2018年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）设z=A．0
B．
+2i，则|z|=（ ） C．1
D．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．（5分）已知椭圆C：
+
=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．12
π
B．12π C．8
π
D．10π
6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A．y=﹣2x
B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
=（ ）
7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
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A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ） A．8
B．6
C．8
D．8
11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（ ） A．
B．
C．
D．1
12．（5分）设函数f（x）=A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）
，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ） C．（﹣1，0）
D．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a= ．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 ．
15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|= ．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积
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为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．
．
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7） 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
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（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN．
21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
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2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}， 则A∩B={0，2}． 故选：A．
2．（5分）设z=A．0
B．
+2i，则|z|=（ ） C．1 +2i=
D．
+2i=﹣i+2i=i，
【解答】解：z=则|z|=1． 故选：C．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
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【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入37×2a﹣60%a=14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a， 建设前，其他收入为4%a， 故10%a÷4%a=2.5＞2， 故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a， 建设前，养殖收入为30%a， 故60%a÷30%a=2， 故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a=58%×2a， 经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%， 故D项正确．
因为是选择不正确的一项， 故选：A．
4．（5分）已知椭圆C：
+
=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆C：可得a2﹣4=4，解得a=2∵c=2， ∴e==故选：C．
=
．
+，
=1的一个焦点为（2，0），
5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
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则该圆柱的表面积为（ ） A．12
π
B．12π C．8
π
D．10π
【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R， 圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，
过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4R2=8，解得R=，
则该圆柱的表面积为：=10π．
故选：D．
6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（A．y=﹣2x
B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数， 可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x． 故选：D．
7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ） A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， =﹣
=
﹣ =﹣×（+
）
=
﹣
，
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
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）
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2， =2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， ==
， ，
故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为故选：B．
9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
，
A．2
B．2
C．3
D．2
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：故选：B．
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=2．
10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ） A．8
B．6
C．8
D．8
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2， AC1与平面BB1C1C所成的角为30°， 即∠AC1B=30°，可得BC1=可得BB1=
=2
．
=8
．
=2
．
所以该长方体的体积为：2×故选：C．
11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（ ） A．
B．
C．
D．1
【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=， ∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=， ∴|cosα|=
，∴|sinα|=
=
，
|tanα|=||=|a﹣b|===．
故选：B．
12．（5分）设函数f（x）=
，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
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A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） 【解答】解：函数f（x）=满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0， 解得x∈（﹣∞，0）． 故选：D．
C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
，的图象如图：
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a= ﹣7 ． 【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1， 可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7． 故答案为：﹣7．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 6 ．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，
由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为z=3×2=6，
第10页（共18页）
故答案为：6
15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|= 2【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2， 圆心到直线的距离为：所以|AB|=2故答案为：2
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为
．
．
=2
=．
，
．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于sinBsinC≠0， 所以sinA=， 则A=
由于b2+c2﹣a2=8， 则：①当A=
时，
， ，
第11页（共18页）
解得：bc=所以：②当A=
，
．
时，
，
（不合题意），舍去． ． ．
解得：bc=﹣故：故答案为：
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，
．
则：（常数），
由于，
故：，
数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 整理得：
所以：b1=1，b2=2，b3=4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于
（常数）；
，
（3）由（1）得：
，
第12页（共18页）
根据所以：
，
．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．
【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC， 又AB⊥DA．且AD∩AB=A， ∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC；
（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3∴BP=DQ=DA=2
，
，
由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC， ∴三棱锥Q﹣ABP的体积V==×
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7） ×
=
=1．
第13页（共18页）
频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表， 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
第14页（共18页）
（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为： p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48， 使用节水龙头50天的日均用水量为：
（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3．
20．（12分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN．
【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2， 所以M（2，2）或M（2，﹣2），
直线BM的方程：y=x+1，或：y=﹣x﹣1．
（2）证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
第15页（共18页）
联立直线l与抛物线方程得即y1+y2=2t，y1y2=﹣4，
，消x得y2﹣2ty﹣4=0，
则有kBN+kBM=+===0，
所以直线BN与BM的倾斜角互补， ∴∠ABM=∠ABN．
21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=aex﹣lnx﹣1． ∴x＞0，f′（x）=aex﹣， ∵x=2是f（x）的极值点， ∴f′（2）=ae2﹣=0，解得a=∴f（x）=
，
，
ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）=
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． 证明：（2）当a≥时，f（x）≥设g（x）=
﹣lnx﹣1，则
﹣lnx﹣1，
﹣，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0， 当x＞1时，g′（x）＞0， ∴x=1是g（x）的最小值点， 故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0， ∴当a≥时，f（x）≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐
第16页（共18页）
标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2． 故：
，
解得：k=或0，（0舍去）
．
故C1的方程为：
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，
由f（x）＞1， ∴
或
，
解得x＞，
故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），
第17页（共18页）
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜， ∴a＜ ∵＞2， ∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
第18页（共18页）
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