因式分解

一、知识互动

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；也叫做把这个多项式分解因式。

【注】每一个因式都要分解到不能再分解为止；

因式分解的结果要与原式相等，且几个相同因式的积要写成幂的形式；

因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形。

2、提公因式法

（1）公因式：多项式中各项都含有的公共的因式叫做多项式的公因式

【注】公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是多项式；

找公因式的步骤：数字系数——各项系数的最大公约数作为公因式的数字因式

字母及其指数——各项中相同的字母作为公因式的字母，且字母的指数取各项

1

最低的指数。

（2）提公因式法：如果多项式的各项都有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

【注】提公因式的步骤：

a、找公因式；

b、提公因式并确定另一个因式：可用多项式除以公因式，所得的商即是。

提取公因式后，不要漏掉另一个因式中商是1的项。

二、例题讲解

例1 下列由左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？说明理由。

22（1）a(xy)axay （2）x2xyy1x(x2y)(y1)(y1)

2ax（3）9aa(x3)(x3) （4）

x22112(x)2xx

3（5）2a2aaa

2

例2 分解因式：

132aba2b33524（1）75ab25ab （2）12xy8xy2xy （3）2

4243例3 分解因式：（1）6q(pq)4p(pq) （2）5a(a2b)10b(2ba)

325(xy)15(xy)10(xy) （3）

2xy例4 因式分解：2xy2y4

三、课堂反馈

1、（1）下列变形是因式分解的是（ ）

22a2abb1b(b2a)(a1)(a1) x(ab)axbxA、 B、

111111am2aa(m)(m)a221(a)(a)1422 D、bbbC、

（2）下列变形属于因式分解的是（ ）

22(x1)(x1)x1xA、 B、2x1x(x2)1

3

22ab(ab)(ab) D、mxmynxnym(xy)n(xy) C、

223x2、分解因式：（1）9xyx （2）8ab4ab2a

53423432 （3）12ab8ab2ab （4）4m16m26m

135xyzx8y2z32332 （5）3 （6）4mn12mn2mn

225a(a2b)10b(2ba)3x(ab)2y(ab)3、分解因式：（1） （2）

14(xy)3(yx)2322a(ab)2a(ba)2ab(ba) 2 （3） （4）

4、因式分解：abab1

因式分解——（Ⅱ）平方差公式

一、知识互动

22平方差公式：ab

即：

4

【注】运用平方差公式的条件是多项式可以写成两个数的平方差的形式

二、例题讲解

例1 把下列各式分解因式：

22224416x25ya4b（1） （2） （3）mn

2222(am)(an)9(xy)49(xy)例2 分解因式：（1） （2）

三、课堂反馈

1、因式分解：

12b16 （3）16a4b4

（1）x36y （2）

22a2222(ab)1(x2y)9(xy)2、因式分解：（1） （2）

2281(xy)121(xy) （3）

因式分解——（Ⅲ）完全平方公式

5

一、知识互动

22221、a2abb ； 2、a2abb 。

二、例题讲解

例1 分解因式：

（1）4a212ab9b2 （3）4x212xy9y2 例2 分解因式：（1）a46a29

（2）4(a1)220(a1)(b1)25(b1)2

（3）

(x22x)22(x22x)1 例3 分解因式：（1）3ax26ax3a （3）(p4)(p1)3p （2）9x212x4

2（4）3x24x6

（2）4a3b25ab3

6

121aabb22的值 例4 先化简再求值：已知ab2，求222例5 求满足mn2m6n100的m,n的值。

三、课堂反馈

2221、分解因式：（1）4a20ab25b （2）a12a36

（3）

m2m1224 （4）3x6xy3y

2（5）已知4xbx9是完全平方式，则b ；

29x12xym可分解为两式和的平方式，则m ； （6）已知

22（7）若a8am是完全平方式，则m ；

1x1x24的值（ ） （8）已知x为任意有理数，则多项式

A、一定为负数 B、不可能为正数 C、一定为正数 D、可能为正数或负数或零

422、分解因式：（1）a8a16

7

22(ac)14(ac)(bc)49(bc) （2）

222(y2y)2(y2y)1 （3）

22332232n(mn)2m(mn)(mn)ab12ab36ab3、分解因式：（1） （2）

22222(ab)4(ab)4(ab)(xy)(x1)xyy（3） （4）

222（5）(ab)4ab （6）8(x2y)x(7xy)xy

2(ab)kab是完全平方式，则k ； （7）若

2222(a6ab9b)(a3b)(4a9b)(2a3b)，其中4、（1）化简求值

a3,b12

22010(a2b)2a4b10(a2b)（2）已知，求的值。

225、（1）若ab4a2b50，求ab的值；

22x2xyy4 （3）因式分解：a2b22a1 （2）因式分解：

22222（4）因式分解aabb （5）因式分解：a2abbc2c1

8

22(6)因式分解：96a6ba2abb

2因式分解——（Ⅳ）形如x(pq)xpq型代数式的因式分解

一、知识互动

2我们称x(pq)xpq(xp)(xq)为二次项系数是1的二次三项式的因式分解法，利用这个公式可

以直接对某些二次项系数是1的二次三项式分解因式

【注】该公式的特点二次项系数是1；

常数项是两个数的积；

一次项系数是常数项两个因数的和

④当pq时，此公式就是完全平方公式。

二、例题讲解

222例1 分解因式：（1）xx12 （2）x4x12 （3）x11x12

三、课堂反馈

9

分解因式：

22（1）x3x2 （2）x3x18

22（3）x3x4 （4）x3x28

2（5）3x3x6

配方法

一、知识互动

2配方法：对于形如xbxc的二次三项式，我们都可通过配方得：

b24cb2xbxc(x)24

222a(xm)n的形式： x4x1例如：将二次三项式写成

二、例题讲解：

10

42例1 因式分解：x6x27

22例2 已知ab4a6b130，求a,b的值。

三、课堂反馈

41、因式分解：a

2、（1）已知实数a,b满足条件：

a24b2a4b504，求ab的平方根；

1a2ab28b1602[(2ab)(2ab)(b2a)6b]2b的值。 4（2）已知，求

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