2015-2016学年高中数学 立体几何中的向量方法(一)空间向量与平行关系课时作业 新人教a版选修2-1

2015-2016学年高中数学立体几何中的向量方法(一)空间向量与平行关系课时作业新人教A版选修2-1

§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．

1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．

2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．

3．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥

m?______________?__________?________________________.

(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?__________?________________________.

(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥

β?__________?__________?

________________________.
一、选择题

1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为

( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1)
B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为

( )

B．(18,17，－17)
D．(－14，－19,31)

中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直D．不能确定
6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是( )

1
A．xOy B．xOz
C．yOz D．xOy或yOz二、填空题

7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________________________．

?1?8．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为?1，，2?，且l∥α，则m?2?

＝________.

9.

如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.

以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)

三、解答题

10．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．

11.

如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.

2
【能力提升】

12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面

ODC1.

13.

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

3
平行关系的常用证法

（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD
→→只需证AB＝λCD.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法

向量平行．

(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．

§3.2立体几何中的向量方法(一)
——空间向量与平行关系

知识梳理1．平行重合无数
2．方向向量法向量a1b1c1＝(a2b2c2≠0)a2b2c2
(2)a⊥ua·u＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
a1b1c1(3)u∥vu＝kv＝(a2b2c2≠0)a2b2c23．(1)a∥ba＝λb作业设计

1．D[只要是与向量n共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]
→→2．A[∵AB＝(2,4,6)，而与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.]
?a·n＝0，?3．C[显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则?∴?b·n＝0，?

??2x＋3y＋z＝0，??5x＋6y＋4z＝0.?

令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]→4．B[设B(x，y，z)，AB＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.

故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，2222又(x－2)＋(y＋1)＋(z－7)＝34，
22得(17λ)＝34，∵λ>0，∴λ＝2.

∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]
→→5．B[可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB和MN的关系判断．]
→6．C[AB＝(0,5，－3)，AB与平面yOz平行．]
33??333??37.?，或?－33??333??3
8．－8
解析∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．

1?1?∴(2，m,1)·?1，2?＝2＋2＝0，∴m＝－8.2?2?

4
9．①③④
→→→→→→解析∵A1M＝AM－AA1＝DP－DD1＝D1P，∴A1M∥D1P.

∵D1P?面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.

又D1P?面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.

∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．

10．解∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，→→∴AB＝(1，－2，－

4)，AC＝(2，－4，－3)，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．

→→依题意，应有n·AB＝0，n·AC＝0.

???x－2y－4z＝0?x＝2y?即，解得?.?2x－4y－3z＝0?z＝0??令y＝1，则x＝2.

∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．

11．证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.方法一∵∠PBC＝30°，PC＝2，
∴BC＝3，PB＝

4.

于是D(1,0,0)，C(0,0,0)，A3，0)，P(0,0,2)．∵PB＝4PM，∴PM＝1，33??M?0，?.22??

33?→→?→→→→∴CM＝?0，DP＝(－1,0,2)，DA＝(3，23，0)．设CM＝xDP＋yDA，其中x，y22??∈R.

33??则?0，?＝x(－1,0,2)＋y3，0)．22??

??23y＝23∴?32x＝??2－x＋3y＝031，解得x，y＝.44→3→1→→→→∴CM＝DP＋，∴CM，DP，DA共面．44∵CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.

33?→→?→方法二由方法一可得CM＝?0，，，DP＝(－1,0,2)，DA＝3，0)．设平面PAD22??

的法向量为n＝(x，y，z)，

5
x＋2z＝0
则有，即??－
?3x＋23y＝0.

令x＝1，解得z13

2y2.

故n＝??1，－3

?21?

2?.

又∵→CM·n＝???0，3

23?

2??·??31?

?1，－22??＝0.

∴→CM⊥n，又CM?平面PAD.

∴CM∥平面PAD.

12．证明方法一∵B→→
1C＝A1D，B1?A1D，
∴B1C∥A1D，又A1D?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.

方法二∵B→→→
1C＝B1C1＋B1B
＝B→→＋D→→→→1O＋OC11O＋OD＝OC1＋OD.

∴B→，OC→→
1C1，OD共面．

又B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.方法三
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O??11?22，1???，C1(0,1,1)，
B→
1C＝(－1,0，－1)，

→OD＝???－1

21
21???，
OC→1＝??11
?－2，20???.

设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则??－1
20－1
2y0－z0＝0，①
得???－11
20＋2y0＝0，②
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．

6
→又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，→∴B1C⊥n，且B1C?平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.