一、 引言
一个小球和一条细线就可以组成一个单摆， 如图 1 所示。单 摆是一个很简单的物理模型， 因蕴涵重要的物理思想， 成为简谐 振动、非线性物理等教学中必讲的内容之一。 同时由于在一定条 件下具有解析解， 单摆成为测量加速度的一个重要方法。 用单摆 测重力加速度实验可见于中学物理实验及部分大学物理实验教 材中， 由于中学生还未学习微分方程， 一般教材会直接给出周期 的计算公式， 中学生对公式的由来感到疑惑。 大学生学习过微分 方程之后，他们又会对“摆角必须小于
5 度”的限制条件产生怀 疑：为什么加上这个条件？摆角大于 5 度时，
单摆还具有等时性 吗？这是学生经常问的问题， 然而许多物理实验教材并未给出解 答。与此同时，还有一些粗心的同学，不管老师怎么强调，他依 然会使用大摆角进行实验， 那么这些同学的测量结果误差多大？ 本文试图从定性及定量的角度进行回答。
二、 运动方程
单摆虽然简单， 却处在一个非常复杂的物理背景之下， 许多 因素都会影响它的运动， 进而影响它的运动方程的形式。 限于篇 幅，本文不考虑细线的质量和伸缩、 球的大小、 各种阻力及浮力。 设细线长为
I，小球的质量为 m重力加速度为g,方向竖直向 下，摆线与竖直方向角
位移为 e，平衡位置右边为正，左边为 负。设z轴通过点0且垂直纸面，向外为正方向。小球从夹角9 0 释放，初速为 0。本文将从转动定
律和机械能守恒两种角度建立 单摆的运动方程。
1. 转动定律
小球只受重力mg和细线对其的拉力F,方向分别为竖直向 下和沿细线方向指向点 0小球的位矢为r，模为细线长I，小 球对z轴的转动惯量为J=ml2。由转动定律可知：
M=Ja (1)
M为力矩，a为角加速度。 r x( mg+F =mI2 a (2)
r与F夹角为180度，矢量积的大小为0。图1所示的角位
置 9 指向 z 轴正方向， r 与 g 的矢量积指向 z 轴负方向，因此 有：
-lmgsin 9 =ml2d29 dt2 ( 3) d29 dt2+glsin 9 =0( 4)
令
3 =gl (5)
可得单摆的运动方程为：
d29 dt2+ 3 2sin 9 =0( 6) 2. 机械能守恒定律
由于不考虑细线伸缩，拉力 F 始终与小球的运动方向垂直， 不做功；只有重力做功，而重力为保守力，系统的机械能守恒。 设小球运动到图1所示位置时速度大小为 v，细线与竖直方向夹 角为e，则有：
mgl （1-cos e ） +12mv2=mgl （1-cos e 0）（ 7）
对方程（ 7）两边进行微分可得：
mglsin e de +mvdv=0（ 8）
由于只有切向速度， v=vt ，且 vt=d （l e ） dt ，两边同时除 以 dt 可得：
mglsin e de dt+mvdvtdt=0 （9）
mgsine d（l e ） dt+md（l e ） dtd2 （l e ） dt2=0
（10）
化简后即得式（ 4）。 三、 单摆的等时性
解出式（ 6）中角度与时间的关系，即可得出单摆是否具有 等时性，但其为二阶非线性微分方程，没有初等函数形式的解。 当e较小时，tan e〜e，式（6）变为二阶常系数齐次微分方 程：
d2e dt2+ 3 2e =0 （11）
其特解为三角函数：
e =e 0cos3 t （12）
可求出其周期为：
T0=2n 3 =2n lg （13）
这就是常见的单摆周期公式，也是计算重力加速度的公式。 因此，当e较小时，单摆具有等时性。那么大摆角时，单摆还 具有等时性吗？答案是肯定的，理由为：系统的机械能守恒，那 么当细线的长度、小球的质量、初始位置及初始速度确定之后， 小球在每一个位置具有的势能是确定的， 动能也是确定的， 因此 速度也是确定的，摆过任
何的角微元 de 所用的时间是确定的， 那么小球往复所用的总时间就是确定的。所以，大摆角时，单摆 依然具有等时性。 既然如此， 为什么还要求摆角小于 5 度呢？原 因是只有摆角较小时，重力加速度和周期之间才有式（ 的简单关系。
四、 大摆角的周期
虽然从式（ 6）不能求解出大摆角时初等函数形式的周期， 但我们可以求解出数值解。小球摆过任意弧长 ld e 所用的时间 为：
13）那样
dt=ld e vt （ 14）
则单摆的周期可用下式计算：
T=4/ e OOld e vt （15）
代入式（ 7）和（ 13）可得：
TT0=2n / e OOlcos e -cos e Od e （16）
?o出一系列不同的摆角 e O，手动编程或使用 Mathematica
等数学计算软件都可以计算出结果，
如图 2 所示。摆角等于 5 度
时，单摆的周期T相对摆角趋于O时的周期TO只改变了不到 O.O5%，可以很好地近似为简谐振动。图中还显示，随着摆角的 增加，周期比值并非线性增加，而是呈指数增加。摆角为 30 度 时，周期增加了 1.73%，
60度时，增加了 7.32%，而 90 度时， 则增加了 18.03%。本文的结果
与成思源和万明理等人的结果相 近，而避免了其使用的椭圆积分等非初等函数知识， 便于大学生 理解。
五、 结论 本文使用微积分知识及初等函数求解了单摆的周期，
论证了 任意摆角（不大于 90 度）都具有等时性。摆角较小时，单摆的 运动可以很好地近似为简谐运动， 可以使用单摆的周期公式。 随 着摆角的增大， 周期迅速增大。 本文可以回答学生在用单摆测量 重力加速度实验中的关于摆角的疑问， 有利于其正确操作实验仪 器并培养严谨的科学态度。
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