三角函数知识点整理

1.

角的有关概念

(1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。 (2)正角、负角和零角

按逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；

当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角. (3)象限角

在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角

的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限.

(4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 分别指第一、二、三、四象限角的半角范围； (5)终边相同的角

与角终边相同的角所组成的集合:S={2k,kz}

2.

角度制与弧度制 设扇形的弧长为la

，圆心角为（rad）,半径为R，面积为S

2π×(a/360°) ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1rad=180°/π=57°18′≈57.3° 角a的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形的面积公式 3.

任意角的三角函数

laR 1SlR 222rxy0（raa三角函数（6个）表示：为任意角，角的终边上任意点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为

＞0,当点P在单位圆上时，r=1）

那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是： sina4.

xryxyr，cosa，tana ，cota，seca，csca.

yyrrxx同角三角函数关系式

③ 倒数关系： tanacota1 ②商数关系：tana③平方关系：sinacosa1

22sinacosa， cota cosasina

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三角函数知识点

5.

三角函数符号规律

sin

6. 7.

costan l特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角比的值

诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性 公式 三角函数 sin cos tan 诱导公式一 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 诱导公式五 sin(k2)sin cos(k2)cos tan(k2)tan sin()sin cos()cos sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos 诱导公式六 注：

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三角函数知识点

8. 两角和与差的三角函数： （1） 两角和与差公式：

sin()sincoscossin, sin()sincoscossincos()coscossinsin, cos()coscossinsin tan()tantantantan, tan() 1tantan 1tantan（2） 二倍角公式：

sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2升幂公式tan22tan1tan2sin21cos21cos22sin22 (降幂公式）21cos21cos22coscos22（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：

sina1cosasina1cosaa1cosaa1cosa，cos ，tan 2221cosa1cosasina22（4）辅助角公式

（5）三角函数的积化和差

，可得：

（6）三角函数的和差化积公式

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三角函数知识点

9.三角函数的图像和性质：（其中kz） 三角函数 图象 ysinx ycosx ytanx 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性 [2k R [-1,1] R [-1,1] xkR  2T2 奇 2,2kT2 偶 [(2k1),2k] 单调递增 [(2k,(2k1)] 单调递减 (kT 奇 2 ]2单调递增 [2k,k )22,2k3 ]2单调递增 单调递减 对称性 xk 2（对称轴）xk （对称轴）((k,0)零值点 最值点 （对称中心）(k,0) 2（对称中心）xkk ,0)2（对称中心）xk xk2 xk 无 2 ,ymax1 x2k，ymax1； x(2k1)，ymin1 xk,y1 min210.函数yAsin(x)的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如yAsin(x)图像及性质） （1） 函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期都是T2

（2） 函数yAtan(x)和yAcot(x)的周期都是T

（3） 五点法作yAsin(x)的简图，设tx，取0、

y值再描点作图。

3、、、2来求相应x的值以及对应的

22X t 0  2 3 232 22  2  Asin(x) 0 A 0 A - 4 -

0 三角函数知识点

（4） ysinx经过变换变为yAsin的步骤： （x）方法1：先平移后伸缩

ysinxysinx纵坐标不变向左或向右ysin（x）平移1横坐标变为原来的倍个单位

纵坐标变为原来的A倍yAsin（x） 横坐标不变方法2：先伸缩后平移

向左或向右ysinxysin（x）平移个单位ysin(x)纵坐标不变横坐标变为原来的1倍

纵坐标变为原来的A倍yAsin（x）横坐标不变（5） 函数的平移变换：

①yf(x)yf(xa)(a0) 将yf(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位 （左加右减）

②yf(x)yf(x)b(b0) 将yf(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位 （上加下减）

函数的伸缩变换：

①yf(x)yf(wx)(w0) 将yf(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

1倍（w1缩短， w0w1伸长）

②yf(x)yAf(x)(A0) 将yf(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A1伸长，

0A1缩短）

函数的对称变换：

① yf(x)yf(x)) 将yf(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x轴对称）

② yf(x)yf(x)将yf(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y轴对称）

③ yf(x)yf(x) 将yf(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局

部翻折）

④ yf(x)yf(x)保留yf(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）

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三角函数知识点

11.正、余弦定理： ①正弦定理： 在ABC中有:

abc2R（R为ABC外接圆半径） sinAsinBsinCasinA2Ra2RsinAb b2RsinB  sinB2Rc2RsinCcsinC2R111面积公式：SABCabssinCacsinBbcsinA

222②余弦定理： 在三角形ABC中有:

b2c2a2

cosA2222bcabc2bccosA

2a2c2b222 bac2accosB  cosB

2acc2a2b22abcosCa2b2c2

cosC

2ab

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三角函数知识点

5.三角变换：

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形 （2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：

asinbcosa2b2sin()其中cosaab22,sinbab22

（3） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”。 （4） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：1cosa常用升幂化为有理式。

（5） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

（6） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或

求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。

（7） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法

（8） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的

方法去解题目。

（9） 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sinacosa ，sinacosa sinacosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：

①yasinxb（或acosxb)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②yasinxbcosx型：引进辅助角化成y2a2b2sin(x)再利用有界性

③yasinxbsinxc型：配方后求二次函数的最值，应注意sinx1的约束 ④yasinxb型：反解出sinx，化归为sinx1解决

csinxd⑥ya(sinxcosx)bsinxcosxc型：常用到换元法：tsinxcosx，但须注意t的取值范围：

t2。

（3）三角形中常用的关系：

sinAsin(BC)， cosAcos(BC)， sinsin2Asin2(BC)， cos2Acos2(BC)

ABC， cos22

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三角函数知识点

三角函数值域总结： 注意：定义域的取值

1、应用提斜公式，形如yasinbcosc可直接用公式。

22yasinxbsinxcosxccosxd，逆用倍角公 式化成提斜的形式。 形如

形如yasinxbcos(x)或yasinxcos(x)的的函数（式中也可以是同名函数），先 、 用和差化积公式展开，化归为例1、例2的形式求最值. 形如y

2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，然后配方

3、“1”的妙用，形如sinxcosx sinx•cosx 在关系式中时，可以应用换元处理，令t=sinxcosx，则

asinxb的函数可将y看作参数，利用提斜公式。

ccosxdt2-1 sinx•cosx = 把三角问题化为代数为题来处理。

24.形如yasinxb的函数用分离变量法分离常数，利用sinx的有界性求解.

csinxdasinxbccosxd的函数可将y看作参数，化归为例1的形式求解

5、形如

y6、求同时含有sinxcosx与sinxcosx（或sinxcosx）的函数的值域，一般令sinxcosxt(或sinxcosxt)

2可以化归为求yatbtc在区间上的值域，要注意t的取值范围.

2ycosxasinxb(a0)的定义域为0,2，值域为4,0，求常数a,b. 例：函数

2ycosxasinxb1sin2xasinxb 解;

aa2sinxb1,24

aa2令tsinx1,1,则ytb1,t1,124 i)若a2,则当t1时,y取最大值0,即ba0(1)而当t1时,y取最小值4,即ba4(2).联立(1)(2)解得a2,b2

22aa2ii)若0a2,则当t时,y取最大值0,即b10(3),而当t1时,y取最小值4,即ba4(4).24 联立(3)(4),解得a2或a6,经检验,都不合题意,舍去.综上所述,a2,b2

1、求ysinx2sinxcosx3cosx的最小值，并求使y取最小值时x的集合.

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22三角函数知识点

2、求y2sinx(sinxcosx)的值域。 3、求ysin2xcos(2x)1的值域.

4、若函数y2sinxacosx4的最大值为1，则a=

5、函数的y(acosxbsinx)cosx有最大值2，最小值-1，求实数a,b的值。

6、若函数y2asin2xacos2xab的定义域为0,，值域为5,1，求常数a,b的值。

232sin的最大值和最小值.

2cos8、求函数y2cos2x5sinx4的值域；

7、求函数y29、求函数ysin2x2cosx,x,的值域。

3310、函数y(sinx1)(cosx1)(x)的最小值是 6211、求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值。

12、函数y2asin2x22asinxab的定义域为0,，值域为5,1，求常数a,b的值。

213、函数f(x)1cos2xasincos(aR)的最大值为3，求a的值。

12x2x2三角函数的单调性的基本方法：

函数yAsin(x)k的单调区间的确定 1、首先要看A、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导 公式化为正

2、然后将ωx+φ看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在2k2k2x2k2,kz和

2x2k3,kz2两个区间内分别确定函数的单调增减区间。

例题：

1、求函数ysin(31x)在区间[-2π，2π]的单调增区间。 2解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（yAsin(x),A0,0）的形式：

ysin(311x)sin(x)223

⑵把标准函数转化为最简函数（yAsinx）的形式：

1x23，原函数变为

令

z1ysin(x)sinz 23的单调性：

⑶讨论最简函数从函数

ysinzysinz的图像可以看出，

ysinz的单调增区间为

[2k2,2k3]K。

，2

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三角函数知识点

所以2K3z2K，K 22213x2K， 232即2KK

∴4K511x4K， 33K

⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：

511x 当k=0时，33当k=1时，

2223x 3371x 33⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间： 因为x[2,2]，所以该函数的单调增区间为

当k=-1时，152x和x2

33 （Ｄ）

（二）解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理 和余弦定理等求解。 三基定理：（正。余 。面积）

3,32 abc2R,A、正弦定理：sinAsinBsinC其中R是三角形外接圆半径.

B、余弦定理：

a2b2c22bccosAb2a2c22accosB cab2abcosC

222b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA,cosB,cosC.2ab2ac2ab 由此可得：.（做题出现余弦，角换边）

SC、三角形面积公式：（1）

ABC111absinCbcsinAacsinB.222（此为常用公式）

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三角函数知识点

S （2）

ABCssasbscsrabc,4R

s 其中，

abc2，r为内切圆半径，R为外接圆半径.

D、在三角形中大边对大角，反之亦然.（用来判定三角形是否成立，去根） 1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 2）大边对大角，即 a>b ∠A>∠B

E、射影定理（了解）：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA. F、有关三角形内角的几个常用公式

sinABsinC;cosABcosC;tanABtanCsin

ABCABCcos,cossin.2222（当常用A+B+C=PAI）

G、解三角形常见的四种类型

应用余弦定理：1、已知两边b,c与其夹角A，由abc2bccosA，求出a，再由余弦定理，

222 求出角B,C。

、B、C。 2、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出Aabc 应用正弦定理： 3、已知两角A,B与一边a：由ABC180及正弦定理sinAsinBsinB，

可求出C，再求b,c。

ab 4、已知两边a,b及其中一边的对角A，由正弦定理sinAsinB，求出另一边b的 acC180AB 对角B，由，求出C，再由sinAsinC求出c，而通过 ab sinAsinB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

A90° 一解 无解 A90° 一解 无解 无解 A90° 一解 一解 ab ab absinA 两解 一解 无解 ab 无解 absinA absinA - 11 -

三角函数知识点

H、对于三角形的分类或三角形形状判断，主要从边或角两方面入手。

1、大题第一问，求边，或者边之间的关系，求角或者角或之间的关系。利用正余弦定理，正弦定理和余弦定理是相通的，用正弦定理可解的题，用余弦定理也可解，主要是看怎样解题更简单.如果求边，首先余弦定理。如果求关于角，首选正弦定理。

2、第二问求函数的最值，单调区间，或者三角形的面积等问题。 1.注意利用第一步得到的结合。 2、求最值注意定义域。

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