2017-2018学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学
试卷（理科）
副标题
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 2. 设命题p：∃x∈（0，+∞），sinx＞x，则￢p为（ ）
A. ∀𝑥∈(0,+∞)，sin𝑥<𝑥 B. ∃𝑥∉(0,+∞)，sin𝑥<𝑥 C. ∀𝑥∈(0,+∞)，sin𝑥≤𝑥 D. ∀𝑥∉(0,+∞)，sin𝑥≤𝑥 3. 下列函数求导函数正确的是（ ）
A. (2𝑥)′=𝑥⋅2𝑥−1 C. (𝑥)′=ln𝑥
1
B. (sin2𝑥)′=cos2𝑥 D. (𝑒−𝑥)′=−𝑒−𝑥
4. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，则P（x＞4）=
（ ） A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 5. ∫−2
0
√4−𝑥2dx的值是（ ）
A. 4𝜋 B. 2𝜋 C. 𝜋
D. 2
𝜋
M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，6. 如图，
⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ Q是MN的三等分点（Q靠近点M），则用向量𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，正确的是（ ） 表示𝑂𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑄𝑂𝐴+6⃗𝑂𝐵𝑂𝐶 A. ⃗36⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ B. 𝑂𝑄636⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑄𝑂𝐴+3⃗𝑂𝐵𝑂𝐶 C. ⃗63⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑄𝑂𝐴+3⃗𝑂𝐵𝑂𝐶 D. ⃗36
11
7. 甲乙两人罚球的命中率分别2，3，两人各分别罚球2次，则他们共命中3次的概率
为（ ）
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A. 6
1
B. 9
1
C. 12
1
D. 3
1
8. 设有下面四个命题：
p1：若实数a，b，c成等比数列，则b2=ac；
p2：x∈R，“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
p3：△ABC中，“若a＞b，则sinA＞sinB”的逆否命题是真命题；
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p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题．
其中为真命题的是（ ） A. 𝑝1，𝑝2 B. 𝑝2，𝑝3 C. 𝑝2，𝑝4 D. 𝑝1，𝑝3
9. 用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则
这样的五位数的个数是（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 20 10. （x-𝑥−1）4的展开式中，常数项为（ ）
1
A. −12
11. 已知双曲线C1：
𝑥2𝑎2B. −5
−
𝑦2𝑏2C. −11 D. 19
=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线
C1与抛物线C2：y2=4x有公共焦点，点A是双曲线C1与抛物线C2在第一象限的交点，且|AF2|=2，则双曲线C1的离心率为（ ）
A. √2 A. e
B. √2+1 B. 𝑒
1
C. √3+1 C. 2
1
D. √3 D. 2
12. 若直线y=kx+b是曲线y=ex-1的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则k=（ ）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
⃗ =（-4，2，m），且𝑎⃗ ，则m的值为______． ⃗ =（2，-1，2），𝑏⃗ ⊥𝑏13. 已知向量𝑎
14. 数列{an}满足：a1=4，a2=3，an+2=an+1-an（n∈N*），则a2019=______．
15. 随机变量ξ的取值为0，1，2，且P（ξ=0）=4，ξ的数学期望E（ξ）=1，则ξ的方
差D（ξ）=______．
16. 过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为3的直线l，交抛物线于A，B两点（A在第一象限），且|AF|=12，则抛物线C的焦点F到准线的距离为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 函数f（x）=ax3-x2+cx满足：当x=-1时，函数f（x）有极大值3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）的单调区间．
18. 如图，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆
心，r内是△ABC的内切圆半径，设S△ABC是△ABC的面积，l△ABC是△ABC的周长，
由等面积法，可以得到r内=𝑙
2𝑆△𝐴𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐶
1
𝜋
5
．
（Ⅰ）与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径R内公式（只写结论即可，不必写推理过程）；
（Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求三棱锥P-ABC的内切球半径．
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19. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，
且AD=DC=1，AB=2．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M是PB的中点，且直线MC与平面ABCD所成角的正切值等于2，求二面角A-MC-B的余弦值．
1
20. 已知椭圆C：
𝑥2
√2
=1ab0（＞＞）的离心率，短轴长为2． +𝑎2𝑏2
2
𝑦2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
F为椭圆C的右焦点，B两点，（Ⅱ）设O为坐标原点，过F的直线l与C交于A，
点M的坐标为（2，0），证明：∠OMA=∠OMB．
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21. 已知6只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液
化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验这3只，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则表明患病动物为另外3只中的1只，然后再逐个化验另外3只，直到能确定患病动物为止．
（Ⅰ）用X表示依方案甲所需化验次数，求X的期望；
（Ⅱ）若每次化验的费用是100元，从所需的化验的平均费用角度考虑，应该选择哪一种化验方法？ 22. 设l为函数f（x）=
𝑙𝑛𝑥𝑥
的图象在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：x＞0时，x（ex-2）＞lnx．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵（1+i）x=1+yi， ∴x+xi=1+yi， 即
，解得
，即|x+yi|=|1+i|=
，
故选：B．
根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键． 2.【答案】C
【解析】
解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈（0，+∞），sinx≤x， 故选：C．
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键． 3.【答案】D
【解析】
解：根据题意，依次分析选项： 对于A，（2x）′=2xln2，A错误； 对于B，（sin2x）′=2cos2x，B错误； 对于C，（
）=（x-1）′=-，C错误；
对于D，（e-x）′=-e-x，D正确 故选：D．
根据题意，依次计算选项中函数的导数，综合即可得答案．
本题考查导数的计算，涉及复合函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
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4.【答案】B
【解析】
解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.3413， 观察上图得，
∴P（X＞4）=0.5-P（3≤X≤4）=0.5-0.3413=0.1587． 故选：B．
根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题． 5.【答案】C
【解析】
解；设y=，（2＜x＜0），对应的图形为半径为2的圆在第二象限的部分，
则积分的几何意义为圆面积的， ∴故选：C．
根据积分的几何意义转化求对应区边形的面积即可．
本题主要考查积分的计算，对于无法使用积分公式进行求解的函数，则可以利用积分的几何意义求对应图形的面积即可． 6.【答案】A
【解析】
dx=×π×22=π，
解：∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点（Q靠近点M），
=，∴
=∴===-∴
=
=+
，
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，
==故选：A． 用向量
，
++．
，表示出，再由=，能求出结果．
本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 7.【答案】A
【解析】
解：根据题意得，甲乙共命中3次的概率 P=2××××（1-）+2××（1-）××=2×（故选：A．
运用相互独立事件的概率乘法公式可得结果． 本题考查相互独立事件的概率乘法公式． 8.【答案】D
【解析】
+）=
解：p1：若实数a，b，c成等比数列，则b2=ac，正确；
p2：x∈R，“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，不正确，由x＞1推不到x＞2，故不充分，反之成立， 应为必要不充分条件；
p3：△ABC中，“若a＞b，则sinA＞sinB”的逆否命题是真命题，正确，由于a＞b即2RsinA＞2RsinB，
即sinA＞sinB，其逆否命题与原命题等价，可得逆否命题正确； p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题不正确，可能p假q真． 故选：D．
运用等比数列中项性质，可判断p1；由x＞1推不到x＞2，可判断p2； 运用正弦定理，可判断p3；由p或q为真，必有一个为真，可判断p4．
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本题考查命题的真假判断，主要是等比数列中项性质和充分必要条件的判断、四种命题的关系和复合命题的真假，考查判断能力，属于基础题． 9.【答案】D
【解析】
解：按首位数字的奇偶性分两类： 一类是首位是奇数的，有：A22A33； 另一类是首位是偶数，有：（A33-A22）A22
则这样的五位数的个数是：A22A33+（A33-A22）A22=20． 故选：D．
按首位数字的奇偶性分两类，一类是首位是奇数，另一类是首位是偶数；分别利用乘法原理求得结果相加即得．
对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类． 10.【答案】B
【解析】
解：通项公式：Tr+1=r=0时，T1=1．
的通项公式为：Tk+1=
令r=2k，可得：
，
．
，r=0，1，2，3，4．
=（-1）kxr-2k．k≤r．
∴常数项为=1-12+6=-5． 故选：B．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.【答案】B
【解析】
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解：设点A（x0，y0），F2（1，0），可知|AF2|=x0+1=2．∴x0=1， ∴AF2⊥F1F2
在直角三角形AF1F2中，|AF2|=|F1F2|=2，∴AF由双曲线定义可得e=故选：B．
设点A（x0，y0），F2（1，0），可知|AF2|=x0+1=2可得x0，在直角三角形AF1F2中可得AF
，
，即可得e=
．
．
，
，
由双曲线定义可得
本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式． 12.【答案】C
【解析】
解：设y=kx+b与曲线y=ex-2的切点，曲线y=ex-1的切点 分别为（x1，e
）、（x2，e-1）；
∵y=ex-2，曲线y=ex-1， ∴y′=ex-2，y′=ex， ∴k=e
=e，
∴x1-x2=2，① 切线方程分别为y-e
=ex1-2（x-x1），即为y=e
x+（1-x1）e
，
或y-（e-1）=e（x-x2），即为y=ex+（1-x2）e-1， 解得（1-x1）e
=（1-x2）e-1，②
由①②解得x1=2，x2=0， 可得：2k+b=1且b=0， 则有k=．b=0， 故选：C．
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先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．
本题考查导数的运用：求切线的方程，正确设出切点和运用直线方程是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 13.【答案】5
【解析】
解：∵⊥，
=-8-2+2m=0， ∴
解得m=5． 故答案为：5． 由于
⊥
，可得
=0．
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题． 14.【答案】-1
【解析】
解：数列{an}满足：a1=4，a2=3，an+2=an+1-an（n∈N*）， 可得a3=-1，a4=-4，a5=-3，a6=1，a7=4，a8=3… 所以数列是周期数列，周期为6， a2019=a336×6+3=a3=-1． 故答案为：-1．
利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解a2019即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，周期数列的应用，考查计算能力． 15.【答案】2
【解析】
1
p+2q=1， 解：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，0×+1×解得p=，q=，
所以D（ξ）=（0-1）2×+（1-1）2×+（2-1）2×=． 故答案为：．
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结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得结果．
本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式． 16.【答案】6
【解析】
解：过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为A，B两点（A在第一象限），且|AF|=12， 可得A的横坐标：+6，可得p+6=12， 解得p=6，
抛物线C的焦点F到准线的距离为：6． 故答案为：6．
的直线l，交抛物线于
利用抛物线的性质，求出A的横坐标，通过|AF|=12，求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 17.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2-2x+c，
依题意，{
1
𝑓′(−1)=3𝑎+2+𝑐=0𝑓(−1)=−𝑎−1−𝑐=3
5
解得a=3，c=-3， 故f（x）=-x2-3x．
3𝑥3
（Ⅱ）f（x）=-x2-3x，f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
3
𝑥3
令f′（x）＞0得，x＜-1，或x＞3； 令f′（x）＜0得，-1＜x＜3，
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（3，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-1，3）． 【解析】
（Ⅰ）根据f′（-1）=0和f（-1）=，列方程组解得； （Ⅱ）令f′（x）＞0得增区间；令f′（x）＜0，得减区间． 本题考查了利用导数研究函数的单调性．属中档题． 18.【答案】解：（1）三棱锥的内切球半径公式：𝑟内=
分）
（2）三棱锥P-ABC的一个底面ABC的面积为
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3𝑉𝑆
． …………………（4
SPAB=2×1×1=2 …………………（5分）
三棱锥P-ABC的体积V=3𝑆𝑃𝐴𝐵×𝐶𝑃=3×2×1=6，…………………（7分） 三棱锥P-ABC的表面积
S=3×(×1×1)+×√2×√2×𝑠𝑖𝑛600=3+√3． ……………………（9分）
2
2
2
1
1
1
1
1
1
11
内切球半径𝑟内=【解析】
3𝑉
=𝑆
1
23+√32
=
3−√36
．． …………………………………（12分）
（1）根据平面与空间之间的类比推理，由内切圆类比内切球，
（2）由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可求解．
本题考查类比推理的应用，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
19.【答案】（Ⅰ）证明：取AB的中点为E，连接CE，则四边形AECD是正方形； ∴AC=√2，BC=√2，又AB=2，
AB2=AC2+CB2 可得：CB⊥AC
∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BC PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC BC⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：由题意：PA⊥AB，AD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AE．
∵ME∥PA，PA⊥底面ABCD，∴ME⊥底面ABCD， ∠MCE是直线MC与平面ABCD所成角． 可得2=tan∠MCE=𝐶𝐸=故ME=2．
从而可知A（0，0，0）．B（02，0），C（1，1，0），M（0，1，2）．
1
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀=(0，1，2) 𝐴𝐶
1
11
𝑀𝐸
𝑀𝐸1
，
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1
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑀=(0，−1，2) 𝐵𝐶=(1，−1，0)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ 设面AMC的法向量为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑚，=(𝑥1，𝑦1，𝑧1)， ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗ =𝑥1+𝑦1=0则{ 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀⋅𝑚⃗⃗⃗ =𝑦1+𝑧1=0
2
令x1=1， 可得𝑚⃗⃗⃗ =(1，−1，2) 设面BMC量为𝑛⃗ =(𝑥2，𝑦2，𝑧2)，
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶⋅𝑛⃗ =𝑥2−𝑦2=0则{，令x2=1，则𝑛⃗ =(1，1，2)． 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑀⋅𝑛⃗ =−𝑦2+𝑧2=0
2
cos＜m，n＞=|𝑚|⋅|𝑛|= 3
因二面角A-MC-B的平面角为钝角， 所以二面角A-MC-B的余弦值为−3． 【解析】
2
⃗⃗⃗ ⋅𝑛𝑚⃗⃗ 2
（Ⅰ）由题意，AD=DC=1，AB=2．ABCD的底面为直角梯形，取AB的中点为E，连接CE，可得AECD是正方形；
即可证明BC⊥AC．PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，即可平面PBC⊥平面PAC； （Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用
2，a2-b2=c2， 20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，2b=2，e=𝑎=√2
𝑐
解得a=√2，b=c=1， 椭圆C的方程为+y2=1；
2𝑥2
（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆C的右焦点为F（1，0）， 设直线l：x=my+1，
设直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立椭圆x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
△=4m2+4（2+m2）＞0恒成立， y1+y2=-2+𝑚2，y1y2=-2+𝑚2 kAM+kBM=𝑥
𝑦1
1
2𝑚1
+−2𝑥
𝑦2
2−2
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==
𝑦1(𝑥2−2)+𝑦2(𝑥1−2)𝑦1(𝑚𝑦2−1)+𝑦2(𝑚𝑦1−1)(𝑥1−2)(𝑥2−2)
=(𝑥1−2)(𝑥2−2)
2𝑚𝑦1𝑦2−(𝑦1+𝑦2)(𝑥1−2)(𝑥2−2)
，
1
2𝑚
由2my1y2-（y1+y2）=2m•（-2+𝑚2）-（-2+𝑚2）=0， 可得kAM+kBM=0， 则∠OMA=∠OMB． 【解析】
（Ⅰ）由题意可得b=1，运用椭圆的离心率公式和基本量的关系，即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）求得焦点F的坐标，设直线l：x=my+1，设直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算kAM+kBM=0，即可得证．
本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）依方案甲，X可以为1，2，3，4，5．
P（X=1）=𝐶161𝐶1
1=6，P（X=2）=5=，
𝐶1𝐶16
65
1
𝐶1𝐶1
1
P（X=3）=
1𝐶1𝐶1
𝐶541654
431432
=，P（X=4）=5=，P（X=5）=5=． 𝐶1𝐶1𝐶16𝐶1𝐶1𝐶1𝐶16𝐶1𝐶1𝐶1𝐶13
6543
6543
1
𝐶1𝐶1𝐶1𝐶1
1
𝐶1𝐶1𝐶1𝐶1
1
∴X的期望E（X）=1×6+2×6+3×6+4×6+5×3=
1𝐶2𝐶153𝐶6
1𝐶1
3
𝐶5
1𝐶13
1𝐶2𝐶153𝐶6
1𝐶2
3
𝐶5
11111103
；
（Ⅱ）用Y表示依方案乙所需化验次数，Y可以为2，3． P（Y=2）=
⋅
𝐶3
1+
𝐶61
3⋅
=，P（Y=3）=𝐶13
2
8
1
⋅
𝐶3
1+
𝐶6
3⋅
1𝐶21𝐶3
=，
3
2
Y的期望E（Y）=2×+3×=．
333依方案甲，化验的平均费用是∵
8003
10003
元；依方案乙，化验的平均费用是8003
元．
＜
10003
，∴应该选择方案乙．
【解析】
（Ⅰ）依方案甲，X可以为1，2，3，4，5．利用古典概型概率公式求得概率，再由期望公式求得期望；
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（Ⅱ）用Y表示依方案乙所需化验次数，Y可以为2，3．求出E（Y），得到两种方案所需的化验的平均费用，比较得答案．
本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望，是中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=
1−𝑙𝑛𝑥𝑥2
，…………………………………………………（2
分）
切线斜率k=f′（1）=1，……………………………………………………（3分） 所以l的方程为y=x-1． …………………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：原不等式等价于ex-2＞
𝑙𝑛𝑥𝑥
，
．…………………………（5分）
考虑证明：x＞0时，ex-2＞x-1且x-1≥
𝑙𝑛𝑥𝑥
构造g（x）=ex-2-（x-1）=ex-x-1，g′（x）=ex-1，……………………（6分）
x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，………………（7分）
g（x）＞g（0）=0，即：ex-2＞x-1，①………………（8分） 构造φ（x）=x-1-𝑙𝑛𝑥𝑥
，φ′（x）=
𝑥2−1+𝑙𝑛𝑥
𝑥2
，………………（9分）
当0＜x＜1时，x2-1＜0，lnx＜0，所以φ′（x）＜0，故φ（x）单调递减；
当x＞1时，x2-1＞0，lnx＞0，所以φ′（x）＞0，故φ（x）单调递增．……（10分） 所以，φ（x）≥φ（1）=0，即x-1≥综合①②，可知x＞0时，ex-2＞【解析】
𝑙𝑛𝑥𝑥
．…………②…………………（11分）
𝑙𝑛𝑥𝑥
，x（ex-2）＞lnx． ………………（12分）
（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出切线方程即可； （Ⅱ）问题等价于ex-2＞
，构造函数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．
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