第3讲 因动点产生的直角三角形问题

第3讲因动点产生的直角三角形问题

第3讲因动点产生的直角三角形问题
例1上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．

（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式

（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

图1思路点拨
1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．

2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．

满分解答

（1）如图2，由CE//AB，得EFCE3??．AFBA13由于△CEF与△CAF是同高三角形，
所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．

（2）如图3，延长AG交射线CD于M． 图2由CM//AB，得CMCG??2．所以CM＝2AB＝26．ABBG

又因为AM平分∠BAE，所

以∠BAM＝∠EAM．所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．

图3 图4

（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．

①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．

所以G是BC的中点，BG＝6．

所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．

如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，
又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．

所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．

图7 图8

2
例2苏州市中考第29题
如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于
A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a； （2）求证：AD为定值；AE （3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1
思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算

出来的．

1及其变形am2?1反复用到．2m
3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．
2．在计算的过程中，第（1）题的结论a?

满分解答

1．2m
（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，
得A(－m,0)，B(3m,0)，F(m,－4)，对称轴为直线x＝m．

所以点D的坐标为(2m,－3)．

设点E的坐标为(x,a(x＋m)(x－3m))．

如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此a?

由于∠EAE′＝∠DAD′，所以EE'DD'a(x?m)(x?3m)3．因此．??AE'AD'x?m3m
1，于是得到x＝4m．m2
3所以am(x－3m)＝1．结合a?

当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m,5)．所以ADDD'

AE?EE'?3
5．

（3）如图3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．

那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么GFFF'

AD?DD'?4
3．因此AEADGF
5?3?4．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m,0)．

考点伸展

第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．此时AE

5?AD

3?

GF?．

所以GO?

1)m．此时G(m,0)．

4
例3 山西省中考第26题
如图1，抛物线y?123，与y轴交于点C，连结BC，x?x?4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧）42
以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动

点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试

探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1
思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

1231x?x?4?(x?2)(x?8)，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．424
1（2）直线DB的解析式为y??x?4．2
113由点P的坐标为(m,0)，可得M(m,?m?4)，Q(m,m2?m?4)．2421131所以MQ＝(?m?4)?(m2?m?4)??m2?m?8．2424（1）由y?当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

5

解方程?1
4m2?m?8?8，得m＝4，或m＝0（舍去）．

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．

所以四边形CQBM是平行四边形．

图3图2
（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为(x,14(x?2)(x?8))．

?1(x?2)(x?

①如图3，当∠DBQ＝90°时，QG?BH?18)．所以1
GBHD28?x?2．

解得x＝6．此时Q(6,－4)．

4?1
②如图4，当∠BDQ＝90°时，QGDH(x?2)(x?8)GD?HB?2．所以?x?2．

解得x＝－2．此时Q(－2,0)．

图3 图4
6 考点伸展
例4广州市中考第24题
33如图1，抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个．．．．时，求直线l的解析式．

图1
思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个． 3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

333（1）由y??x2?x?3??(x?4)(x?2)，848
得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．