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第3讲 因动点产生的直角三角形问题

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3讲因动点产生的直角三角形问题

3讲因动点产生的直角三角形问题
1上海市虹口区中考模拟第25
如图1,在RtABC中,∠ACB90°AB13CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BCF,∠BAE的平分线交BC于点G

1)当CE3时,求SCEFSCAF的值;
;(2)设CExAEy,当CG2GB时,求yx之间的函数关系式

3)当AC5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长.

1思路点拨
1.第(1)题中的△CEF和△CAF是同高三角形,面积比等于底边的比.

2.第(2)题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.3.第(3)题中的直角三角形AEG分两种情况讨论.

满分解答

1)如图2,由CE//AB,得EFCE3??AFBA13由于△CEF与△CAF是同高三角形,
所以SCEFSCAF313

2)如图3,延长AG交射线CDM 2CM//AB,得CMCG??2.所以CM2AB26ABBG

CM//AB,得∠EMA=∠BAM

又因为AM平分∠BAE,所



以∠BAM=∠EAM.所以∠EMA=∠EAM.所以yEAEM26x

3 4

3)在RtABC中,AB13AC5,所以BC12

如图4,当∠AGE90°时,延长EGABN,那么△AGE≌△AGN

所以G EN 的中点.1

所以GBC的中点,BG6

如图5,当∠AEG90°时,由△CAF∽△EGF,得
CE//AB,得
所以FCFA ?FEFGFCFB ?FEFAFAFB.又因为∠AFG=∠BFA,所以△AFG∽△BFA ?FGFA
所以∠FAG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GAGB

13 2
BH1312169 RtGBH 中,由cosB=,得BG==.

21324BG GHAH,那么BHAH
5 6考点伸展

第(3)题的第②种情况,当∠AEG90°时的核心问题是说理GAGB.如果用四点共圆,那么很容易.

如图6,由ACEG 四点共圆,直接得到∠2=∠4.上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有:

如图7,当∠AEG90°时,设AG 的中点为P,那么PC PE 分别是RtACG RtAEG 斜边上的中线,所以PCPEPAPG



所以∠122,∠325

如图8,在等腰△PCE中,∠CPE180°2(4+∠5)
又因为∠CPE180°(1+∠3),所以∠1+∠32(4+∠5).所以∠124

所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GAGB

7 8

2
2苏州市中考第29
如图1,二次函数ya(x22mx3m2)(其中am是常数,且a0m0)的图像与x轴分别交于
AB(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点EAB平分∠DAE

1)用含m的式子表示a 2)求证:AD为定值;AE 3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GFADAE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.

1
思路点拨

1.不算不知道,一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形,写出点ABF的坐标后,点D的坐标也可以写出来.点E的纵坐标为定值是算



出来的.

1及其变形am2?1反复用到.2m
3.注意到点EDFx轴的距离正好是一组常见的勾股数(534),因此过点FAD的平行线与x轴的交点,就是要求的点G
2.在计算的过程中,第(1)题的结论a?

满分解答

12m
2)由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24
A(m,0)B(3m,0)F(m,4),对称轴为直线xm

所以点D的坐标为(2m,3)

设点E的坐标为(x,a(xm)(x3m))

如图2,过点DE分别作x轴的垂线,垂足分别为DE.(1)将C(0,3)代入ya(x22mx3m2),得-3=-3am2.因此a?

由于∠EAE=∠DAD,所以EE'DD'a(x?m)(x?3m)3.因此.??AE'AD'x?m3m
1,于是得到x4mm2
3所以am(x3m)1.结合a?

x4m时,ya(xm)(x3m)5am25.所以点E的坐标为(4m,5).所以ADDD'

AE?EE'?3
5



2

3

3)如图3,由E(4m,5)D(2m,3)F(m,4),可知点EDFx轴的距离分别为543

那么过点FAD的平行线与x轴的负半轴的交点,就是符合条件的点G.证明如下:作FF′⊥x轴于F,那么GFFF'

AD?DD'?4
3.因此AEADGF
5?3?4.所以线段GFADAE的长围成一个直角三角形.此时GF4m.所以GO3m,点G的坐标为(3m,0)

考点伸展

第(3)题中的点G的另一种情况,就是GF为直角三角形的斜边.此时AE

5?AD

3?

GF?

所以GO?

1)m.此时G(m,0)

4
3 山西省中考第26
如图1,抛物线y?123,与y轴交于点C,连结BCx?x?4x轴交于AB两点(点B在点A的右侧)42
BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点Px轴上的一个动



点,设点P的坐标为(m,0),过点Px轴的垂线l交抛物线于点Q

1)求点ABC的坐标;
2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BDBC于点MN.试

探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;

3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

1
思路点拨

1.第(2)题先用含m的式子表示线段MQ的长,再根据MQDC列方程.

2.第(2)题要判断四边形CQBM的形状,最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图,先得到结论.

3.第(3)题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.

满分解答

1231x?x?4?(x?2)(x?8),得A(2,0)B(8,0)C(0,4)424
12)直线DB的解析式为y??x?42
113由点P的坐标为(m,0),可得M(m,?m?4)Q(m,m2?m?4)2421131所以MQ(?m?4)?(m2?m?4)??m2?m?824241)由y?MQDC8时,四边形CQMD是平行四边形.

5



解方程?1
4m2?m?8?8,得m4,或m0(舍去).

此时点POB的中点,NBC的中点,N(4,2)Q(4,6).所以MNNQ4.所以BCMQ互相平分.

所以四边形CQBM是平行四边形.

32
3)存在两个符合题意的点Q,分别是(2,0)(6,4)

第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为(x,14(x?2)(x?8))

?1(x?2)(x?

如图3,当∠DBQ90°时,QG?BH?18).所以1
GBHD28?x?2

解得x6.此时Q(6,4)

4?1
如图4,当∠BDQ90°时,QGDH(x?2)(x?8)GD?HB?2.所以?x?2

解得x=-2.此时Q(2,0)

3 4
6 考点伸展
4广州市中考第24
33如图1,抛物线y??x2?x?3x轴交于AB两点(点A在点B的左



侧),与y 轴交于点C 84

1)求点AB的坐标;
2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
3)若直线l过点E(4,0)M为直线l上的动点,当以ABM为顶点所作的直角三角形有且只有三个....时,求直线l的解析式.

1
思路点拨

1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.

2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB90°的点M2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB90°的点M只有1个. 3.灵活应用相似比解题比较简便.

满分解答

3331)由y??x2?x?3??(x?4)(x?2)848
得抛物线与x轴的交点坐标为A(4,0)B(2,0).对称轴是直线x=-1

2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点BD到直线AC的距离相等.

过点BAC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H



DGCO3??BGAO4
399所以DG?BG?,点D的坐标为(1,?)444BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以
因为AC//BDAGBG,所以HGDG

DHDH,所以DG3DG?

2727.所以D的坐标为(1,)447
2 3
3)过点AB分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M

AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与

直线l相切,就只有1个点M了.

联结GM,那么GMl

RtEGM中,GM3GE5,所以EM4

MA3RtEM1A中,AE8tan?M1EA?1?,所以M1A6AE4所以点M1的坐标为(4,6),过M1E的直线ly??

根据对称性,直线l还可以是y?3x?343x?34考点伸展

第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点CE求直线l的解析式.

RtEGM中,GM3GE5,所以EM4

RtECO中,CO3EO4,所以CE5

因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C



8
5杭州市中考第22
在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数yk(x2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)

1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
2)要使反比例函数与二次函数都是yx增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.

思路点拨

1.由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是y?k.题目中的k都是一致的.x
2.由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标还可以知道,AB关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O

3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.满分解答

1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是

y?

k=-2时,反比例函数的解析式是y??

2)在反比例函数y?kx2xk中,如果yx增大而增大,那么k0x
k0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,yx增大而增大.



151抛物线yk(x2x1)k(x?)2?k的对称轴是直线
x?? 242
1所以当k0x??时,反比例函数与二次函数都是yx增大而增大.2
153)抛物线的顶点Q的坐标是(?,?k)AB关于原点O中心对称,

24
OQOAOB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.15OQ2OA2,得(?)2?(?k)2?12?k2

24
解得k1?k2?

2
39
2 3考点伸展

如图4,已知经过原点O的两条直线ABCD分别与双曲线y?kk0)交于ABCD,那x
ABCD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.

问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?

如图5,当AC关于直线yx对称时,ABCD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.

C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OAOC因为A
无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.



4

5

10
6浙江省中考第23
设直线l1yk1xb1l2yk2xb2,若l1l2,垂足为H,则称直线l1l2是点H的直角线.(1)已知直线①y??

1
x?2;②y?x?2;③y?2x?2;④y?2x?4和点C(02),则直线_______2_______是点C的直角线(填序号即可);

2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(30)B(27)C(07)P为线段OC上一点,设过BP两点的直线为l1,过AP两点的直线为l2,若l1l2是点P的直角线,求直线l1l2的解析式.

1
答案

1)直线①和③是点C的直角线.

2)当∠APB90°时,△BCP∽△POA.那么如图2,当OP6时,l1y?

BCPO2PO
,即.解得OP6OP1??

CPOA7?PO3

1
x?6l2y=-2x62



1
如图3,当OP1时,l1y3x1l2y??x?1

3
2 3

11
7北京市中考第24
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??

B(2,n)在这条抛物线上.

1)求点B的坐标;
2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点Px轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得EDPE,以PD为斜边, .在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点CD也随之运动)

当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时

线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Qx轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FMQF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点MN也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同

一条直线上,求此刻t的值.

m?125mx?x?m2?3m?2x轴的交点分别为原点O和点A441



思路点拨

1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.

2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长.

3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.

4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.

满分解答

m?125m2x?x?m2?3m?2经过原点,所以m?3m?2?0.解得m1?244 125.因此y??x?x.所以点B的坐标为(24).m2?1(舍去)42(1)因为抛物线y??

(2)如图4,设OP的长为t,那么PE2tEC2t,点C的坐标为(3t,2t).当点C落在抛物线上时,15222t???(3t)2??3t.解得t?OP?429

12
如图1,当两条斜边PDQM在同一条直线上时,点PQ重合.此

3t10.解得t?103
如图2,当两条直角边PCMN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQPE.此时10?3t?2t.解得t?2

如图3,当两条直角边DCQN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQPD.此时10?3t?4t.解得t?10
7



1

2

3

考点伸展

在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值.

如图5,当PQ重合时,两圆内切,t?103

如图6
,当两圆外切时,t?30?

4

5

6

13
8嘉兴市中考第24
如图1,已知AB是线段MN上的两点,MN?4MA?1MB?1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使MN两点重合成一点C,构成△ABC,设AB?x

1)求x的取值范围;
2)若△ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:△ABC的最大面积?

1
思路点拨

1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于x的不等式组,可以求得x的取值范围.

2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确



定直角三角形的存在性.

3.把△ABC的面积S的问题,转化为S2的问题.AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论,分CD在三角形内部和外部两种情况.

满分解答

1)在△ABC中,AC?1AB?xBC?3?x,所以??1?x?3?x, 解得1?x?2?1?3?x?x.

2)①若AC为斜边,则1?x2?(3?x)2,即x2?3x?4?0,此方程无实根.②若AB为斜边,则x2?(3?x)2?1,解得x?

BC为斜边,则(3?x)2?1?x2,解得x?

因此当x?5,满足1?x?234,满足1?x?23x?时,△ABC是直角三角形.33
1xh23)在△ABC中,作CD?ABD,设CD?h,△ABC的面积为S,则S?

如图2,若点D在线段AB上,则
?h2?(3?x)2?h2?x.移项,得14
(3?x)2?h2?x??h2.两边平方,得(3?x)2?h2?x2?2x?h2?1?h2.整理,得x?h2?3x?4.两边平方,得x2(1?h2)?9x2?24x?16.整理,得
x2h2??8x2?24x?16所以S2?412231xh??2x2?6x?4??2(x?)2?(≤x?24223 x?4231时(满足≤x?2),S2取最大值,从而S取最大值.

2223
2 3
如图3,若点D在线段MA上,则(3?x)2?h2??h2?x.同理可得,S2?



易知此时S?412231xh??2x2?6x?4??2(x?)2?1?x42232222综合①②得,△ABC的最大面积为
考点伸展

第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设AD?a 例如在图2中,由AC?AD?BC?BD列方程1?a2?(3?x)2?(x?a)2.整理,得a?22223x?4.所以x
?8x2?24x?16?3x?4?1?a?1????2x?x?22
因此

S2?12x(1?a2)??2x2?6x?44
【强化训练】

1.(宜宾24)如图,抛物线y??

12x?bx?cx轴交于A-20)、B40)两点,与y轴交于点C215顶点为P.

1)求抛物线的解析式;
2)动点MN从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OBOC上向点BC方向运动,过点Mx轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标; 求出点F的②是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?若存在,
坐标;若不存在,说明理由。

2.(连云港27)如图,已知一条直线过点(04),且与抛物线y?的横坐标是-2

1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标;



16

12
x交于A4
B两点,其中点A
2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由;
3)过线段AB上一点P,作PM//x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N01),当点M的长度最大?最大值是多少?

17
的横坐标为何值时,MN+3NP

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