第3讲因动点产生的直角三角形问题
第3讲因动点产生的直角三角形问题
例1上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G.
(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;
;(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式
(3)当AC=5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长.
图1思路点拨
1.第(1)题中的△CEF和△CAF是同高三角形,面积比等于底边的比.
2.第(2)题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.3.第(3)题中的直角三角形AEG分两种情况讨论.
满分解答
(1)如图2,由CE//AB,得EFCE3??.AFBA13由于△CEF与△CAF是同高三角形,
所以S△CEF∶S△CAF=3∶13.
(2)如图3,延长AG交射线CD于M. 图2由CM//AB,得CMCG??2.所以CM=2AB=26.ABBG
由CM//AB,得∠EMA=∠BAM.
又因为AM平分∠BAE,所
以∠BAM=∠EAM.所以∠EMA=∠EAM.所以y=EA=EM=26-x.
图3 图4
(3)在Rt△ABC中,AB=13,AC=5,所以BC=12.
①如图4,当∠AGE=90°时,延长EG交AB于N,那么△AGE≌△AGN.
所以G 是EN 的中点.1
所以G是BC的中点,BG=6.
②如图5,当∠AEG=90°时,由△CAF∽△EGF,得
由CE//AB,得
所以FCFA. ?FEFGFCFB. ?FEFAFAFB.又因为∠AFG=∠BFA,所以△AFG∽△BFA. ?FGFA
所以∠FAG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.
13. 2
BH1312169 在Rt△GBH 中,由cos∠B=,得BG==.
21324BG 作GH⊥AH,那么BH=AH=
图5 图6考点伸展
第(3)题的第②种情况,当∠AEG=90°时的核心问题是说理GA=GB.如果用四点共圆,那么很容易.
如图6,由A、C、E、G 四点共圆,直接得到∠2=∠4.上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有:
如图7,当∠AEG=90°时,设AG 的中点为P,那么PC 和PE 分别是Rt△ACG 和Rt△AEG 斜边上的中线,所以PC=PE=PA=PG.
所以∠1=2∠2,∠3=2∠5.
如图8,在等腰△PCE中,∠CPE=180°-2(∠4+∠5),
又因为∠CPE=180°-(∠1+∠3),所以∠1+∠3=2(∠4+∠5).所以∠1=2∠4.
所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.
图7 图8
2
例2苏州市中考第29题
如图1,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a、m是常数,且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于
A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的式子表示a; (2)求证:AD为定值;AE (3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形,写出点A、B、F的坐标后,点D的坐标也可以写出来.点E的纵坐标为定值是算
出来的.
1及其变形am2?1反复用到.2m
3.注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4),因此过点F作AD的平行线与x轴的交点,就是要求的点G.
2.在计算的过程中,第(1)题的结论a?
满分解答
1.2m
(2)由y=a(x2-2mx-3m2)=a(x+m)(x-3m)=a(x-m)2-4axm2=a(x-m)2-4,
得A(-m,0),B(3m,0),F(m,-4),对称轴为直线x=m.
所以点D的坐标为(2m,-3).
设点E的坐标为(x,a(x+m)(x-3m)).
如图2,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足分别为D′、E′.(1)将C(0,-3)代入y=a(x2-2mx-3m2),得-3=-3am2.因此a?
由于∠EAE′=∠DAD′,所以EE'DD'a(x?m)(x?3m)3.因此.??AE'AD'x?m3m
1,于是得到x=4m.m2
3所以am(x-3m)=1.结合a?
当x=4m时,y=a(x+m)(x-3m)=5am2=5.所以点E的坐标为(4m,5).所以ADDD'
AE?EE'?3
5.
图2 | 图3 |
(3)如图3,由E(4m,5)、D(2m,-3)、F(m,-4),可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3.
那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点,就是符合条件的点G.证明如下:作FF′⊥x轴于F′,那么GFFF'
AD?DD'?4
3.因此AEADGF
5?3?4.所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.此时GF′=4m.所以GO=3m,点G的坐标为(-3m,0).
考点伸展
第(3)题中的点G的另一种情况,就是GF为直角三角形的斜边.此时AE
5?AD
3?
GF?.
所以GO?
1)m.此时G(m,0).
4
例3 山西省中考第26题
如图1,抛物线y?123,与y轴交于点C,连结BC,x?x?4与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)42
以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动
点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试
探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.第(2)题先用含m的式子表示线段MQ的长,再根据MQ=DC列方程.
2.第(2)题要判断四边形CQBM的形状,最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图,先得到结论.
3.第(3)题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.
满分解答
1231x?x?4?(x?2)(x?8),得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4).424
1(2)直线DB的解析式为y??x?4.2
113由点P的坐标为(m,0),可得M(m,?m?4),Q(m,m2?m?4).2421131所以MQ=(?m?4)?(m2?m?4)??m2?m?8.2424(1)由y?当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形.
5
解方程?1
4m2?m?8?8,得m=4,或m=0(舍去).
此时点P是OB的中点,N是BC的中点,N(4,-2),Q(4,-6).所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.
所以四边形CQBM是平行四边形.
图3图2
(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(-2,0),(6,-4).
第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为(x,14(x?2)(x?8)).
?1(x?2)(x?
①如图3,当∠DBQ=90°时,QG?BH?18).所以1
GBHD28?x?2.
解得x=6.此时Q(6,-4).
4?1
②如图4,当∠BDQ=90°时,QGDH(x?2)(x?8)GD?HB?2.所以?x?2.
解得x=-2.此时Q(-2,0).
图3 图4
6 考点伸展
例4广州市中考第24题
33如图1,抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左
侧),与y 轴交于点C. 84 |
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个....时,求直线l的解析式.
图1
思路点拨
1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.
2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个. 3.灵活应用相似比解题比较简便.
满分解答
333(1)由y??x2?x?3??(x?4)(x?2),848
得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4,0)、B(2,0).对称轴是直线x=-1.
(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.
DGCO3??.BGAO4
399所以DG?BG?,点D的坐标为(1,?).444由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以
因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.
而D′H=DH,所以D′G=3DG?
2727.所以D′的坐标为(1,).447
图2 图3
(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M.
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与
直线l相切,就只有1个点M了.
联结GM,那么GM⊥l.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
MA3在Rt△EM1A中,AE=8,tan?M1EA?1?,所以M1A=6.AE4所以点M1的坐标为(-4,6),过M1、E的直线l为y??
根据对称性,直线l还可以是y?3x?3.43x?3.4考点伸展
第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.
因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.
8
例5杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
思路点拨
1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是y?k.题目中的k都是一致的.x
2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.
3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是
y?
当k=-2时,反比例函数的解析式是y??
(2)在反比例函数y?k.x2.xk中,如果y随x增大而增大,那么k<0.x
当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.
151抛物线y=k(x2+x+1)=k(x?)2?k的对称轴是直线
x??. 242
1所以当k<0且x??时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.2
15(3)抛物线的顶点Q的坐标是(?,?k),A、B关于原点O中心对称,
24
当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.15由OQ2=OA2,得(?)2?(?k)2?12?k2.
24
解得k1?,k2?.
2)
3)9
图2 图3考点伸展
如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线y?k(k>0)交于A、B和C、D,那x
么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.
问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?
如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.
C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC因为A、
无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.
图4 | 图5 |
10
例6浙江省中考第23题
设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.(1)已知直线①y??
1
x?2;②y?x?2;③y?2x?2;④y?2x?4和点C(0,2),则直线_______和2_______是点C的直角线(填序号即可);
(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.
图1
答案
(1)直线①和③是点C的直角线.
(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么如图2,当OP=6时,l1:y?
BCPO2PO
,即.解得OP=6或OP=1.??
CPOA7?PO3
1
x?6,l2:y=-2x+6.2
1
如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1,l2:y??x?1.
3
图2 图3
11
例7北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??
点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求点B的坐标;
(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边, .在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动)
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时
线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同
一条直线上,求此刻t的值.
m?125mx?x?m2?3m?2与x轴的交点分别为原点O和点A,44图1
思路点拨
1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.
2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长.
3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.
4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.
满分解答
m?125m2x?x?m2?3m?2经过原点,所以m?3m?2?0.解得m1?2,44 125.因此y??x?x.所以点B的坐标为(2,4).m2?1(舍去)42(1)因为抛物线y??
(2)①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t,2t).当点C落在抛物线上时,15222t???(3t)2??3t.解得t?OP?.429
12
②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此
时3t=10.解得t?10.3
如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时10?3t?2t.解得t?2.
如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时10?3t?4t.解得t?10
7.
图1 | 图2 | 图3 |
考点伸展
在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值.
如图5,当P、Q重合时,两圆内切,t?103.
如图6
,当两圆外切时,t?30?
图4 | 图5 | 图6 |
13
例8嘉兴市中考第24题
如图1,已知A、B是线段MN上的两点,MN?4,MA?1,MB?1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB?x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:△ABC的最大面积?
图1
思路点拨
1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于x的不等式组,可以求得x的取值范围.
2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确
定直角三角形的存在性.
3.把△ABC的面积S的问题,转化为S2的问题.AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论,分CD在三角形内部和外部两种情况.
满分解答
(1)在△ABC中,AC?1,AB?x,BC?3?x,所以??1?x?3?x, 解得1?x?2.?1?3?x?x.
(2)①若AC为斜边,则1?x2?(3?x)2,即x2?3x?4?0,此方程无实根.②若AB为斜边,则x2?(3?x)2?1,解得x?
③若BC为斜边,则(3?x)2?1?x2,解得x?
因此当x?5,满足1?x?2.34,满足1?x?2.3或x?时,△ABC是直角三角形.33
1xh.2(3)在△ABC中,作CD?AB于D,设CD?h,△ABC的面积为S,则S?
①如图2,若点D在线段AB上,则
?h2?(3?x)2?h2?x.移项,得14
(3?x)2?h2?x??h2.两边平方,得(3?x)2?h2?x2?2x?h2?1?h2.整理,得x?h2?3x?4.两边平方,得x2(1?h2)?9x2?24x?16.整理,得
x2h2??8x2?24x?16所以S2?412231.xh??2x2?6x?4??2(x?)2?(≤x?2)4223 当x?4231时(满足≤x?2),S2取最大值,从而S取最大值.
2223
图2 图3
②如图3,若点D在线段MA上,则(3?x)2?h2??h2?x.同理可得,S2?
易知此时S?412231.xh??2x2?6x?4??2(x?)2?(1?x≤)42232.22.2综合①②得,△ABC的最大面积为
考点伸展
第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设AD?a, 例如在图2中,由AC?AD?BC?BD列方程1?a2?(3?x)2?(x?a)2.整理,得a?22223x?4.所以x
?8x2?24x?16?3x?4?1?a?1??.??2x?x?22
因此
S2?12x(1?a2)??2x2?6x?4.4
【强化训练】
1.(宜宾24)如图,抛物线y??
12x?bx?c与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,215顶点为P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点M、N从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.①当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标; 求出点F的②是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?若存在,
坐标;若不存在,说明理由。
2.(连云港27)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y?的横坐标是-2。
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标;
16
12
x交于A、4
B两点,其中点A
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过线段AB上一点P,作PM//x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的长度最大?最大值是多少?
17
的横坐标为何值时,MN+3NP
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