2018版高考数学 考点30 异面直线所成的角试题解读与变式

考点 30： 异面直线所成的角

【考纲要求】

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

【命题规律】

异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计 2018 年的

高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．

【典型高考试题变式】

（一）空间直线与直线夹角的问题

例 1.【2017 全国 3 卷（理）】 a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的

直角边 AC

所在直线与 a ， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线 AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 30 角；

②当直线 AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 60 角；

③直线 AB 与 a 所称角的最小值为 45 ；

④直线 AB 与 a 所称角的最小值为 60 ；

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】② ③

【解析】由题意知， a ， b ， AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，故 AC 1， AB

2，

边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1为半径 的圆．以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，

， CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D (1,0,0)， A(0,0,1)

直线 a 的方向单位向量 a

(0,1,0)， a 1 ． B 点起始坐标为 (0,1,0)，

1 ．设 B 点在运动过程中的坐标 B cos ,sin ,0 ，

- 1 -

直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0)， b

其中 为 B C 与 CD 的夹角， [0,2π)．

那么 AB '在运动过程中的向量 AB

( cos , sin ,1)， AB

2．

当 AB 与 a 夹角为 60 时，即

π 3

，

sin 2 cos

1 2 22 cos ．

3 2 2 1，所以 cos

2 2 1 ．所以 cos cos ．

2 2 2

因为 cos因为

2

sin 2

π

0, ．所以 = π ，此时 AB 与 b 夹角为 60 ．所以②正确，①错误．故填② ③. 2 3

【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则

化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平

移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.

【变式 1】【 改编例题中条件，求两直线的夹角】 【2016 浙江（文）】如图，已知平面四边形 ABCD，

5

AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°.沿直线AC 将 △ ACD 翻折成 △ ACD'，直线 AC 与 BD' 所

成角的余弦的最大值是______.

【答案】

66

【解析】试题分析：如图，连接 BD′，设直线 AC 与 BD' 所成的角为 ．

- 2 -

O 是 AC 的中点.由已知得 AC

6 ，以OB 为 x 轴， OA 为 y 轴，过O 与平面 ABC 垂直的

直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则

630

A(0, ,0)， B ( ,0,0)， C (0,

2 2

6

,0). 作 2

6

， 6

DH

CD 2 1

AC 于 H ，连接 D′H 翻折过程中，D'H 始终与 AC 垂直，则 CH

CA 6

1 5 30 6 30 6

， DH ， 因 此 D'( cos ,

66 3 6 3

则 OH

30

i n设 ) , s （

6

∠DHD′=α），

则 BD' (

30 30 6 30 uur

cos , , sin )，与 CA 平行的单位向量为 n (0,1,0) 6 2 3 6

，

z

D

D'

C

H O A y

B x

6

BD' n ，所以 cos 1 时， cos 取得最 ＝ 3 BD' n

9 5cos

所以 cos

cos BD' ,n

大值，为

66

．

【 变 式 二 】【 改 编 例 题 中 结 论 ， 求 解 动 态 问 题 】【 2017 浙 江 嵊 州 市 二 模 】 在 四 棱 柱

ABCD A B C D 中，1 平面 A1B1C 1D 1 ，底面 A1B1C 1D 1 是边长为 a 的正方形，侧AA

棱AA1 1 1 1

1

1

的长为 b ， E 为侧棱 BB 上的动点（包括端点），则（

）

- 3 -

A．对任意的 a ， b ，存在点 E ，使得 B D

E

1

C

1

B．当且仅当 a b 时，存在点 E ，使得 B D

1

EC

1

C．当且仅当 a b 时，存在点 E ，使得 B D

1

EC

11

D．当且仅当 a b 时，存在点 E ，使得 B D

EC

1

【答案】C

（二）异面直线的夹角

例 2.【2017 全国 2 卷（理）】已知直三棱柱 ABC

A1 B1 C1 中， ABC 120 ， AB 2 ，

BC

1，则异面直线

CC

1

AB 1 1与

BC 所成角的余弦值为（ ）.

2

15

B．

5

- 4 -

A．

3

10

C．

5

【答案】C

3

D．

3

【解析】 M ， N ， P 分别为 AB ， BB ， B C 中点，则 AB ， BC 夹角为 MN 和 NP 夹角或其

1

π

补角（异面线所成角为 0 ， ），可知 MN

2

1 1 1 1

1

AB 2 1

5 1 ， NP BC 2 2 1 2

， 2

作 BC 中点 Q ，则可知 △PQM

为直角三角形． PQ

1 ， MQ 1

AC

2AB BC cos ABC 4 1 2 22

1

△ABC 中， A AB

1 2 2 2

则

C MQ 7 CB

2

11

2，则 △MQP 中， MP MQ 2

PQ 2

5

2， 2

11

2

2

2

22 2

2

2

则 △PMN 中， cos PNM

NP 2

MNPM

2 MH NP

2

5 2 2 2

又异面线所成角为 0 ，π 10

2，则余弦值为 ．故选 C.

5

【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤

7 ， AC 10

5.

7

- 5 -

2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．

【变式 1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】【2017 届东北师大附中、哈尔滨师大附

中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥 P

ABCD 中， PA AB 2,E ,F 分别是 PB ,PC

）

的中点，则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为（

A.

3 6 1 1

B. C. D.

3 3 6 2

【答案】C

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知

A 2,0,0 ,E 0,

2

2 2 2 2 .,B0,2,0,F,0,．2 2 2 2

2 , 2

2 2, ，

2

则 AE

2

2, , ,BF

2 2

则 cos AE ,BF

AE BF

AE BF

1

1 1

１ 2

．故本题答案选 C．

1 1 1 1 ６ 2 2

2 2 2 2

- 6 -

【变式 2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】【2018 届河北省邢台市高三上学期第

二次月考】如图，在四棱锥 P

ABCD 中， PO 平面 ABCD ， E 为线段 AP 的中点，底

4a ，则异面直线 DE 与 PC 所成角的正弦值为（

）

面 ABCD 为菱形，若 BD 2a ， PC

2 5 5 3 1 A. B. C. D.

2 5 5 2

【答案】B

【解析】如图，

DB AC,DB

PO, DB 平面 PAC 从而 DO OE ，又

EO

11

PC 2a,DO DB a 所以 DE 4a2 a2 2 2

5a

故 sin DEO

OD

DE

a 5

，故选 B.

5a 5

- 7 -

【数学思想】

1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)

都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、

方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方

法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法

等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结

果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带

来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.

非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常

用到，一定要特别重视！

3.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；

（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；

（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问

题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的

途径；

（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.

4.转化与化归的基本类型

（1） 正与反、一般与特殊的转化；

（2） 常量与变量的转化；

（3） 数与形的转化；

（4） 数学各分支之间的转化；

（5） 相等与不相等之间的转化；

（6） 实际问题与数学模型的转化.

5．常见的转化方法

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；

- 8 -

（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；

（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；

（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过

一般化的途径进行转化；

（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；

（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合 A，而把包含

该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及补集获得原问题的解决.

立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将

几何问题转化成代数问题加以解决.

【空间角的范围处理错误注意点】

解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题.

【典例试题演练】

1．【2017 届河北省武邑中学五模】正四面体 ABCD 中， M 是棱 AD 的中点， O 是点 A 在

底面 BCD 内的射影，则异面直线 BM

与 AO 所成角的余弦值为（

A.

22

2 6

B.

3C.

4D.2

5

【答案】B

【解析】

如图，设正四面体的棱长是 1，则 BM3

2，高 AO 12 3 2

6

3

2

3，设点 M 在

- 9 -

）

底面内的射影是 N ，则 MN

1

2

AO

6

，所以 BMN 即为所求异面直线所成角，则 6

cos BMN

NM

BM

23

，应选答案 B。

2．【2017 届河南省六市高三下学期第二次联考】如图， G ， H ， M ， N 分别是正三棱

柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ， MN 是异面直线的图形的序号为（ ）

A. ①② 【答案】D

B. ③④ C. ①③ D. ②④

3．【2017 届四川省广元市高三第三次高考适应性统考】对于四面体 若

,有以下命题:① 的外心；②若

, 则点

,

,则点

在底面 在底面

内的射影是

内的射影是

的内心；③四面体

的 6 条棱长都为 1,则它的内切球的

的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体

表面积为

.其中正确的命题是( B. ③④

C. ①②③

)

D. ①③④

A. ①③ 【答案】D

- 10 -

【解析】

由题设 AB AC

AD ，故顶点 A 在底面内的射影是底面中心，故命题①是正确的；四面体

中的四个面中最多有四个直角三角形，如图，故命题③是正确的；对于命题②，如图，尽管

,

,点 在底面 内的射影不是 的内心，即命题②是错误的；

若四面体的 6 条棱都为 1，则它的体积为V

1 3 2

1

3 4

1

23 2 3 2 12

2

，又设内切

球的半径为 r ，则V

1 3

4 r 3 4 2

12

r

6

，则 S

12

4 r2 4

6 12

2

6

，即

命题④也是正确的。应选答案 D。

4．【2017 届山西省临汾市高三考前适应性训练】已知平面

，及直线 a,b 下列说法正确的是

（

）

所成角都是 30 ，则这两条直线平行

所成角都是 30 ，则这两条直线不可能垂直

平行

A. 若直线 a,b 与平面

B. 若直线 a,b 与平面

C. 若直线 a,b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面

D. 若直线 a,b 垂直，则这两条直线与平面

不可能都垂直

【答案】D

【解析】解：由题意逐一分析所给的选项：

若直线 a,b 与平面

所成角都是 30 ，则这两条直线不一定平行； 所成角都是 30 ，则这两条直线可能垂直；

不平行；

若直线 a,b 与平面

若直线 a,b 平行，则这两条直线中可能两条都与平面

若直线 a,b 垂直，则这两条直线与平面

不可能都垂直；

本题选择 D 选项.

- 11 -

5．【2017 届河北省张家口市高三上学期期末考试】三棱柱

中， 为等边三角形，

平面

， ， ， 分别是 ， 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）

A.

B. C. D.

【答案】C

【解析】

三棱柱

中，

，所以四边形

为等边三角形，如图： 的中点为 ，连结 为平行四边形，所以

， 在

，故选 C.

，则有 ，

，则

或其补角即为所求，不妨设

有

中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ：

6．【2018 届吉林省百校联盟高三 TOP20 九月联考】如图，在长方体 ABCD A BC D 中，

1 1 1 1

AB

2 ， BB

1

BC 1 ，点 P 是长方体外的一点，过点 P 作直线 l，记直线 l与直线 AC ，

1

2

BC 的夹角分别为 ，

1

，若sin

1

50 cos 140

2 ，则满足条件的直线l（）

A. 有 1 条

B. 有 2 条 C. 有 3 条 D. 有 4 条

【答案】D

【解析】由题意有： sin

1

50 cos 90 50

2

sin 50

2 ，

- 12 -

即： sin

1

50 sin

2

50 ，则

，考虑与直线1 2

AC ,B C 所成的角相同的直线，

1 1 1

其在平面 ADC B 内的射影应该平分 AC B ，这样的直线只有 1 条，

1 1

1 1

同理其补角也存在 1 条满足题意的直线，这样找到 2 条满足题意的直线，

同理，在 DAC 处也可以找到 2 条满足题意的直线；

1

综上可得：满足条件的直线 l有 4 条。

本题选择 D 选项.

7 ．【2017 届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】在正三棱柱

ABC A B C 中， AB 2BB ，则 AB 与 BC 所成角的大小为(

5 A. B. C. D.

6 3 12 2

1 1 1

1 1 1

)

【答案】D

【解析】以 A 为原点,在平面 ABC 中过 A 作 AC 的垂线为 x 轴,以 AC 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空

间直角坐标系如图所示，

设 BB1= 2 ,则 A(0,0,0), B

1

3,1, 2 ，

C 0,2, 2 , B

1

3,1,0 ，

1

A

B

1

3,1,2,C B 3, 1, 2 ,

AB C B 3 1 2 0 ，

1

1

∴AB1 与 C1B 所成角的大小.

2

为

本题选择 D 选项.

- 13 -

8．【2017 届陕西省西安安区第一中学高三 4 月模拟】如图所示是一几何体的三视图，正

视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，

且 AB BC 1 ，则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值是（ ）

A. 1

B. 2

C.

2 2 1 D.

2

【答案】C

【解析】

如图，取 AD 的中点 E ，连接 BE ,PE ,CE ，依题意得， BE //CD ，所以 PBE 为异面直 线 PB 与 CD 所成角，因为 PE 1,BE

2,PE BE ，所以 tan PBE

PE 2

，故选

BE 2

C.

9 ．【 2017 年 福 建 泉 州 新 世 纪 中 学 模 考 】 在 四 面 体 ABCD 中 ， 若 AB CD

3 ，

AC BD 2 ， AD BC

5 ，则直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ ）

D.

A.

1

3

B.

1 4

C.

1 4

1 3

【答案】D

【解析】如图所示，该四面体为长方体的 四个顶点，设 长方体的长宽高分别为 a,b,c ，则：

a2 b2 3 {a2 c2 b2 c2

a 1

2 ， 3

4 ，解得： {b 5 c

' 夹角的余弦值， 问题等价于求解线段 AB 与线段 C 'D - 14 -

1

结合边长和余弦定理可得：直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 。

3

本题选择 D 选项.

10．【2017 届四川省成都市高中毕业班第三次诊断检测】在我国古代数学名著《九章算术》中，

将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑

中， 平面 ，且

，则异面直线

与 所成角的余弦值为（ ）

A.

B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意，可补形成正方体如下图：

- 15 -

所以异面直线

与 所成角就是 与 所以角，而 为直角三角形，所以所成角为 ，

。选 A.

11．【2017 届山西省孝义市高三下学期考前热身训练】【在长方体 ABCD A BC D 中,

1 1 1 1

AA 1 A D

1

1

a,A B

1 1

2a ,点 P 在线段 AD 上运动,当异面直线 CP 与 BA 所成的角最大时,

1 1

则三棱锥 C

PA D 的体积为(

1 1

)

a3 A.

4

a3 B.

3 a3 C.

2

D. a 3

【答案】B

【解析】如图所示，连结CD ，则 DCP 成的

1

1

为锐角， DCP 即为异面直线 CP 与 BA 所

1

1

角 ， 很 明 显 ， 当 点 P 位 于 点 A 处 时 异 面 直 线 CP 与 BA 所 成 的 角 最 大 , 此 时

1

C P A D

1 1

3 A .本题选择 B 选项.

ADC 1

V

V

a 3

- 16 -

12．【2018 届广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考】如图所示，在四面体 A

BCD 中，若

截面 PQMN 是正方形，则下列命题中正确的是__________．(将所有正确答案序号填写到横 线上) ① AC

BD ；② AC //截面 PQMN ；③ AC BD ；④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 ．

【答案】①②④

13．【2017 届河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试】已知两平行平面 、

间的距离为

2 3 ，点 A、B

，点 C 、D ，且 AB 4,CD

3 ，若异面直线 AB 与 CD 所成角为

60°，则四面体 ABCD 的体积为__________． 【答案】6

【解析】设平面 ABC 与平面 交线为 CE，取 CE AB ,则 AB //CE ,CE

4, ECD 600

- 17 -

V

A BCD

A CDE

V

1 1

2 3 4 3 sin60 6. 3 2

14．【2017 届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考】如图，矩形 ABCD 中， AB 2BC 4 ，

E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻转成 A DE .若 M 为线段 AC 的中点，则在

1

1

ADE 翻折过程中：

① BM 是定值；②点 M 在某个球面上运动；

③存在某个位置，使 DE

AC ；④存在某个位置，使 MB 平面 A DE .

1

1

其中正确的命题是_________.

【答案】①②④

假设③正确，即在某个位置，使得 DE⊥A1C， 又矩形 ABCD 中， DE CE

2 2,DC 4 ，

CE 2 满足 DE 2

DC 2 , DE EC ，从而 DE⊥平面 A1EC，则这与 DE⊥A1E， DA1⊥A1E 矛盾.

所以存在某个位置，使得 DE⊥A1C 不正确，即③不正确.

- 18 -

综上，正确的命题是①②④

- 19 -