答案】B

【解析】解：∵∴𝑏=2𝑎，

∴

故选：𝐵.

直接利用比例的性质得出a、b的关系，进而得出答案． 此题主要考查了比例的性质，正确得出a、b的关系是解题关键．

𝑎−𝑏𝑎−2𝑎1

==−. 𝑎+𝑏𝑎+2𝑎3𝑏𝑎

=2，

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4.【答案】A

【解析】解：由题知：80(1+𝑥)2=100 故选：𝐴.

根据一元二次方程的实际应用的平均增长率的公式列式即可．

本题考查了一元二次方程的实际应用问题的平均增长率问题，熟知其应用是解题的关键．

5.【答案】C

【解析】解：由锐角三角函数的定义可知，

将𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中的各边长都扩大为原来的3倍，其扩大前后相应的两条边的比值不变， 因此锐角A的正切值不变， 故选：𝐶.

根据锐角三角函数的定义进行判断即可．

本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确判断的前提．

6.【答案】C

【解析】解：读图可知：三个反比例函数𝑦=𝑦=

𝑘2

𝑘1𝑥

的图象在第二象限；故𝑘1<0；

，𝑦=𝑥

𝑘3

在第一象限；且𝑦=𝑦=𝑥

𝑘2𝑥

，的图象距原点较远，故有：𝑘3<𝑘2；

综合可得：𝑘2>𝑘3>𝑘1. 故选：𝐶.

根据反比例函数图象上点的坐标特点可得𝑘=𝑥𝑦，进而可分析𝑘1、𝑘2、𝑘3的大小关系． 此题主要考查了反比例函数𝑦=的图象，反比例函数𝑦=的图象是双曲线，当𝑘>0时，

𝑥

𝑥

𝑘

𝑘

它的两个分支分别位于第一、三象限；当𝑘<0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大．

7.【答案】C

【解析】解：∵𝐸为OD的中点， ∴𝐷𝐸=𝑂𝐸，

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∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝑂𝐸， 设𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑎， 则𝑆△𝐴𝑂𝐷=2𝑎， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=3𝑎，

∵四边形ABCD是平行四边形，

，

则故选：𝐶.

由E为OD的中点，依据等底共高得出𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝑂𝐸，设𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑎，则𝑆△𝐴𝑂𝐷=2𝑎，𝑆△𝐴𝐵𝐸=3𝑎，再由平行四边形的性质知

，从而得出答案．

，

本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握等底共高的两三角形面积相等、平行四边形的性质等知识点．

8.【答案】D

【解析】解：过D作𝐷𝐹⊥𝐴𝐸，交AE于点F，延长DF交AC于𝐷′，

∵𝐷𝐷′⊥𝐴𝐸， ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐷′，

∵∠𝐷𝐴𝐶的平分线交DC于点E， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸， 在△𝐷𝐴𝐹与△𝐷′𝐴𝐹中， ∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐷′∵{𝐴𝐹=𝐴𝐹， ∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸∴△𝐷𝐴𝐹≌△𝐷′𝐴𝐹(𝐴𝑆𝐴)，

∴𝐷′是D关于AE的对称点，𝐴𝐷′=𝐴𝐷， ∴𝐷′𝑃′即为𝐷𝑄+𝑃𝑄的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐷𝐴𝐷′=45∘， ∴𝐴𝑃′=𝑃′𝐷′=4√2， ∴在𝑅𝑡△𝐴𝑃′𝐷′中，

𝑃′𝐷′2+𝐴𝑃′2=𝐴𝐷′2，𝐴𝐷′2=，

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∴𝐴𝐷′=8.

故选：𝐷.

过D作𝐷𝐹⊥𝐴𝐸，交AE于点F，延长DF交AC于𝐷′，由角平分线的性质可得出𝐷′是D关于AE的对称点，进而可知𝐷′𝑃′即为𝐷𝑄+𝑃𝑄的最小值，再根据等腰直角三角形的性质求出正方形的边长．

本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

9.【答案】6

【解析】解：∵𝑎//𝑏//𝑐， ∴

𝐴𝐶𝐶𝐸

=

𝐵𝐷𝐷𝐹

，

32= 6𝐷𝐹解得𝐷𝐹=4，

∴𝐵𝐹=𝐵𝐷+𝐷𝐹=2+4=6.

故答案为：6.

利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

10.【答案】500

【解析】解：∵摸到红球的频率约为0.5， ∴红球所占的百分比是50%. ∴1000×50%=500(个). 故答案为：500.

因为多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分比也就是60%，根据总数可求出红球个数．

本题考查用频率估计概率，因为摸到红球的频率约为0.5，红球所占的百分比是50%，从而可求出解．

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11.【答案】𝑦=𝑥

【解析】解：∵四边形OABC是菱形，𝐴(8,4)， ∴𝐶𝑀=4， 又∵tan∠𝐶𝑂𝐵=3， ∴𝑂𝑀=3， ∴点𝐶(3,4)，

∵点𝐶(3,4)在反比例函数𝑦=的图象上，

𝑥𝑘

4

12

∴𝑘=3×4=12， ∴反比例函数关系式为𝑦=故答案为：𝑦=

12𝑥

12𝑥

，

.

根据菱形的性质和点A的坐标可求出CM，再由锐角三角函数可求出OM，进而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入函数关系式即可．

本题考查菱形的性质，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点值坐标的特征是解决问题的关键．

12.【答案】𝐴𝐵=𝐶𝐷

【解析】解：需添加条件𝐴𝐵=𝐶𝐷. ∵𝐸，F是AD，DB中点， ∴𝐸𝐹//𝐴𝐵，𝐸𝐹=2𝐴𝐵， ∵𝐻，G是AC，BC中点， ∴𝐻𝐺//𝐴𝐵，𝐻𝐺=𝐴𝐵，

211

∴𝐸𝐹//𝐻𝐺，𝐸𝐹=𝐻𝐺， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵𝐸，H是AD，AC中点， ∴𝐸𝐻=2𝐶𝐷， ∵𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴𝐸𝐹=𝐸𝐻，

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1

∴四边形EFGH是菱形． 故答案为：𝐴𝐵=𝐶𝐷.

首先利用三角形的中位线定理证出𝐸𝐹//𝐴𝐵，𝐸𝐹=2𝐴𝐵，𝐻𝐺//𝐴𝐵，𝐻𝐺=2𝐴𝐵，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件𝐴𝐵=𝐶𝐷后，证明𝐸𝐹=𝐸𝐻即可．

此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据．

1

1

13.【答案】6

【解析】解：∵𝑃𝐸⊥𝑃𝐶， ∴∠𝐴𝑃𝐸+∠𝐷𝑃𝐶=90∘， ∵∠𝐷=90∘，

∴∠𝐷𝐶𝑃+∠𝐷𝑃𝐶=90∘， ∴∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐷𝐶𝑃， ∵∠𝐴=∠𝐷=90∘， ∴△𝐴𝑃𝐸∽△𝐷𝐶𝑃， ∴

𝐴𝑃𝐷𝐶

11

=

𝐴𝐸𝐷𝑃

，

设𝐴𝑃=𝑥，𝐴𝐸=𝑦， 在矩形ABCD中， ∵𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=10，

∴𝐷𝑃=𝐴𝐷−𝐴𝑃=10−𝑥，𝐶𝐷=𝐴𝐵=6， ∴𝑥(10−𝑥)=6𝑦， ∴𝑥2−10𝑥+6𝑦=0， 由题意存在唯一点P， ∴𝛥=0， ∴100−24𝑦=0， ∴𝑦=

256

，

256

∵𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=6−故答案为：6.

11

=

116

，

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设𝐴𝑃=𝑥，𝐴𝐸=𝑦，证明△𝐴𝑃𝐸∽△𝐷𝐶𝑃，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式𝛥=0，构建方程解决问题．

本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．

14.【答案】解：(1)4(𝑥−3)2−25=0，

4(𝑥−3)2=25， (𝑥−3)=±，

25

所以𝑥1=

112

，𝑥2=；

2

1

(2)2𝑦2+7𝑦+3=0， (2𝑦+1)(𝑦+3)=0， 解得：𝑦1=−2，𝑦2=−3.

【解析】(1)先移项得到4(𝑥−3)2=25，然后利用直接开平方法解方程； (2)利用因式分解法解方程．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

1

15.【答案】解：原式=1+2×√−2√3+√3−1 2

=1+√3−2√3+√3−1 =0.

【解析】化简零指数幂，二次根式，绝对值，代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，后算加减．

本题考查实数的混合运算，理解二次根式的性质，掌握绝对值的概念，𝑎0=1(𝑎≠0)，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

316.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐵𝐴=𝐷𝐶， ∵𝐵𝐴=𝐵𝐷，

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∴𝐵𝐴=𝐵𝐷=𝐷𝐶，

∵𝑀、N分别是AD和BC的中点， ∴𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，𝐷𝑀=2𝐴𝐷，𝐵𝑁=2𝐵𝐶， ∴𝐷𝑀=𝐵𝑁， 又∵𝐷𝑀//𝐵𝑁，

∴四边形BMDN是平行四边形， ∵𝐵𝑀⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝑀𝐷=90∘， ∴四边形BMDN是矩形．

【解析】首先判定四边形BNDM是平行四边形，然后证得一个内角为直角，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可．

考查了矩形的判定及平行四边形的性质的知识，解题的关键是了解矩形四边形的判定方法，难度不大．

1

1

17.【答案】解：(1)如图，点P即为所求，𝐵1(3,−5)；

(2)如图，△𝑂𝐴2𝐵2即为所求，𝐵2(−2,−6)；

(3)根据位似图形的性质可知，点M的对应点坐标为(2𝑎,2𝑏).

【解析】(1)根据位似图形中，对应点连线交于位似中心，即可得出点P的位置； (2)根据位似图形的性质即可画出△𝑂𝐴2𝐵2； (3)据位似图形的性质即可得出答案．

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本题主要考查了作图-位似变换，平面内点的坐标的特征，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．

18.【答案】解：设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为(1500−50𝑥)万

件/天，

依题意，得：(1+𝑥)(1500−50𝑥)=6500， 解得：𝑥1=4，𝑥2=25.

又∵在增加产能同时又要节省投入，

∴𝑥=4.

答：应该增加4条生产线．

【解析】设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为(1500−50𝑥)万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：如图，

∵𝐵𝐸是∠𝐶𝐵𝐷的角平分线， ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸， ∵𝐴𝐸=𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵， ∵∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐸， ∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶+∠𝐶𝐵𝐸， ∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐷，

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又∵∠𝐴=∠𝐴， ∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐵； (2)解：∵△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐵， ∴

𝐴𝐷𝐴𝐵

=

𝐴𝐵𝐴𝐶

，

又∵𝐴𝐵=𝐴𝐸，

∴𝐴𝐸2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶=4×(4+7)=44，

∴𝐴𝐸=2√11.

【解析】(1)利用外角的性质可证∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐷，即可证明结论； (2)根据相似三角形的性质可知

𝐴𝐷𝐴𝐵

=

𝐴𝐵𝐴𝐶

，代入即可得出AB的长，从而解决问题．

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐷是解题的关键．

20.【答案】解：(1)共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种

∴𝑃(摸出白球)=3； (2)根据题意，列表如下： A B 白1 白2 红 红1 (白1，红1) (白2，红1) (红，红1) 红2 (白1，红2) (白2，红2) (红，红2) 白 (白1，白) (白2，白) (白，红) 2

由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种

∴𝑃(颜色不相同)=9，𝑃(颜色相同)=9

∵

∴这个游戏规则对双方不公平.

【解析】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 (1)𝑃(摸出白球)=3；

25

4

45< 99第19页，共26页

(2)由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种𝑃(颜色不相同)=，𝑃(颜色相同)=，<这个游戏规则对双方不公平

9

9

9

9

5

4

4

5

21.【答案】解：如图，过点C作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于点H，

则𝐶𝐻=𝐵𝐷，𝐵𝐻=𝐶𝐷=0.5. 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐻中，∠𝐴𝐶𝐻=45∘， ∴𝐴𝐻=𝐶𝐻=𝐵𝐷，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐻+𝐵𝐻=𝐵𝐷+0.5.

∵𝐸𝐹⊥𝐹𝐵，𝐴𝐵⊥𝐹𝐵，

∴∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐴𝐵𝐺=90∘.

又∵∠𝐸𝐺𝐹=∠𝐴𝐺𝐵， ∴△𝐸𝐹𝐺∽△𝐴𝐵𝐺， ∴

𝐸𝐹𝐴𝐵

=

𝐹𝐺𝐵𝐺

，即

1.6

𝐵𝐷+0.5

=

25+𝐵𝐷

，

解得𝐵𝐷=17.5，

经检验：𝐵𝐷=17.5是原方程的解.

∴𝐴𝐵=17.5+0.5=18(𝑚).

∴这棵古树的高AB为18𝑚.

【解析】本题考查了相似三角形的应用，过点C作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于点H，则𝐶𝐻=𝐵𝐷，𝐵𝐻=𝐶𝐷=0.5，由等腰直角三角形的性质，得出𝐴𝐻=𝐶𝐻=𝐵𝐷，那么𝐴𝐵=𝐴𝐻+𝐵𝐻=𝐵𝐷+0.5，再证明△𝐸𝐹𝐺∽△𝐴𝐵𝐺，根据相似三角形对应边成比例求出𝐵𝐷=17.5，进而求出AB即可．

22.【答案】解：(1)连接𝐴𝐸.

∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，E为BD的中点， ∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，即得∠𝐴𝐸𝐶=90∘. 又∵𝐹是AC的中点，𝐴𝐶=10， ∴𝐸𝐹=2𝐴𝐶=5；

(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐶中， ∵sin𝐶=𝐴𝐶=5，

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𝐴𝐸

4

1

∴𝐴𝐸=5𝐴𝐶=5×10=8，

∴𝐶𝐸=√𝐴𝐶2−𝐴𝐸2=√102−82=6， ∵𝐷是边BC的中点， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， 又∵𝐸为BD的中点， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐷=2𝐵𝐷，

∵𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐸𝐷=2𝐵𝐸+𝐵𝐸=6， ∴𝐵𝐸=2，

∴𝐴𝐵=√𝐴𝐸2+𝐵𝐸2=√82+22=2√17，

∴cos𝐵=

【解析】(1)连接AE，根据𝐴𝐵=𝐴𝐷，E为BD中点，可证得𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，然后根据F为AC的中点，可得𝐸𝐹=2𝐴𝐶，即可求出EF的长度；

(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐶中，根据𝐴𝐶=10，sin𝐶=，求出AE、EC的长度，然后根据D、E分

1

1

44

𝐵𝐸2√17==. 𝐴𝐵2√1717别为BC、BD的中点，求出BE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，继而可求得∠𝐵的余弦值．

本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理的应用．

23.【答案】解：(1)∵直线𝑦=2𝑥过点𝐴(𝑚,1)，

∴𝑚=1，解得𝑚=2，

21

1

∴𝐴(2,1).

∵反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象过点𝐴(2,1)， ∴𝑘=2×1=2，

∴反比例函数的解析式为𝑦=𝑥；

(2)设直线BC的解析式为𝑦=2𝑥+𝑏，

12

𝑘

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连接AC，由平行线间的距离处处相等可得△𝐴𝐶𝑂与△𝐴𝐵𝑂面积相等，且△𝐴𝐵𝑂的面积为2，

∴△𝐴𝐶𝑂的面积=𝑂𝐶⋅2=，

2

2

1

3

3

∴𝑂𝐶=2， ∴𝑏=，

23

3

∴直线BC的解析式为𝑦=𝑥+.

2

2

13

【解析】(1)将A点坐标代入直线𝑦=2𝑥中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；

(2)根据直线的平移规律设直线BC的解析式为𝑦=𝑥+𝑏，由同底等高的两三角形面积

21

1

相等可得△𝐴𝐶𝑂与△𝐴𝐵𝑂面积相等，根据△𝐴𝐵𝑂的面积为2列出方程2𝑂𝐶⋅2=2，解方程求出𝑂𝐶=2，即𝑏=2，进而得出直线BC的解析式．

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

3

3

313

24.【答案】(1)证明：过点P作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶于G，过点P作𝑃𝐻⊥𝐷𝐶于H，如图1.

∵四边形ABCD是正方形，𝑃𝐺⊥𝐵𝐶，𝑃𝐻⊥𝐷𝐶，

∴∠𝐺𝑃𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐻𝑃𝐶=45∘.

第22页，共26页

∴𝑃𝐺=𝑃𝐻，∠𝐺𝑃𝐻=∠𝑃𝐺𝐵=∠𝑃𝐻𝐸=90∘. ∵𝑃𝐸⊥𝑃𝐵，即∠𝐵𝑃𝐸=90∘，

∴∠𝐵𝑃𝐺=90∘−∠𝐺𝑃𝐸=∠𝐸𝑃𝐻.

在△𝑃𝐺𝐵和△𝑃𝐻𝐸中， {∠𝑃𝐺𝐵=∠𝑃𝐻𝐸𝑃𝐺=𝑃𝐻， ∠𝐵𝑃𝐺=∠𝐸𝑃𝐻

∴△𝑃𝐺𝐵≌△𝑃𝐻𝐸(𝐴𝑆𝐴)，

(2)解：PF的长度不变． 连接BD，如图2.

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐵𝑂𝑃=90∘，

∵𝑃𝐸⊥𝑃𝐵，即∠𝐵𝑃𝐸=90∘， ∴∠𝑃𝐵𝑂=90∘−∠𝐵𝑃𝑂=∠𝐸𝑃𝐹，∵𝐸𝐹⊥𝑃𝐶，即∠𝑃𝐹𝐸=90∘， ∴∠𝐵𝑂𝑃=∠𝑃𝐹𝐸， 在△𝐵𝑂𝑃和△𝑃𝐹𝐸中， {∠𝑃𝐵𝑂=∠𝐸𝑃𝐹∠𝐵𝑂𝑃=∠𝑃𝐹𝐸， 𝑃𝐵=𝑃𝐸

∴△𝐵𝑂𝑃≌△𝑃𝐹𝐸(𝐴𝐴𝑆)，

∵四边形ABCD是正方形， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶，∠𝐵𝑂𝐶=90∘，

∵𝐵𝐶=2， ∴𝑂𝐵=√2，

∴𝑃𝐵=𝑃𝐸.

∴𝐵𝑂=𝑃𝐹.

∴𝐵𝐶=√2𝑂𝐵.

第23页，共26页

∴𝑃𝐹=𝑂𝐵=√2.

∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为√2.

【解析】(1)过点P作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶于G，过点P作𝑃𝐻⊥𝐷𝐶于H，如图1.要证𝑃𝐵=𝑃𝐸，只需证到△𝑃𝐺𝐵≌△𝑃𝐻𝐸即可；

(2)连接BD，如图2.易证△𝐵𝑂𝑃≌△𝑃𝐹𝐸，则有𝐵𝑂=𝑃𝐹，只需求出BO的长即可； 本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．

25.【答案】解：(1)如图1，连接BC，取BC的中点O，过点O作直线MN交CD于点

N，

直线MN就是的求的直线，

理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，

∵点C到AB的距离等于点B到CD的距离， ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐵等底等高， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐷𝐶𝐵，

∵∠𝑂𝑀𝐵=∠𝑂𝑁𝐶，∠𝐵𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑁，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴△𝐵𝑂𝑀≌△𝐶𝑂𝑁(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑆△𝐵𝑂𝑀=𝑆△𝐶𝑂𝑁，

，

∴直线MN就是的求的直线. (2)𝑆1>𝑆2，

理由如下：如图2，作𝐴𝐻⊥𝐸𝐷于点H，𝐶𝐺⊥𝐸𝐷交ED的延长线于点G，

∵∠𝑂𝐻𝐴=∠𝐺=90∘，∠𝐴𝑂𝐻=∠𝐶𝑂𝐺，𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴△𝐴𝑂𝐻≌△𝐶𝑂𝐺(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐻=𝐶𝐺， ∵𝑂𝐸>𝑂𝐷，

∴2𝑂𝐸⋅𝐴𝐻>2𝑂𝐷⋅𝐶𝐺， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐸>𝑆△𝐶𝑂𝐷，

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1

1

，

，

∴𝑆1>𝑆2.

(3)能，

如图3，连结CE，则线段CE就是小路的位置．

取CE中点O，过点O作直线分别交AB于点M，交BC于点N，交EG于点L， 由(1)可知，此时MN平分矩形EFCG的面积，

若点M在点B与点E之间，则点N在CD上，不符合题意， ∴点M在线段AE上， ∵四边形EFCG是矩形， ∴𝐸𝐺//𝐶𝐹， ∴∠𝑂𝐸𝐿=∠𝑂𝐶𝑁，

∵𝑂𝐸=𝑂𝐶，∠𝐸𝑂𝐿=∠𝐶𝑂𝑁， ∴△𝑂𝐸𝐿≌△𝑂𝐶𝑁(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑂𝐿=𝑂𝑁，

当点M与点E不重合时，则𝑂𝑀>𝑂𝑁， 由(2)可知，此时𝑆△𝐸𝑂𝑀>𝑆△𝐶𝑂𝑁，

，

∴𝑆△𝐵𝑀𝑁>𝑆△𝐵𝐸𝐶，

当点M与点E重合时，则𝑆△𝐵𝑀𝑁=𝑆△𝐵𝐸𝐶，此时△𝐵𝑀𝑁的面积最小， ∴线段CE就是小路MN的位置， 作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷=90∘， ∴∠𝐷=180∘−∠𝐵𝐶𝐷=90∘， ∴∠𝐴𝐻𝐶=∠𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90∘， ∴四边形AHCD是矩形，

∴𝐴𝐻=𝐶𝐷=60，𝐶𝐻=𝐴𝐷=40， ∴𝐵𝐻=𝐵𝐶−𝐶𝐻=120−40=80， ∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶， ∴𝐸𝐹//𝐴𝐻， ∴△𝐸𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐻， ∴𝐴𝐻=𝐵𝐻，

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𝐸𝐹

𝐵𝐹

∴𝐵𝐹=

𝐵𝐻𝐴𝐻

⋅𝐸𝐹=

8060

𝐸𝐹=𝐸𝐹，

3

43

43

4

设𝐸𝐹=𝑥，则𝐵𝐹=𝑥，𝐶𝐹=120−𝑥，

，

∴𝑥(120−3𝑥)=2700， 整理得𝑥2−90𝑥+2025=0， 解得𝑥1=𝑥2=45， ∴𝐸𝐹=45，

平方米)，

∴△𝐵𝑀𝑁面积的最小值为2700平方米．

【解析】(1)平行四边形是中心对称图形，过其对称中心的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，连接BC，取BC的中点O，过点O作直线MN交CD于点N，则直线MN就是所求的直线，可根据全等三角形的性质说明理由；

(2)𝑆1>𝑆2，作𝐴𝐻⊥𝐸𝐷于点H，𝐶𝐺⊥𝐸𝐷交ED的延长线于点G，先证明𝑆△𝐴𝑂𝐸>𝑆△𝐶𝑂𝐷，由

，得

，得出结论； 列方程求出

4

(3)先类比(1)、(2)的方法探究小路MN的位置，再根据EF的长，即可求出△𝐵𝑀𝑁面积的最小值．

此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、有关面积问题的作图与求解等知识与方法，解题的关键是根据平行四边形是中心对称图形这一性质作出经过平行四边形的对称中心的直线．

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