分式方程讲义与习题

分式方程

【基础知识精讲】 1、分式方程概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征是①是方程；②分母中含有未知数．在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程． 2、解分式方程的基本 思路——转化

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下：

如：解方程：

方程两边都乘以(x＋3)(2x－7)得 2(2x－7)=3(x＋3) 4x－14=3x＋9 x=23

3、分式方程的解法

（1）去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根，确定原方程的解．即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 验根的方法有两种，一是代入到所乘的最简公分母中，看公分母的值是否为零.若不为零，是原方程的根.若为零，不是原方程的根，叫原方程的增根.二是分别代入到原方程的左边和右边，若左边与右边的值相等，则是原方程的根，若左右不等或一边分母为零，则不是原方程的根.

（4）写出方程的解．

解分式方程的一般步骤列表如下： 4、分式方程的增根及产生增根的原因

将适合所化的整式方程，但不适合原分式方程的根叫做分式方程的增根．

在解分式方程时，必须将其化为整式方程，这样

就要在分式方程的两边同乘以恰当的整式，当这个整式的值为0时，就产生了增根．所以同乘以最简公分母时扩大了未知数的范围，因而可能产生增根．因而需要检验． 5、列分式方程解应用题的步骤

（1）审清题意，找出题目的等量关系； （2）设出未知数，表示其它未知量； （3）根据等量关系，列出分式方程． （4）解分式方程，并验根（这是解分式方程必不可少的步骤）．

（5）写出符合题意的答案． 典型例题 例1、解方程：

。

分析：本 题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。

解：将原方程变形：

去分母： 检验：

注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。

练习

一 ；填空题

11x的值等于．

25x42xx52．当x______时，的值与的值相等．

4xx4113．若与互为相反数，则可得方程___________,解得x_________.

x1x12xa4．若方程1的解是最小的正整数，则a的值为________.

x2215. 分式方程的解是_________ 3xx1xa36. 若关于x的分式方程1无解，则a ．

x1x二、选择题

1．当x______时，

7．下列方程中是分式方程的是（ ）

111xxxx1x1(x0) （B）xy （C） （D）1

x235323212x18．解分式方程3，去分母后所得的方程是（ ）

3xx（A）

x（A）13(2x1)3 （B）13(2x1)3x （C）13(2x1)9x （D）16x39x 9.．化分式方程

21340为整式方程时，方程两边必须同乘（ ） 225x5x11x22（A）(5x5)(x1)(1x) （B）5(x1)(1x)

（C）5(x1)(x1) （D）5(x1)(x1)

10．下列说法中错误的是（ ）

（A）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解

（B）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （C）检验是解分式方程必不可少的步骤

（D）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． 11.解分式方程

2236，下列说法中错误的是（ ） 2x1x1x1（A）方程两边分式的最简公分母是(x1)(x1)

(B)方程两边乘以(x1)(x1)，得整式方程2(x1)3(x1)6 (C)解这个整式方程，得x1 (D) 原方程的解为x1

12．下列结论中，不正确的是（ ）

2323的解是x2 （B）方程的解是x5 xx1x1x1x2x3C）方程的解是x4 （D）方程的解是x3 12x2x2x3x3（A）方程13.关于x的方程A．a＞－1 C．a＜－1 三、解答题 14．解方程：（1）

2xax1

1的解是正数，则a的取值范围是

B．a＞－1且a≠0 D．a＜－1且a≠－2

x5237 1 （2） 2x552xx322x6236x14（3） （4） 221

x1x1x1x1x1xk15若关于x的方程无解，求k的值． 2x3x32516. 方程的解是 ． x12x17.当m取 时，方程

xm2会产生增根． x3x318..已知关于x的方程

2xm3的解是正数，则m的取值范围为 ． x219.在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 ．

20．甲、乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、乙每天制作的零件数分别为________________.

21．轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米所用的时间恰好相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是_________千米/时．

二、选择题

1.一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要

的小时数是 （ ） （A）a＋b （B）

111ab （D）  （C）

ababab2．工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动

力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程 ①

72x1xx ②72-x= ③x+3x=72 ④3上述所列方程，正确的有（ ）个

3x372xA 1 B 2 C 3 D 4

3．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟

此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）

A．8 B.7 C．6 D．5

4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 A．

16040016040016018 B．18 x(120%)xx(120%)x40040016016040016018 18 Ｄ．x(120%)xx20%xＣ．

5.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是

3︰2，两队合做6天可以完成．

（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?

（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若 按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?

6.面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的．．．．．13%．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？ （1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格： 项目 购买数量家电种类 （台） 冰箱 电视机 原价购买总额（元） 40 000 15 000 政府补贴返还比例 13% 13% 补贴返还总金额（元） 每台补贴返还金额（元） （2）列出方程（组）并解答． 7. ．解方程： （1）

x65x44x10（2）11

x2x2x23x6

8. 铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．

（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的

400千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

9.某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？

10.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

11.跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．