初中数学竞赛辅导资料(30)

概念的分类

甲内容提要

1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事

物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。

2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概

念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。 分别表示如下：

能被4整除能被3整除正整数偶数除以4余1整数零整数 整数除以3余1 整数

奇数负整数除以3余2除以4余2除以4余33. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对

象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。 例如 正整数按下列分类是正确的

质数正奇数正整数合数 正整数

正偶数1如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。

又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 所以三角形按边的大小分类

应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。

4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。 例如三角形

不等边三角形等腰三角形平面内两条直线位置相交不相交

实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。

5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念

的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。 例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形

又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：

三角形 等腰三角形 等边三角形 代数式

有理式

整式 单项6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。

例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:

直角三角形

偶数 有理式 锐角钝角三角三角 奇数 无理式 形形

7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。

例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；

等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:

乙例题30

例1.把一元一次不等式ax>b (a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。 解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：

ba0时，b不论何值xab ax>b的解集a0时，b不论何值x ab0时，解集是空集a0且b0时，解集是全体实数例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形

的各边长。

解：设底边长为xcm,则腰长是 当腰比底大时是

15-x

cm 2

15-x15-x－x=3 ∴x=3 ＝6 2215-x15-x 当腰比底小时是 x－=3 ∴x=7 =4

22答（略）

例3.化简① （(x1)(x1)－2 ②

221xy

解：①∵要使x1有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1

（(x1)(x1)－2 ＝x1＋x+1－2＝x1＋x－1 当－1≤x<1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0

当x≥1时， 原式＝x －1＋x－1＝2x－2 ②化去分母根式时，要乘以x当x=y 时

22y，当x=y 时，不能进行。故

1xy1＝

12x＝

＝

x 2x当x≠y时

xyxy

xy

例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数

求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除 （1986年全国初中数学联赛题）

分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可， 含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。 解：∵ a3b－ab3=ab(a+b)(a-b) , b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),

ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)

① 不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），

三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2； ② ∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。

若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5；

若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；

若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。 综上所述 a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。

丙练习30

1. 把下列概念分类（一种或几种）

① 实数 ②有理式 ③小于平角的角 ④平面内点与直线位置 2. 把一元一次方程ax=b (a,b是实数)的解分类。 3. 用二分法把下列概念分类（任举一例）

① 整数 ②方程 ③角 ④直角三角形 ⑤四边形 4. 指出下列概念分类的错误

平行正数平面内两直线的位置关系相交 有理数负数

垂直0一元一次 一元方程一元二次

一元三次5. 解方程和不等式

①xx2＝4 ②x2＞1－2x

6. 化简：①x12x1 ②

1a1

7. 已知等腰三角形的一个外角等于150，求各内角的度数。

8. 已知方程

1a0 无解，求a的值。 x2x2（1987年泉州市初二数学双基赛题）

9. 第一组5人，第二组m人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的2倍？ （1987年泉州市初二数学双基赛题） 10. x取什么值时，x2 –3x的值是正数？

a1a2a3ann11. 有n个整数其积为n,其和是0。即

aaaa023n1求证：n是4的倍数

12. 对任意两个整数a和b.，试证明：a+b,a-b,ab三个数中至少有1个能

被3整除

13. 关于x的方程x＝ax+2有根且只有负根，则a的取值范围是＿＿__ （1988年泉州市初二数学双基赛题）

14 试证每个大于6的自然数n都可以表示为两个大于1且互质的自然数的

和 提示：按奇数和偶数分类（1995年全国初中数学联赛题）