二次函数压轴题专项训练

一、 动态：动点、动线

1．如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

y (2)点P是线段AB上的动点，过点P作 PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE C 的面积最大时，求点P的坐标；

E (3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三

B A x O P 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的

点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．

2

（1）求点N的运动速度；

（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？

（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．

13．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，直线y=-2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二

次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．

（1）求B，C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题

二、比例比值取值范围

4．图9是二次函数y(xm)2k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB5SMAB,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明4理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线yxb(b1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

三、探究型（存在性）

5. 如图，直线y3x3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

A O C y B x 6．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，

OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如

6果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予

5证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

A y C P N M O B x 7．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．

（1）求m的值及点B的坐标； （2）求△ABC的面积；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标． ．

118．（2015届山东省日照市中考一模）如图，抛物线y=2x2+mx+n与直线y=-2x+3交于A，B两点，交x轴与

D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

79．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，对称轴为直线x=−2的抛物线经过点A（-6，0）和点B（0，

4）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

四、最值类

10、如图11，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，

B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四 边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在 请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

11．（10分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

//

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=22DQ，求点F的坐标． 12.如图，抛物线y=

12

x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． 2⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

1y(x27x6)第6题图

213．如图，已知抛物线的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），

与y轴相交于点C．

2ya(xh)k（a0），并指出顶点M的坐标； （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

14、如图，已知c＜0，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x2＞x1），与y轴交于点C．

（1）若x2=1，BC=5，求函数y=x2+bx+c的最小值；

OA2OM（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若，求抛物线y=x2+bx+c

顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．