第十二章-无穷级数(整理解答)

一. 常数级数的审敛，常数级数的性质

收敛：

12.3下列级数中收敛的是( )； A．

n1n1n B．n1

n1n11nC． D．1n

2n1n13n2111解：n1n，所以n1n2n12(n1)n1n1n发散；

1111发散，因为发散，所以发散，因此选C。 nn12n1n1n112.7 下列级数中收敛的是( ) A.

n11002n11n B. C.n(|q|1) D.n 2n1n1qn13n13n1解：

1n11n1，发散；lim发散；|q|1时，，n3n12n13n132n12n1n1n1n1n1100210022limn，n(|q|1)发散；limnn1，n收敛，所以选D。 nqn33n13n1q12.11 下列级数中收敛的是( )；

1n211A． B．n C．ln(1) D．1n

3nn12n1n12n1n111(n1)2ln(1)2n11n11n1，lim221，n收敛；lim解：lim2n1，发散；

nnn11n22n12n1n12nn2n11ln(1)11发散；发散，发散。所以选B。 n3nn1n1n112.15 下列正项级数中收敛的是( )；

n2nn1A． B．n C．ln(1) D．

nn1n(n1)n12n1n12n1nn1n1n1n1解：lim发散；lim，收敛；，ln(1)发散；nnnn2n1222n12n2n1n1n12n12n(n2)(n1)发散。所以选B。 lim21；n2nn1n(n1)n(n1)12.45 已知级数

un1na，则级数(unun1)的和s

n1解：因为

un1na，所以(unun1)unun1a(au1)u1，填u1。

n1n1n1

绝对收敛：

12.13 下列级数中满足绝对收敛的是( )； A．(1)n1n12nn1n1nnn B． (1)sin C．(1)n D．(1)n(n1)2n1n3n1n1n12nn1nnn解：、sin、发散，n收敛，所以(1)n绝对收敛，选

nn1n(n1)3n1n12n1n1n13C。

12.17 下列级数中绝对收敛的是( ) (A)

n1(1)n (B) n1(1)n n1nn1(1)n1(C)  (D)

n1ln(n1)解：因为由正项级数审敛法，

(1)n nn1n11111、、都发散，而收

nln(n1)n1n1n1n1nn1(1)n敛，所以绝对收敛，选B。

nn1n112.21 下列级数中满足绝对收敛的是( )；

n1nn1nnA． (1) B．(1)sin C．(1) D．(1)n n1n2nn1n1n1n1n解：选D。

12.19 下列级数中条件收敛的是( )

(A)

(1)n1n11 (B) n(1)n1n1 2nn(C) (1) (D)

n1n1n(1)nn11 n(n1)解：作为交错级数

(1)n1n11收敛，但不绝对收敛，因此，选A。 n12.23 下列级数中满足条件收敛的是( )；

nn11nnn1(1)A．(1) B．(1) C． D． (1)2n2n1n3n1n1n1nn1nnn11nn(1)解：(1)不收敛，(1)、绝对收敛，因此，选D。 2n2n1n3n1n1n1n

发散：

12.2 下列级数级数中发散的是( ).

1(A) (1cos) (B)

nn1(n!)2(C)  (D)

n1(2n)!2nsinn11 3n1n 2n11n解：观察易知

1n发散，选取D。 21nn112.10 下列级数中发散的是( ).

1(A) (1cos) (B)

nn1(n!)2(C)  (D)

(2n)!n12nsinn11 n3n11 n解：观察易知

n11发散，选取D。 n12.5下列级数中发散的是( )

A.n11(1)n B.n(|q|1) C.n1 D.ln(1n)

n(n1)n13n1n1q(1)n解：观察易知

ln(1n)发散，选取D。

n1

性质： 12.1 若级数

un1n收敛，则下列级数不收敛的是( )．

(A)

2un1n (B)

(2u) (C) 2unn1n1nn (D)

un2n

解：由收敛性质易知

(2u)不收敛，所以选B。

n112.9 若级数un收敛，则下列级数不收敛的是( )．

n1(A)

10un1n (B)

(10u) (C) 10unn1n1nn (D)

n10un

解：由收敛性质易知

(10u)不收敛，所以选B。

n112.20 若级数

un1n收敛，则下列级数中发散的是( ).

(A)

10un1n (B)

un1n10

(C) 10un1n (D)

(10u)

nn1解：由收敛性质易知

(10u)不收敛，所以选D。

nn112.4 如果级数A．必收敛

un1n条件收敛，则

|un1n| ( ).

D. 无法判断

B. 必发散 C. 不一定收敛

n解：由定义，

un1n条件收敛，则

|un1|必发散。所以选B。

12.12 如果级数

un1n收敛，则极限limun( ).

nA．存在 B. 不存在 C. 等于零 D. 无法判断

解：由性质，

un1n收敛，则极限limun0，所以选C。

n12.16 如果任意项级数

un1n绝对收敛，则下列说法正确的是 ( ).

A．

un1n必发散 B.

un1n必收敛 C.

|un1n|必发散 D.

|un1n|不一定收敛

解：由概念，

un1n绝对收敛，则

un1n必收敛，所以选B。

12.18 若级数

un1n收敛，则lim(un1) ( ).

n(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) 1 解：由收敛性质，lim(un1)1，所以选D。

n12.25 级数

un1n的部分和数列{sn}有界是该级数收敛的( )；

(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 非充分非必要条件. 解：级数

un1n的部分和数列{sn}有界是该级数收敛的必要非充分条件，如；

(1)n1n不收

敛，但部分和{sn}有界。所以选B。 12.29 若级数

(1u)收敛，则limunn1nn

解：由收敛必要条件：lim(1un)0，所以填limun1。

nn12.36 若级数

un1n收敛，则lim(unun2013) n2解：由收敛必要条件：limun0，所以填2013。

n12.42 limun0是

nun1nn收敛的 条件.

解：limun0是

nun1收敛的必要条件，所以填“必要”。

绝对收敛、条件收敛还是发散：

12.50 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，并写出你的理由。

(1)n1nnn （1）(1) （2）(1)n （3）

2n12n12n1n1n1n(1)n1nnn1nnn解：lim发散；n收敛，(1)n绝对收敛； ，(1)n2n12n12n1222n1n1n1n1(1)n11收敛，但发散，所以条件收敛。

n12n1n12n112.55 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，并写出你的理由。

2nnnn1（1）(1) （2）(1)n （3）(1) 3n12nn1n1n1n2nnnn1解：(1)发散；(1)n绝对收敛；(1)条件收敛。 3n12nn1n1n1n

二. 幂级数的收敛半径，收敛域，和函数

xn12.30 幂级数的收敛半径为

n1n1xnn1解：lim1，的收敛半径为1，填1。

n1n1nn12.37 幂级数

(1)n1n1xn的收敛半径为 n1nn1xn1解：lim的收敛半径为1，填1。 1，(1)n1nn1nxn12.40 幂级数的收敛半径R nn1n21xn(n1)2n11，解：lim收敛半径R2，所以填2。 nn1n22n1nn2

xn12.22 幂级数(1)的收敛域为( ).

nn1nA．[1,1] B.(1,1] C.[1,1) D. (1,1)

1nn1nxnxn1发散，解：lim的收敛半径为1，又x1时，(1)1，(1)n1nnn1nn1n1nxn1(1)n收敛 ，所以收敛域为(1,1]，故选B。 x1时，(1)nn1nn1nxn12.26 幂级数的收敛域为( )；

nn1(A) (1,1)； (B) [1,1)； (C) (1,1]； (D) [1,1].

1xn(1)nxnn1解：lim收敛，x1时，1，的收敛半径为1，x1，n1nnnn1n1n1nxn1发散，所以收敛域为[1,1)，故选B。 n1nn1nxn12.33 幂级数的收敛域为 。

nn1解：收敛域为[1,1)。

xn12.35 幂级数2的收敛域为 。

n1n解：收敛域为[1,1]。

12.49 幂级数



n1



xn

的收敛域为 。 n

解：收敛域为[1,1)。

n1nx的收敛域，并求和函数。 n112.51 求幂级数

n11，所以收敛半径为1，又x1,1，n，nxn1发散，所以收敛 解：limnnn1域为(1,1)。令s(x)nxn1n1，则

x0s(x)dxnxdxxnn1n10n1x11，两1x边求导得s(x)1，x(1,1)。

(x1)212.57 求幂级数n(n1)xn的收敛域，并求和函数。

n1解：易求得n(n1)x收敛域为(1,1)。令s(x)n1nn(n1)xn1n，两边积分得，并由12.51

的结果有

x0s(x)dxnxn1n1x2nxn1n1x2，两边求导，有 (x1)2x22xS(x)[],1x1. 23(1x)(1x)12.58 求幂级数1n1x的收敛域，并求和函数。

n0n11n11n1x，两边求导，有解：易求得x收敛域为[1,1)。令s(x)n1n0n1n0s(x)xnn0x11，两边积分得s(x)dxln(1x),x[1,1)。

01x1x(1)n1x2n112.52 求幂级数的收敛域，并求和函数。

2n1n11(1)n1x2n1(1)n1x2n12n1解： lim的收敛半径为1，又x1,1，收1，n12n12n1n1n12n1(1)n1x2n1(1)n1x2n1敛，所以，的收敛域为[-1，1]。令s(x)，两边求导得，

2n12n1n1n1s(x)(1)n1n1x2(n1)(1)n1(x2)n1n11，两边积分得 21xs(x)arctanx,x[1,1]

(1)nx2n12.6 在x的和函数是f(x)( )

n!n0A. ex2 B. e C. ex2x2 D.e

x2解：ex(1)nxn(1)nx2nx2e，所以选A。

n!n!n0n0(1)nx2n12.8 在x的和函数是f(x)( )

(2n)!n0A.ex B.ex C.cosx D.sinx

(1)nx2n解：显然为偶函数，所以选C。

(2n)!n012.24 幂级数

nxn1n1的和函数为( ).

A．1x1x B. C. D. 2222(1x)(1x)(1x)(1x)解：令s(x)nxn1n1，则

x0s(x)dxnxdxxnn1n10n1x11，两边求导得1xs(x)1，所以选B。 2(x1)12.65求幂级数

n(x1)n1nn的和函数。

解：令s(x)n(x1)n1，则

s(x)n(x1)(x1)n(x1)n1nn1n1x1,|x1|1 2(x2)即s(x)

x1,0x2。 2(x2)三. 函数展开成幂级数

12.32 将f(x)1展开成x1的幂级数的展开式为 。 x11(1)n(x1)n,0x2，所以填 解：f(x)x1(x1)n0(1)n0n(x1)n,0x2

12.34 将f(x)1展开成x的幂级数的展开式为 。 x21111(1)nnnxn(1)()n1x,x(2,2) 解：f(x)xx2212n02n02212.38 函数f(x)1展开成x的幂级数的形式为 2x1111xnxn解：f(x)nn1,x(2,2)

x2x212n02n022x312.39 函数f(x)e展开成x的幂级数的形式为

xxxn33解：f(x)en,x(,)

n!n0n03n!12.56 将函数f(x)a展成x的幂级数，并给出其收敛域. 解：f(x)aexxlna(xlna)nlnnanx,x(,)

n!n0n0n!nx12.60 将函数f(x)1展开成(x3)的幂级数，并给出其收敛域. xn111n(x3)(1),(0x6) 解：f(x)x31x3n03n1312.62 函数

f(x)1展开成x1的幂级数，并给出其收敛域. 2xn111n(x1)解：f(x)(1),x(0,6) n1x12x313n0312.66 将函数f(x)解：

x展开成x的幂级数

x23x2f(x)x1211x23x21x2x1x1x2

xn2n1nnxnnx,x(1,1)n0n02n02

四. 傅里叶级数的收敛

12.14 函数f(x)以2为周期，它在[,)上的表达式为f(x)1,x0，则

1,0xf(x)的傅里叶级数在x处收敛于 ( ).

A．0 解：

B. 1 C. 1 D. 2

f()f()110，所以选A。

2212.31 函数f(x)以2为周期，它在[,)上的表达式为f(x)x,x0，则

0,0xf(x)的傅里叶级数在x处收敛于 解：

f()f()000，所以填0。

2212.43 函数f(x)以2为周期，它在(,]上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数在x处收敛于 解：

f()f()02，所以填。

2212.44 函数f(x)以2为周期，它在[,)上的表达式为则f(x)的傅里叶级数在x处收敛于 . 解：填0。

2,x0f(x)，

2,0xx01,12.46 函数f(x)，则f(x)以2为周期的傅里叶级数在点x21x,0x处收敛于 ； 解：填

22。

五. 傅里叶系数与傅里叶展开

12.47 函数f(x)xx(x)的傅里叶级数展开式中的系数b3

2 。 解：b31(xx2)sin3xdx22，所以填。 3312.53 设f(x)是以2为周期的周期函数，它在[-,)上的表示式为

1,x0 f(x)

1,0x将f(x)展开成傅里叶级数。

解：f(x)411sinxsin3xsin(2k1)x 32k1 (x;x0,,2, ）

12. 设f(x)是以2为周期的周期函数，它在[-,)上的表示式为

0,x0 f(x)

1,0x将f(x)展开成傅里叶级数。

解：f(x)1211sinxsin3xsin(2k1)x 232k1 (x;x0,,2, ）