数列基础知识点和方法归纳

定义：an1and（d为常数），ana1n1d，

推论公式：

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy,

等差数列前n项和：Sna1annna2nn1d 12性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等 （2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列，公差为n2d； （3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad； （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m1； bmT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，

an0a0，d0即：当1，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.

an10an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值.

an10 (6)项数为偶数2n的等差数列an，有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项) S偶S奇nd，

S奇S偶an. an1，

有S2n1(2n1)an(an为中间项),

（7）项数为奇数2n1的等差数列an S奇S偶an， .

S奇S偶n n1

2. 等比数列的定义与性质

定义：

an1q（q为常数，q0），ana1qn1.推论公式：an

2Gxy，或Gxy等比中项：x、G、y成等比数列

.等比数列中奇数项同号，偶数项同号

等比数列前n项和公式： 性质：an是等比数列

·anap·aq(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。 （1）若mnpq，则am

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列,公比为qn。 . （3）an是正项等比数列，则 注意：由Sn求an时应注意什么？

n1时，a1S1；

n2时，anSnSn1.

3.求数列通项公式的常用方法

（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）

s1(n1)Sn与n的关系sn与an的关系时求an已知a（2）或，。 nss(n2)

nn1例： 数列的前项和．求数列的通项公式;

解：当时

，

当时

数列的通项公式为．

练习：设数列的前项和为，且．求数列

的通项公式。

（3）求差（商）法

111例：数列an，a12a2……nan2n5，求an

2221 解：n1 时，a1215，∴a114

2111 ① a12a2……nan2n522 2 111时， n2aa……an12n15 ② 122222n1① —②得：

练习：在数列(4)累乘法

形如

中，

14(n1)1n1a，∴，∴ a2a2n1nnnn22(n2)，

, 求数列

的通项公式。

的递推式

a，n1f(n) an由

an1aaf(n)，则2f(1)，3f(2)，ana1a2nan1a1f(k) 两边分别相乘得，a1k1

an 例：数列an中，a13，n1，求an

ann1 解

aa2a312n13a1·……n·……，∴n又a13，∴ana1a2an123nn. a1n练习：已知（5）累加法

形如

的递推式。

, 求数列

的通项公式。

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)∴ana0f(2)f(3)……f(n) 例：已知数列 （2）求数列

满足

的通项公式

,

a2a1f(2) 练习：已知数列

（6）构造法

中， ，（）．求数列的通项公式；

形如ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）的递推式。 可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x 令(c1)xd，∴xddd，∴an，c为公比的等比数列 是首项为a1c1c1c1∴an例：已知数列ddn1dn1da1·caac，∴n1c1c1c1c1 ，.求数列的通项公式； 满足 解：（1），， 而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，

，因此．

练习1：

，求数列an的通项公式。

练习2：已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。 （7）倒数法 例：a11，an12an，求an an2由已知得：

a2111111n，∴ an12an2anan1an21111121·n1， ∴an∴为等差数列，1，公差为，∴1n1an222n1 a1an练习：已知数列

的首项，

。

总结：公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an1panq或

an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法。

4. 求数列前n项和的常用方法

（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和

等差数列前n项和：Sna1annna2nn1d 12等比数列前n项和公式：

常见公式：

（2）错位相减法 给

,

两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应

项互相抵消，最后得出前n项的和.一般适用于an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.

例：Sn12x3x24x3……nxn1

①

②

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn ① —②1xSn1xx2……xn1nxn

x1 时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……n是等比数列，且

，

nn1 2，

．

练习：已知数列

（1）求数列（2）数列

是等差数列，

和满足

的通项公式

，求数列

的前项和

．

(2) 裂项法

把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。 常见形式：①若an是公差为d的等差数列，则

② ③

④ ⑤

1

k1akak1n如：an是公差为d的等差数列，求解：由

n11111d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111∴…… ak1da1a2a2a3k1akak1k1dakanan1111 da1an1的前n项和

，

练习：已知数列

①求数列的通项公式； ②求数列的前n项和。

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［练习］已知f(x)，则

1x2111f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

2341x2x21x1由f(x)f12222x1x1x1x11x

2∴原式f(1)f(2)（3）分组求和法

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个

等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于an为等差数列，bn为等比数列，求数列

前n项和。

练习：已知数列an为等差数列，公差为d，bn为等比数列，公比为q，且d=q=2，

,

求

的通项公式， ②

七夕，只因有你， 总有一些人牵肠挂肚难以忘记， 总有一些日子温暖甜蜜最为珍惜 从春夏到秋冬，从陌生到熟悉， 虽不能时时联系，却总在特别的日子想起你， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 因为有你，再苦生活也不觉得累， 再大的险阻也无所畏， 再大的波折也不担忧， 再痛的经历也会忘记， 因为有你，我就拥有了整个世界， 谢谢你出现在我的生命里。 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 相识，是最珍贵的缘分， 牵挂，是最真挚的心动， 思念，是最美丽的心情， 问候，是最动听的语言， 在这七夕到来之际，最美的祝福送给你， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 雨点轻敲窗，风吹散了梦想， 唯有你的模样依旧在脑海里徜徉， 夜深人静时，你占满了心房， 舍半生轻狂，半世时光， 只为拥有一段和你相处的珍贵情缘， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 虽然相距很远，但两颗心却紧紧相连 虽然不常见面，音容笑貌犹如眼前， 悄悄的挟一缕情丝，放飞在炎炎夏日 默默的拽一丝牵挂，悬挂在无垠宇宙 静静的捎一声问候，盛开在七夕佳节 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 祝福，是一种真实的心意， 是一种甘甜的快乐， 是一种浪漫的味道， 是一种温馨的记忆， 是一种美丽的幸福， 更是我们情谊永远不变的纽带， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 爱是种体会，即使心碎也觉得甜蜜， 爱是种感受，即使痛苦也觉得幸福， 爱是种缘分，即使分离也觉得快乐， 七夕到了，最真诚的祝福送给你， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 愿天下有情人终成眷属， 愿单身人士找到爱的方向， 愿情侣们找到幸福的天堂， 愿夫妻找到温暖的避风巷， 愿岁月抚平生活的忧伤，愿爱的花瓣轻舞飞扬， ①