第二十六讲 平移轴对称旋转(2013-2014中考数学复习专题)

第二十六讲 平移、旋转与对称

【基础知识回顾】

一、 轴对称与轴对称图形：

1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形 那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫

2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形

3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形

⑵对应点连接被对称轴

【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是

指 个具有特殊形状的图形；2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】

二、图形的平移与旋转：

1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个 移动一定的 这样的图形运动称为平移

⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形

Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且

【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】

2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角

⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形

Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都 ，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都

【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，

2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】

三、中心对称与中心对称图形：

1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做

2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做

3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分

【名师提醒：1、中心对称是指 个图形的位置关系，而中心对称图形是

指 个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称

有 、 、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等

3、所有的正n边形都是 对称图形，且有 条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是 对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】

【典型例题解析】

考点一：轴对称图形

例1 （2013•株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（ ）

A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

思路分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．

解：A、等边三角形有3条对称轴；

B、矩形有2条对称轴；

C、菱形有2条对称轴；

D、正方形有4条对称轴；

故选D．

点评：本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．

例2 （2013•遵义）已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则ab

的值为 ．

思路分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+b=-3，1-b=-1，再解方程可得a、b的值，进而算出ab的值．

解：∵点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），

∴a+b=-3，1-b=-1，

解得：b=2，a=-5，

ab=25，

故答案为：25．

点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

例3 （2013•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-4，5），C（-5，2）．

（1）作△ABC关于直线l：x=-1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；

（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

思路分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可．

解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）A1（0，1），B1（2，5），C1（3，2）．

点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

对应训练

1．（2013•山西）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ）

A．1条 B．2条 C．4条 D．

1．C

2．（2013•铜仁地区）点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是 ．

2．（2，1）

3．（2013•郴州）在图示的方格纸中

（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；

（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？

3．解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．

考点二：中心对称图形

例4 （2013•永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

思路分析：先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．

解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；

B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；

C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；

D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；

故选B．

点评：本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

例5 （2013•深圳）在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（ ）

A．33 B．-33 C．-7 D．7

思路分析：先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a与b的值，再代入计算即可．

解：∵点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，

∴a=-13，b=20，

∴a+b=-13+20=7．

故选D．

点评：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

对应训练

4．（2013•营口）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．A

5．（2013•常州）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是 ，点P关于原点O的对称点P2的坐标是 ． 5．（-3，2），（-3，-2） 考点三：最短路线问题

例6 （2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 ．

思路分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，先求出BC和BE长，代入求出即可．

解：连接CE，交AD于M，

∵沿AD折叠C和E重合，

∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，

∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，

∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，

∵∠DEA=90°，

∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， 32333∴BE=，BD=， 233即BC=1+， ∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠CAB=30°， 2433∴AB=2BC=2×（1+3）=2+3， AC=3BC=3+2， 4133333∴BE=AB-AE=2+-（+2）=， 213333∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+3， 故答案为：1+3． 点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．

对应训练

6．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．

6．10

考点四：平移

例7 （2013•绵阳）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是 ．

思路分析：先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．

解：∵左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），

∴右眼的坐标为（0，3），

向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）． 故答案为：（3，3）． 点评：本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变． 例8 （2013•宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为 ． 思路分析：设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可得解． 1解：设点A到BC的距离为h，则S△ABC=2BC•h=5， ∵平移的距离是BC的长的2倍， ∴AD=2BC，CE=BC， 111∴四边形ACED的面积=2（AD+CE）•h=2（2BC+BC）•h=3×2BC•h=3×5=15． 故答案为：15．

点评：本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质．

对应训练

7．（2013•贵阳）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）

A．40° B．50° C．90° D．130°

7．B

8．（2013•陕西）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，1）、B（1，3），将线段AB通过平移后得到线段A′B′，若点A的对应点为A′（3，2），则点B的对应点B′的坐标是 ．

8．（6，4）

考点五：旋转的性质

例9 （2013•南京）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．

思路分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．

解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，

∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，

∵∠1=∠2=110°，

∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°，

∴∠4=90°-70°=20°，

∴∠α=20°．

故答案为20°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．

例10 （2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

思路分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；

（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；

（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．

解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，

∴AE=AF；

由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中

ABACFABEACAFAE，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：

①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．

②当点E的像E′与点N重合时，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°-2×72°=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．

所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．

对应训练

9．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．

9．1.6

10．（2013•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

10．证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中

BCACBCDACECDCE，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，

∴∠BAE=45°+45°=90°，

∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=AD•AB，

而BC=AC，

∴AC2=AD•AB，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，

∴四边形ADCE为矩形，

∵CD=CE，

∴四边形ADCE为正方形．

考点六：图形的折叠

例11 （2013•河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．

思路分析：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt

△CEB′中运用勾股定理可计算出x． ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， 22∴AC=43=5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，

∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， 3∴x2+22=（4-x）2，解得x=2， 3∴BE=2； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3． 3综上所述，BE的长为2或3． 3故答案为：2或3． 点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

对应训练

311．（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ． 1511．4 解：过点A作AQ⊥BC于点Q， 3∵AB=AC，BC=8，tanC=2， AQ3∴QC=2，QC=BQ=4， ∴AQ=6，

∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处， 过B′点作B′E⊥BC于点E， 1∴B′E=2AQ=3， BE3∴EC=2， ∴EC=2， 设BD=x，则B′D=x， ∴DE=8-x-2=6-x， ∴x2=（6-x）2+32， 15解得：x=4， 15直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：4． 15故答案为：4． 考点七：简单的图形变换的应用

例12 （2013•眉山）如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中

有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）

（2）作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；

（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）

思路分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的A2、B2的位置，然后顺次连接即可；

（3）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．

解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C如图所示； 22（3）根据勾股定理，BC=1417， 9017172π． 所以，点B旋转到B2所经过的路径的长=180点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 对应训练

12．（2013•绥化）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：

（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；

（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．

12．解：（1）如图所示： 904（2）点C1所经过的路径长为：180=2π． 考点八：几何变换综合题

例13 （2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．

根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF．

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

思路分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；

（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；

解：（1）∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFG和△AEF中

AEAGEAFFAGAFAF，

∴△AFG≌△AEF（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF．

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFG和△AEF中

AEAGEAFFAGAFAF，

∴△AFG≌△AEF（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF．

（3）猜想：DE2=BD2+EC2，

证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，

∴△AEC≌△ABE′，

∴BE′=EC，AE′=AE，

∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，

在Rt△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABC+∠ABE′=90°，

即∠E′BD=90°，

∴E′B2+BD2=E′D2，

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠E′AB+∠BAD=45°，

即∠E′AD=45°，

在△AE′D和△AED中，

AEAEEADDAEADAD，

∴△AE′D≌△AED（SAS），

∴DE=DE′，

∴DE2=BD2+EC2．

点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．

对应训练

13．（2013•义乌）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三32角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（2，0），E（22，0），F（2，2-2）． （1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45°得到△A1B1C1．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系； （2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=22x2+bx+c上，请你求出符合条件的抛物线解析式； （3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．

222213．解：（1）A1（2-2，1+2），B1（2+2，1+2）． A1C和DF的位置关系是平行． （2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF， ∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得： 222(2)2bc0222(22)22bc0， b-12c82。 解得∴y=22x2-12x+82； ②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：

22(2)22bc022(322)2322bc22， 解得b-11c72。 ∴y=22x2-11x+72； ③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得： 22(22)222bc022(322)2322bc22， 解得b-13c102。 ∴y=22x2-13x+102． （3）在旋转过程中，可能有以下情形：

①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示： 12易求得点P坐标为（0，2）； ②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示： 设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2． 易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b， 联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即x2-x-b=0， ∴x1+x2=1，x1x2=-b． 2∵B′C′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=2， 11∴（x1-x2）2=2，即（x1+x2）2-4x1x2=2， 11∴1+4b=2，解得b=-8． 22221∴x2-x+8=0，解得x=4或x=4． 22∵点C′的横坐标较小，∴x=4．

22322当x=4时，y=x2=8， 22322∴P（4，8）； ③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示： 设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2． 易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y=-x+b， 联立y=x2与y=-x+b得：x2=-x+b，即x2+x-b=0， ∴x1+x2=-1，x1x2=-b． 2∵C′A′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=2， 11∴（x1-x2）2=2，即（x1+x2）2-4x1x2=2 11∴1+4b=2，解得b=-8． 22221∴x2+x+8=0，解得x=4或x=4． 22∵点C′的横坐标较大，∴x=4．

22322当x=4时，y=x2=8， 22322∴P（4，8）； ④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上． 因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在； ⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示： 22322与③同理，可求得：P（4，8）； ⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示： 22322与②同理，可求得：P（4，8）． 综上所述，点P的坐标为：

12223222232222322（0，2），（4，8），（4，8），（4，8）． 【聚焦山东中考】

1．（2013•日照）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

1．A

2．（2013•泰安）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）

A．13

B．11

C．10

D．8

2．B

3．（2013•烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（A． B． C． D．

3．B

）

4．（2013•青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．D

5．（2013•潍坊）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

5．A

6．（2013•莱芜）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）

①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．

A．2 B．3 C．4 D．5

6．C

7．（2013•济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

7．C

8．（2013•烟台）如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（6，1） B．（0，1） C．（0，-3） D．（6，-3）

8．B

9．（2013•泰安）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（ ）

A．（1.4，-1） B．（1.5，2） C．（1.6，1） D．（2.4，1）

9．C

10．（2013•东营）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为（ ）

A．（1，1） B．（2，2） C．（-1，1） D．（-2，2）

10．C

11．（2013•济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）

11．D

12．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）

A．78° B．75° C．60° D．45°

12．B

13．（2013•滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．

其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

13．D 14．（2013•枣庄）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 ． 14．② 15．（2013•莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ． 15．2 16．（2013•聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 ．

16．33 17．（2013•济宁）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为 cm． 517．3 18．（2013•潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a． （1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值； （2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．

18．（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴CD′=CD=2，

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，

∴∠CD′E=30°，

∵CD∥EF，

∴∠α=30°；

（2）证明：∵G为BC中点，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，

∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，

在△GCD′和△DCE′中

CDCDGCDDCECGCE，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′=E′D；

（3）解：能．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴CB=CD，

∵CD=CD′，

∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，

当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，

270当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，α=2=135°， 90当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α=360°-2=315°， 即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等． 19．（2013•临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． PE（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则PF的值为 ； PE（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求PF的值； PE（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，PF的值是否变化？证明你的结论． 19．解：（1）∵矩形ABCD，

∴AB⊥BC，PA=PC； ∵PE⊥AB，BC⊥AB， ∴PE∥BC， ∴∠APE=∠PCF； ∵PF⊥BC，AB⊥BC， ∴PF∥AB， ∴∠PAE=∠CPF． ∵在△APE与△PCF中， PAECPFPAPCAPEPCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）， ∴PE=CF． 3PFPF在Rt△PCF中，CFPF=tan30°=3， PE∴PF=3．

（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN． ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN， 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF， PEPM∴PF=PN． PM由（1）知，PN=3， PE∴PF=3． （3）答：变化． 证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB， ∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN， ∴△APM∽△PCN， PNAP1CNPC2，得CN=2PM． ∴33PNPNPM在Rt△PCN中，CN2PM=tan30°=3，∴PN=2． ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN， 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF， 3PEPM∴PF=PN=2．

PE∴PF的值发生变化． 【备考真题过关】

一、选择题

1．（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

1．C

2．（2013•柳州）如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）

A．形状没有改变，大小没有改变

B．形状没有改变，大小有改变

C．形状有改变，大小没有改变

D．形状有改变，大小有改变

2．A

3．（2013•杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．D

4．（2013•桂林）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．B

5．（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）

A．（3，-2） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（2，-3）

5．A

6．（2013•湘西州）如图，在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（ ）

A．（-2，-3） B．（-2，6） C．（1，3） D．（-2，1）

6．C

7．（2013•遂宁）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ）

A．（-3，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（1，-2）

7．C

8．（2013•红河州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（-1，-2），则点P关于原点对称的点的坐标是（ ）

A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（2，1）

8．C

9．（2013•莆田）如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1

的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A．55° B．70° C．125° D．145°

9．C

10．（2013•凉山州）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

10．C

11．（2013•大连）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（ ）

A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2

C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2

11．B

12．（2013•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE

绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形

12．A

13．（2013•自贡）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（ ）

532C．9- 332D．9- A．9-33 B．9

13．A

14．（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B1的坐标为（3，3），点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）

13A．2 31B．2 319C． 3

D．27

14．B

15．（2013•深圳）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）

A．8或23 B．10或4+23 C．10或23 D．8或4+23

15．D

二、填空题

16．（2013•黔东南州）平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 ．

16．（-2，0）

17．（2013•天水）已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到

点N，则点N的坐标是 ． 17．（-1，1） 18．（2013•随州）如图是一圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的 视图（填“主”，“俯”或“左”）． 18．俯 19．（2013•岳阳）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 m． 19．140 20．（2013•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，3），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是 ．

320．（ 1， 3） 21．（2013•衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．

21．70

22．（2013•广州）如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为 ．

22．8

23．（2013•莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．

23．5

24．（2013•山西）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 ．

1024．3

25．（2013•鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．

9525．5 26．（2013•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10．设AE=x，则x的取值范围是 ．

26．2≤x≤6 27．（2013•安徽）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E，F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断： ①当四边形A′CDF为正方形时，EF=2； ②当EF= 2时，四边形A′CDF为正方形； ③当EF= 5时，四边形BA′CD为等腰梯形； ④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF= 5． 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．

27．①③④

三、解答题

28．（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．

（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

28．解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，-4）；

（2）如图所示，点A2的坐标（-2，4）．

29．（2013•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（-1，5），B（4，2），C（-1，0）三点．

（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 ．

（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．

29．解：（1）∵A（-1，5），

∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，-5）．

∵B（4，2），

∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，-2）．

∵C（-1，0），

∴点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．

故答案分别是：（1，-5），（4，-2），（1，0）． （2）如图， ∵A′（1，-5），B′（4，-2），C′（1，0）． ∴A′C′=|-5-0|=5，B′D=|4-1|=3， 11∴S△A′B′C′=2A′C′•B′D=2×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5． 30．（2013•柳州） 如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（-6，12），B（-6，0），C（0，6），D（-6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°． （1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′； （2）写出点A′，C′，D′的坐标； （3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．

30．解：（1）小旗A′C′D′B′如图所示； （2）点A′（6，0），C′（0，-6），D′（0，0）； （3）∵A（-6，12），B（-6，0）， ∴AB=12， 9012∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积=360=36π． 31．（2013•武汉）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若点A

的对应点A2的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 31．解：（1）如图所示： 3（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（2，-1）； （3）∵PO∥AC，

A2OPO∴A2C=AC， 4PO∴63， ∴OP=2， ∴点P的坐标为（-2，0）． 32．（2013•哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C； （2）请直接写出四边形ABCD的周长． 32．解：（1）如图所示：

（2）四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=5+22+5+32=25+52． 33．（2013•福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是

度； （2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数． 33．解：（1）如图，连接OD，

∵点A的坐标为（-2，0），

∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；

∴△AOC与△BOD关于y轴对称；

∵△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=∠BOD=60°，

∴∠AOD=120°，

∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．

（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，

∴OA=OD，

∵∠AOC=∠BOD=60°，

∴∠DOC=60°，

即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，

∴OE垂直平分AD，

∴∠AEO=90°．

故答案为2；y轴；120．

34．（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

（1）求证：AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

34．（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），

∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，

在△ABM和△AFN中，

FANBAMABAFBF，

∴△ABM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN；

（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．

理由：如图，连接AP，

∵∠α=30°，

∴∠FAN=30°，

∴∠FAB=120°，

∵∠B=60°，

∴AF∥BP，

∴∠F=∠FPC=60°，

∴∠FPC=∠B=60°，

∴AB∥FP，

∴四边形ABPF是平行四边形，

∵AB=AF，

∴平行四边形ABPF是菱形．

35．（2013•萧山区模拟）如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G，BF≠CG．

（1）图中有那几对不全等的相似三角形，请把他们表示出来．

（2）根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究BF、FG、GC之间的关系，并证明．

甲同学：把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，发现：B、C两点重合．

乙同学：把△ABF绕点A旋转，使AB、AC重合，发现：构造出了直角．

35．解：（1）共有3对，

△GAF∽△GAB；

△FAC∽△FGA；

△ABG∽△FAC；

（2）证明方法（一）

如图1，把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，

得△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，B、C两点重合，

BF=FP，CG=GP，

∠FPG=∠B+∠C=90°，

在RT△PFG中，GF2=BF2+GC2；

证明方法（二）：如图，把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，

∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，

∠1+∠3=45°，

∠4+∠3=45°，

∠2=∠4+∠3=45°，

AG=AG，

△AFG≌△AGP，FG=GP，

∠ACP+∠ACB=90°，

在RT△PGG中，GF2=CG2+CP2，

GF2=BF2+GC2．

36．（2013•大连）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF． （1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF． ①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想； DF（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求 AF的值（用含m、α的式子表示）． 36．（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB ∴△ABD为等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠ABC， ∴DA∥BC． ②猜想：DF=2AF．

证明：如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG．

由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF．

∵在△DBG与△ABF中，

DBABBDGBAFDGAF，

∴△DBG≌△ABF（SAS），

∴BG=BF，∠DBG=∠ABF．

∵∠DBG+∠GBE=α=60°，

∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，

又∵BG=BF，

∴△BGF为等边三角形，

∴GF=BF，又BF=AF， ∴GF=AF． ∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF． （2）解：如答图2所示，在DF上截取DG=AF，连接BG． 由（1），同理可证明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α． 过点B作BN⊥GF于点N， ∵BG=BF，∴点N为GF中点，∠FBN=2． 在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin2=mAFsin2． ∴GF=2NF=2mAFsin2 ∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin2，

DF∴AF=1+2msin2．