用面积法求解几何问题

解决几何问题有很多方法，在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法. 面积法既能解决题目中直接涉及面积的问题，也可解决一些题目中不涉及面积的问题. 在平时的学习、解题过程中，如果有意识的使用面积法.，能够使有些几何图形性质的证明、几何问题的解决等起到事半功倍的作用.

对有些几何题，如果单纯用图形的几何性质、全等三角形或相似三角形等知识来解答，会使计算或证明过程很复杂，而用面积法却能够轻松得到解决.下面举例说明.

例1 如图1，E、F分别为□ABCD的边CD、AD上的点，且AE=CF，设AE、CF交于P，求证：BP平分∠APC.

证明 连BE、BF， ∵AE=CF，

∴ 三角形ABE的面积等于三角形FBC的面积 即SABESFBC

∴ 点B到AE、FC的距离相等.

即点B到∠APC的两边PA、PC的距离相等， ∴ BP平分∠APC.

例2 如图2，已知：△ABC中，AD是∠BAC的平分线.

ABBD 求证：. ACCD分析 因为AD是∠A的平分线，且在△ABD与△ADC中，BD、DC边上的高相等，所以可利用三角形面积公式来证明.

证明 设△ABC中BC边上的高为h，则

1SABDBDh，

21SACDCDh.

2 又 过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则

1SABDABDE，

21SACDACDF.

211BDhABDESABD2于是 . 211SADCCDhACDF22ABBD∵ ∠1=∠2， ∴ DE=DF. 故 . .1. ACCD例3 如图3，P为△ABC内任意一点，连AP、BP、CP并分别延长交对边

PDPEPF1. 于D、E、F，求证：

ADBECF分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决.

证明 设P到BC、CA、AB三边的距离分别为x、y、z，三边上的高为

ha、hb、hc.

显然有

PDxSBPCPEySAPC， ， ADhaSABCBEhbSABCPFzSAPB FChcSABC三式相加得

PDPEPF1. ADBECF例4 如图4，矩形ABCD中，ABa,BCb,M是BC的中点，DEAM 于E. 求证：DE2ab4ab22. 证明 连DM，

∵ M是BC的中点，

1ab1∴SAMDS矩形ABCD=，SAMDAMDE

222∴ AMDEab 又AM2ab1 4a2b2 ∴ DE2224ab 例5 如图5，E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，若

SCEF3,SABE4,SADF5,则SAEF= .

解析 连AC，设SACFx，SACEy. 则

4y5x ∴ yx1 ①

又

x5CDyABx5y， ∴ , ②

xCF3CFx3由①、②联立方程组 解得 x5,y6. ∴ SAEFxy35638.

例5 如图6，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O. 设梯

.2. 形ABCD的面积为S，△AOD的面积为S1，△AOD的面积为S2，△AOD的面积为S3，试证：S1、S2是方程x2SxS30的两根.

分析 利用面积之比能够转化为线段之比的办法，能够解决这个问题. 证明 ∵

S1DOS2OC,. S3OBS3AO∴

S1S2DOOC. 2S3OBAO∵AD//BC， ∴ ∴

DOAO. OBOCS1S21 ,即S1S2S3. ① S32又∵ SS1S22S3

S1S22S1S2

(S1S2)2，

∴ S1S2S ②

由①、②可知，S1、S2是方程x2SxS30的两根.

以上几个例子，若用其它方法解答，其过程要繁琐得多.像这样的问题还很多，如果在学习过程中有意采用面积法，既能提升学习、解题效率，又能提升分析问题、解决问题的水平，实现解题水平的全面提升.

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