数学建模与实验

一、 MATLAB简介

MATLAB是公司于1984年推出的一套数值计算软件，分为总包和若干个工具箱，可以实现数值分析、优化、统计、微分方程数值解、信号处理。具有用法简单、灵活、结构性强、延展性好等优点，逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序中的首选语言工具。

MATLAB的进入与界面

当你在计算机中成功安装了Matlab7.0版本后，在Windows桌面上就会出现图标。双击此图标，就会进入的界面.

MATLAB的界面上共有五个窗口，他们是： 1.命令窗口（Command Window）

在命令窗口中可以直接输入命令行，以实现计算或绘图功能.

2.起始面板（Launch Pad）

该窗口中显示总包和已安装的工具箱的帮助、演示、GUI工具和产品主页4个方面的内容。若要查看相关内容，只需双击对应目录即可.

3.工作空间（Workspace）

该窗口中显示当前的内存中使用变量的信息，包括变量名、变量数组大小、变量字节大小和变量类型.

4.命令历史（Command History）

该窗口显示所有执行过的命令，可以查看和调用曾经执行过的命令

5.当前目录（Current Directory）

该工作窗口显示当前工作目录下所有文件的文件名、文件类型和最后修改时间.可以在该窗口上的小窗口中修改工作目录.

MATLAB的运行方式

MATLAB提供了两种运行方式：命令行方式和M文件方式

命令行运行方式通过直接在命令窗口中输入命令行来实现计算或作图功能，但这种方式在处理比较复杂的问题和大量数据时相当困难

而M文件运行方式则是在一个以m为扩展名的M文件中输入一系列数据和命令，是一种程序化编程语言.

M文件有两种，一种为脚本式(Script)，一种为函数式(Function)，它们各有特点。

二、变量与函数

1． 变量

MATLAB中变量的命名规则是：

（1）变量名必须是不含空格的单个词； （2）变量名区分大小写；

（3）变量名最多不超过19个字符；

（4）变量名必须以字母打头，之后可以是任意字母、数字或下划线，变量

名中不允许使用标点符号.

除了上述命名规则，MATLAB还有几个特殊变量，见表表９－１

表９－１

特殊变量 取 值 用于结果的缺省变量名 圆周率 计算机的最小数，和1相加时产生一个比1大的数 浮点运算数 无穷大，如1/0 不定量，如0/0 i=j=1 所用函数的输入变量数目 所用函数的输出变量数目 最小可用正实数 最大可用正实数

ans pi eps flops inf NaN i，j nargin nargout realmin realmax ２．数算符号及标点符号

+ — * .* / ./ ^ .^ \\ 加法运算，适用于两个数或两个同阶矩阵相加. 减法运算 乘法运算 点乘运算 除法运算 点除运算 乘幂运算 点乘幂运算 反斜杠表示左除. （1）MATLAB的每条命令后，若为逗号或无标点符号， 则显示命令的结果；若命令后为分号，则禁止显示结果.

（2）“%” 后面所有文字为注释. （3） “...”表示续行.

3. 数学函数

函 数 sin(x) cos(x) tan(x) abs(x) min(x) sqrt(x) log(x) sign(x) 名 称 正弦函数 余弦函数 正切函数 绝对值 最小值 开平方 自然对数 符号函数 函 数 asin(x) acos(x) atan(x) max(x) sum(x) exp(x) Log10(x) fix(x) 名 称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 最大值 元素的总和 以e为底的指数 以10为底的对数 取整

三、用MATLAB做函数运算

１． 求函数极限

中计算一元函数极限的命令是，它的使用方法有； limit(f) 求limfx

x0limit(f,x,a) 求limfx

xalimit(f,x,a,’left’) 求limfx

xalimit(f,x,a,’right’) 求limfx

xalimit(f,x,a,inf,’left’) 求limfx

xlimit(f,x,a,inf,’right’) 求limfx

x在此我们需要先运用符号函数，syms把它定义会变量． 例 求下列函数的极限 （1）limsinxxx0x （1）lim1

nnn解 （1） 我们在MATLAB命令窗口输入 >>syms x

>> limit(sin(x)/x,x,0)

ans = 1

(2) >>syms n x

>> limit((1+x/n)^n,n,inf)

ans= exp(x)

２． 求函数导数 在MATLAB中，计算一元函数的导数是很方便的，其命令为diff(f,x)，表示对x求函数fx的导数．该命令常用格式有以下几种：

diff(f)或diff(f,x) 求

ddxfx

diff(f，2)或diff(f,x,2) 求

ddx22fx

diff(f,n)或diff(f,x,n) 求例 求下列函数的导数：

ddxnnfx

（1） 求sinx的导数 （2） 求excosx的二阶导数 解 （1）>>syms x >>diff(sin(x))

ans=cos(x)

(2)>>syms x

>>y=exp(x)*cos(x); >>diff(y,2)

Ans= (-2)*exp(x)*sin(x)

３． 求函数的极值与最值

在MATLAB中，用fminbnd函数求单变量函数fx的最小值点，其调用格式为： x=fminbnd(‘fun’,a,b) 返回函数fun在a,b中的最小值点

因为fx的最大值等于fx的最小值，所以也可用来求最大值．对于函数的极值而言，先画出函数图像，借助于图像估计极值点所在的区间，在用fminbnd 例 求函数fxx3x15x 在6,8上的最小值

32解 >>syms a b

>>a=fminbnd('x^3+3*x^2-15*x',-6,8)

４．求积分运算 在MATLAB中，主要用命令int,

int(f) 相对于缺省的变量求不定积分 int(f,’s’) 相对于符号变量s求不定积分 int(f,x,a,b) 对fx在区间a,b上求定积分

int(f,x,a,inf) 对fx在区间a,上求定积分 例 求下列积分

（1）sin(s2x)dx （2）

2125xxedx （3）1x41dx

解 （1）>>syms s x

>>int(sin(s+2*x)) %积分变量为x

ans=

-1/2*cos(s+2*x)

注意：>> int(sin(s+2*x),s) %积分变量为s (2)>>int(x^2*exp(5*x),x,-1,2) Ans=

362/125*exp(20)-442/125*exp(-20) 若想得到数值解，可用vpa命令 (3)>>int(1/x^4,x,1,inf) Ans=

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５． 多元函数极限，偏导数，二重积分 在MATLAB中，求二元函数极 Limit(limit(f,x,a),y,b) 计算

x,ya,blimfx,y

diff(f,x,n) 计算f关于x的n阶偏导数 diff(f,y,n) 计算f关于y的n阶偏导数 diff(diff(f,x),y) 计算偏导数

int(int(f,x,a,b),y,c,d) 计算重积分dyfx,ydx

cadb例 求

x,y0,0limxyxy11

解 >>syms x y f >>f=’x*y/(sqrt(x*y+1-1)’; >>limit(limit(f,x,0),y,0) Ans= 2

例 已知zsinxy解 syms x y z

>>z=’sin(x*y^2)’;diff(z,x) Ans=cos(x*y^2)*y^2 >>diff(z,x,2)

Ans=-sin(x*y^2)*y^4 >>diff(diff(z,x),y)

2 求

Ans=-2*sin(x*y^2)*x*y^3+2*cos(x*y^2)*y 例 计算重积分ax2200xy2dydx

解 >>syms x y a

>>int(int(x^2+y^2,y,0,x^2),x,0,a) Ans=

1/5*a^5+1?21*a^7

练习

x1． 求极限lime1

x0x２．求导数ycos2xx

２．计算下列积分13x99dx 11x2dx