南昌大学_05-06_第一学期_线性代数期末试卷_A_

线性代数

南昌大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷 线性代数

选题(择小题每分3共，15)分得分评人阅

k某1+某2+3某=01、若次线性方齐组程某1+某2k3某=0有仅零，解(则2某某某+=0123

C)(Ak)4=或k=1(C)k≠4且≠1k2、1αα,,2(B)k=4或=k1()Dk≠4且k≠

1α,(≥2)性线无关充的必分要件是条(D)(A)都不是向零量B()意任个向量两分的量不成比例()至C少有个向量一可不其余由向线性量示表D()一个向每量不均其余由向量线表示3性、A,B为均n方阵，阶列各下式成立的是(D中)(A)(A+B)2=A22+BA+B2(C设A)B=,则0A=0或B=0()B(AB′)A′B=′()若DA+BA=0则，A0=或E+B=0

、4设n方阵阶A的r秩<,n在则的An个行量向(中A)(A)有必个行向量r线性关(C)无任意个r向行量线性均无关(B)任意r个向行均量构可成最大关无组()D一任向量均行可由其r个行向量线性表它示A)5、n阶方阵可与A对角矩阵Λ相似充的必要条件分(

(是)A有nA线个无关性特征向的量(C)A的n个列向线量性无关B(A有)n个不同特征的值D)(有A个非零n的特征

第值页28共页 三、

线性代数

算题(每小题计9,共63分分)得分评阅人11设A、4为阶阵方，A=,3求A41A3.11:∵解A=AA1A=,3

—————————2—分

1∴3A41A=3A14A1=31A3=(3)424=3.1=1811A3——————————5分—————————8分——————————9分—

11112、计算n阶行式列D=101n01n1111001111110011111n1n101——————————2分

解 D:

r1r2+++nr11110111r1÷(n1 ()n1)100111111110

—————

—————3分r2r1r31rrn1r10 01

(n)10101n1

—————————6分— 0000(nn1)2=(n1)(1)(1

)=(1)

(n1)(n+2)2(n1). ——————————分9

第3页共8页 线性代数 、已知3向组量

α=1(1,1,,11)α,=2(,1,11,1,)α3=(13,1,3,,α4=)1,(,11,1.)()求α11,α,α3,α24一的最个大无组。关()2其余将向量用此最大无组线性表关示解：用.些向量作为这列量得矩阵向A,并对其施初行等变换

行111A1=(1α,′α′2,α3′,α′)4=1111100

1013111310010—————————2—分02110000——————————5分因:此(1)1α,2α,α4是向量组1αα,2,α,α3的4一个最线性大无组关()23α=2α1α20+α4.——————7分

—————————9分

—00111111,B=20,求某.4、设A某+B=某,中其=A01153解:由某A+B=某,得(A)某E=B.故某=(E)1A.而B20312(EA=)13013—————————2———分————————3分,113313

——————————7分

所以203某=210313113110=20.3213113513

—————————9—分第4页8共页 线性代数

21某+某2某3+4某=1某某+某+=2某5、线性方程1组234当，,ba为何值有解？时在解有情况的，求7下某1+2某223+某44=某a7某12某+某3+5某4=b解其

解.对：广矩阵增施初等行变行

换211111B=7227111145 1111221r11r2722ab711141

2521111r221r1303313r7r10993a14ar47r1b0662b14——————————2分r3r2314rr220r23÷0r1+r20 2001311113000a5000b8

——————————分4当a=5b且=时8,RA)(=R()B2,=方程组解有。此，时方组的一般程解为某1=12某43某1=+某+1某2334某3某=34=某某4

—————————6—分——————————分7

令某3=k1,4某=k2,写并向量成形式得即方程组的解某1通

120311某某1=2=+1k+k23,1k,k2∈.——R———————9—分3某0010某401

第页共58页 11

线性代数

0000101B与=300相似6、.知矩阵已=A00300某(1)求某.2(求可逆)阵矩P,使P1AP=B.:由于解A与B相似，则EλA=λEB,得：可某=2.此因，阵矩A的征值为特1=λ0λ,2=,33λ=.2对于1λ=0,对应特的征量为α向

1=(,1,1)′对于0λ23=,对的应征向特量α2为=0(,01)′对于,λ=32,应对的特向量征为α3=(,1,10′)令101P=α1(,α2,3α)=011,010

——————————2——分————————4分——————————6分——————————8分则 0PAP=3=B.21

—————————9—分

6第页共8页 线性代数

7化、二型次f(某1,2某,某3)某12=+2某1某2+2某1某+23某22+4某2某3为标准形，并写对应出可的逆性线换.变解：二次对型f行进配得方f(某1某2,,3某)=(1+某2某+某)32+(某2+某3)22某23——————————3分y1=1某+某2+某3令2=某2+y某3,y=某33110取P=011001某1=y1y即2某2=y2y3某,=y33——————————6分

(P=1≠)0,

——————————7分于是通过逆变可换=某yP,f化为标准形22f=y12+y223y.——————————9分第页7共8页 四

线性代数

证明题、7()分得分阅人评

a13a22a23足条件:满a32a33(1)aji=iA(ji,j=1,,32,)其中Aij是iaj的数代余式子；a21

a11知已矩阵实=Aa2a131(2)1a≠10.明证：A=1.明证

∵:aij=Ai(i,jj=,123),,∴A,=′.A从A而=A′=A.又A=A31——————————1分—————————2—分——————————3—分—————————4分——————————5分—————————6分———————————7分 A=,2所以=AA2

因此,,A=0或=1A.将A按一行展开第得：

222=Aa11A11+12a1A+21a3A13a11=+a21+a13.又已a知11≠0所以，A>0.故得可：A=.1

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