初中数学竞赛专题辅导-因式分解(一)

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数； (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数； (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

2．拆项、添项法 例4 分解因式：x3-9x+8．

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例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

3．换元法 例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．

练习一

1．分解因式：

(2)x10+x5-2

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5． 2．分解因式：

(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323． 3．分解因式：

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1；

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1； (4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

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