数学建模优秀论文

承 诺 书

我们仔细阅读了第五届湖南工学院数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们的参赛报名号为： 20024019

参赛队员 (签名) ：

队员2：陈善平 班级：自动化卓越班

队员3：周鸿鹏 班级：自动化卓越班 队员1：黄 星 班级：自动化卓越班

2012年湖南工学院数学建模竞赛

编 号 专 用 页

参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：

20024019

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2012年湖南工学数学建模竞赛

题 目 住房贷款问题探究

摘要

随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。另外，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，从原始洞穴发展到现代摩天大厦，体现了人类的进步。人类对居所的投资，直接为劳动力的再生产提供了最基本的生活资料，从而直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。

近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。面对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。

问题1：实际上是一个数学问题，我们通过不完全归纳法得出式：月还款额=贷款总额*月利率*[(1+月利率）^贷款月数]/[(1+月利率)^贷款月数-1]

Ar1r即为X n1r1n再将有关数据代入即可求出相应问题。

问题2：实际上就是问题1公式的变型，他的贷款总额显然要在十年内还清才为最佳。由不完全归纳法得：

A1r1A nr1rn问题3：解决现实中贷款的问题。根据银行的贷款月利率可以推算出合理的每月还款额度。

关键字：不完全归纳法 lingo软件 综合分析

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一、问题重述

某人想贷款20万元, 20年用来买房. 如果按当时的年利率6.39%, 20年后一次还清的话, 银行将按月利率0.5325%的复利计算, 要还

200000(10.005325)240723,410

太多了, 怕还不起, 所以决定每个月还一点钱（按揭）.

在“文曲星”电子词典(或类似的电子词典)中，打开其目录,在“计算”目录下有一项“贷款计算”，打开后有下列显示： 贷款金额 200,000 贷款年数 20

年利率(%) 6.39%=0.0639(月利率=6.39/12=0.5325%) 如果是上述输入，会见到如下“计算结果” 每月应付款数(记为x) 1478.22 总还款额 3,773.41 总利息 1,773.41

问题一: 用数学建模的方法来回答: 这是怎么算出来的.

问题二：现考虑以下情况，他估计在10年里每月的还款能力x = 3000元没有问题, 已知贷款年利率R = 6%(月利率r = 0.5%), 贷款年数为N = 10年.

1. 建立他应该借多少钱的数学模型.

2. 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借(贷款)多少钱?

问题三：现有某商业银行打出一则低息现金贷款广告：借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 问：该银行的贷款月利率为多少？为了求出月利率需要解什么样的数学问题

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二、问题分析

对于问题1我们要解决的问题是找到一种既简单又能够精确的算出总利息、每月应付款数、总还款额，就要知道月还款额的算法。

月还款额=贷款额*月利率（1+月利率）^还款月数/[(1+月利率）^还款月数-1]。

月还款额乘以还款月数即为总还款数总额，还款总额减贷款金额可以得出总利息。

对于问题2 是贷款最优解的问题，他在十年内的还款能力是x=3000贷款年数是N=10年，很显然他在十年刚好还款即为最佳。

贷款额=月还款额[（1+月利率）^还款月数-1]/[月利率（1+月利率）^还款月数]

三、模型假设

对于问题一 1、贷款月利率不变

2、先不考虑现金净现值（时间因素） 3、贷款人有足够能力支付每月房贷 4、贷款人每月消费十分理智 对于问题二 1、假设题目所给的数据真实可靠

2、假设银行各期贷款利率数据准确且不变。 3、假设10年内每月都能按期付款

对于问题三 1、假设贷款者具有还款能力 2、贷款者每月按期还款 3、银行的广告具有真实性

四、符号约定

Z: 总还款额 Y: 总利息 X: 每月应付还款

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r: 月利率 n: 还款月数 A: 贷款总额

CK: —第K个月末还款后的本息总金额

五、模型的建立及求解

问题1

令Ｃk为第K个月还贷后的本息和。

C1A(1r)-XC2[A(1r)-X](1r)-X A(1r)2-[(1r)-1]XC3{[A(1r)-X](1r)-X}(1r)X A(1r)3-[(1r)2(1r)-1] X由不完全归纳法：

CKA(1r)K-[(1r)K-1(1r)K-2(1r)K-3.......(1r)2(1r)-1] XA(1r)K-[(1r)K-1]X/r

所以每月应付还款

Ar1rXk1r1

k

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又因为K=n=240,所以

Ar1rXn1r-1

n总还款：

总利息：Y

用以上公式可以求出：每月应付还款:

Xn

XnA

2000000.5325%10.5325%X10.5325%2401总还款额:

2401478.22

Z1478.222403773.41

总利息:

Y3773.412000001773.41

问题2

令Ｃk为第K个月还贷后的本息和。

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C1XA1rC2[1r1]XA(1r)2AC3[(1r)(1r)1]X

由不完全归纳法：

2

CKr[(1r)K1]XAr(1r)K

又因为K=n=120,所以

Cnr[(1r)n-1]XAr(1r)nCn0

[(10.5%)120-1]3000A270220.359981200.5%(10.5%)

所以他应该贷款为：

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A270220.35998

问题3

根据以上各种假设和符号约定，建立模型如下。 所求的值是r (银行的贷款月利率） 要求月利率，需判断此还款的类型 还款的类型：

1）等额本金还款法（利随本清法）（递减法）

即每月等额偿还贷款本金，贷款利息随本金逐月递减，每月还款额计算公式为：

每月还款额＝

﹙贷款本金／还款月数﹚＋[﹙本金－已归还本金累计金额﹚×月利率]

2）等额本息还款法（等额法）

即贷款期每月以相等的额度平均偿还贷款本息，每月还款计算公式为：

每月还款额＝

[贷款本金×月利率×﹙1＋月利率﹚还款月数]∕﹛[﹙1＋月利率﹚还款月数]－1﹜

根据题意，每月还款1637元。 可知，此为等额本息还款法（等额法）

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即贷款期每月以相等的额度平均偿还贷款本息，每月还款计算公式为：

Ar1rxn(1r)1X1637A50000 n36n由lingo程序可得到银行的贷款月利率。

r0.9162410

2

六、结果分析

还款方式主要涉及等额本息还款法，等额递增还款法。这里，等额本息还款法指的是在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；等额递增还款法则是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。当然案例中还包括由于银行贷款利率的上下波动以及贷款人经济状况的改变所引起的还款额的变动。在对运算结果的比较、分析中，可以得出各种还款方法的利弊。

七、模型的改进和推广

改进：（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素

（2）考虑国家、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响 （3）对利率有更准确的计算方法

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（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平

推广：根据前面模型所建立的还款系统，可以很好的解决人们的房屋贷款问题。在建模过程中，简化了很多因素，因而与实际问题有所偏差，因此，要想建立更好的还款方案，可以对一个实际的房屋贷款方案进行计算机模拟，将得到的实际数据输入计算机程序，便可以得出更优的还款方案。

八、模型的评价

1、模型的优点:

（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。 (2)方法简便，步骤少

（3）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性 2、模型的缺点：

（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。 （2）利率的精确度不同可能造成一定误差。

（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来。

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九、参考文献

[1].菲歇尔《利息理论》（陈彪如译），上海人民出版社1999年

[2].帕廷金《货币、利息与价格》（邓瑞索译），中国社会科学出版社1996年 [3].苑德军．中国金融创新的成本与效益分析．财贸经济，2001年第2期

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十、附录

MODEL: DATA: n=36; x=1637; A=50000; ENDDATA

x=A*r*(1+r)^n/((1+r)^n-1); END

Feasible solution found.

Infeasibilities: 0.1523404E-10 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 40

Variable Value N 36.00000 X 1637.000 A 50000.00 R 0.91624E-02

Row Slack or Surplus

1 0.000000

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