八上数学提高部分专题

2010年元月初二年级寒假（B级作业） 1. 某电视台在黄金时段的120秒钟广告时间内，正好插播长度为15秒和30秒的两种广告。15秒广告每播一次收费0.6万元，60秒广告每播一次收费1万元。若电视台从得到收费4.4万元，问电视台插播两种广告的次数分别是多少？

2. 如图，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿AD对折，点C落在点E的位置，连接BE，若BC＝6cm。 E（1）求BE的长；

（2）当AD=4cm时，求四边形BDAE的面积。

3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y123ABCDx2与x轴、y轴分别相交于点A

和点B，直线y2kxb (k0)经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．

（1）求△ABO的面积；

（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等， 求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

yy1BOCy2PAx

★4. 如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4。

（1）求梯形BCFG的面积；

（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②.

①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B2的值；

②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S。

AGF

AGC(E)G'FCEB(D)

图①BD图②备用图

5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数yxm (m0)的图象，直线PB是一次函数y3xn (nm)的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数； （2）若四边形PQOB的面积是与PB的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

★6. 已知如图，直线y3x43与x轴相交于点A，与直线y3x相交于点P． ①求点P的坐标．

②请判断OPA的形状并说明理由．

③动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求： S与t之间的函数关系式．

y P 112，且CQ:AO=1:2，试求点P的坐标，并求出直线PA

yCQPAOBx

B O E F A x

7. 如图，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2，再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3，„，则AD1＋D2D3＋D4D5＋D6D7＋D8D9= ，D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= .

B D1

D3

D5

A

D2 D4 C

★8. 正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）。 48

①直线y=x-经过点C，且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积；

33

②若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l的解析式， ③若直线l1经过点F2.0且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移个单位

323交x轴于点M,交直线l1于点N,求NMF的面积.

9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长

线于点E，∠B2∠E． （1）求证：ABDC； （2）若过点A作AN⊥BE于N且

ANBN2，AB5，求边BC的长．

A D B C E

10.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？不需证明 .

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

4312x与直线l2:ykxb相交于点A，点A

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1： y的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且∣OA∣=（1）试求直线l2的函数表达式；

∣OB∣。

（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D。试求⊿BCD的面积。

012. 如图，已知菱形ABC1D1的边长a11cm,D1AB60,则菱形AC1C2D2的边长a2=

cm，四边形AC2C3D3也是菱形，

„如此下去，菱形AC5C6D6的边长a6= cm。

★13. 如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M, MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，连结PR交QM于点S。 （1）求证：四边形PQRM为矩形；

（2）若OP1PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由。

2

★14. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标分别为(2,23)，点E

是BC的中点，点H在OA上，且AH=1，过点H且平

2行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点。 （1）求∠CEF的度数和点D的坐标； （2）求折痕EF所在直线的函数表达式； （3）若点P在直线EF上，当⊿PFD为

等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个？ 请求出点P的坐标，并写出解答过程。

15. 平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C 两点以相同的速度 1cm/s 向C、A运动 (1)四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；

(2)若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF是矩形？

16. 某商场购进物品后，加价50%作为销售价。商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款450元，两种商品原销售价之和为525元，两种商品的进价分别为多少元？

17. 已知线段AC=8，BD=6．

（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图17—1、图17—2和图17—3中的四边形ABCD

的面积分别为S1，S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ；

B O 5 C 图17—1 A 3 D B O 4 C 图17—2

B A 4 D O C 图17—3 A 6 D 2 （2）如图17—4，对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A，C，B，D重合)

的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； （3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，

A所围成的封闭图形的面积是多少？

A

B O D

C 图17—4

18. 如图，直线AB与x轴，y轴的交点为A，B两点，点A，B的纵坐标、横坐标如图所示．

(1)求直线AB的表达式及△AOB的面积S△AOB．

(2)在x轴上是否存在一点，使S△PAB=3？若存在，求出P点的坐标，若不存在，

y 说明理由．

2 A O B 4 x

20. 小靓家最近购买了一套住房。准备在装修时用木质地板铺设居室。用瓷砖铺设客厅。经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样，小靓根据地面的面积，对铺设居室和

２

客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用ｘ（ｍ）表示铺设地面的面积，用ｙ（元）表示铺设费用，制成如图所示，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题

（１）预算中铺设居室的费用为＿＿＿＿＿元/ｍ²，铺设客厅的费用为＿＿＿＿元/ｍ²； （２）表设铺设居室的费用ｙ元与面积ｘ（ｍ²）之间的函数关系式为＿＿＿＿＿＿＿。表示铺设客厅的费用ｙ（元）与面积ｘ（ｍ²）之间的关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （３）已知在小靓的预算中。铺设１ｍ²的瓷砖比铺设木质地板的工钱多５元；购买１ｍ²的瓷砖是购买１ｍ²木质地板费用的３/４。那么，铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？

居室 ４０５０ ２７５０ 客厅

L0 ２５ ３０ x

21. 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若

矩形以每秒 2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．

（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；

（2）设P点运动时间为t（秒）。

①当t＝5时，求出点P的坐标；

②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的

取值范围）．

22. 如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形

A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2„„如此进行下去得到四边形AnBnCnDn .

（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长.

23. 四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.

(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图①)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.

已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①）； 求证：S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.

A 证明：

(2)在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论， 并证明：若不能，说明理由.

A D ②

O

C B

B ①

O C

D

A1 B A2 B1 D3 A3 B2 C A D2 C3 C2 B3 C1 D D1 „

24. 观察下列各式及验证过程：

12131223，验证：38415524121312322312341345145621223； 3131415381111()23431111()341111()4565，验证：，验证：，验证：

111()234111()345111()456234434556222； 415524； ；

（1）按照上述四个等式及其验证过程的基本思路，猜想

111()的变形结果并进行验证； 567（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n1为整数）表示的等式，并进行验证。 ★25. 如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点。

（1）请画出旋转后的图形，你能说出此时△ABC以点B为旋转中心旋转了多少度吗？ （2）求出PG的长度？

（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由？ （4）请你计算出BGC的角度？

26. 如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F。

(1) 请说明EO=FO；

(2) 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

APDBC

27. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月租费用y1元，应付给出租车公司的月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象如图，观察图象回答下列问题：

(1) 每月行驶的路程在什么范围内时租国营公司的车合算？

(2) 每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同？

(3) 如果这个单位估计每月行驶的路程为2 300 km，那么这个单位租哪一家的车合算？

28. 已知如图所示的坐标系中两直线l1、l2的交点坐标，可以看作哪个方程组的解?

29. 某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示： 现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行)。

销售方式 每吨获利(元)

(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格： 销售方式 获利(元) 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售 直接销售 100 粗加工后销售 250 精加工后销售 450 (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间?

30，当x23时，求代数式(743)x2(23)x3的值。

31. 在ΔABC中，AB=AC

（1）如图1，如果AD是BC上的高，∠BAD=30°，AD=AE，则∠EDC=__________ （2）如图2，如果AD是BC上的高，∠BAD=40°，AD=AE，则∠EDC=__________ （3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：____________________

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有， 请你写出来，并说明理由（6分）

32. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=2，AB=BC=4，在线段AB上有一动点E，设BE=x，△DEC的面积 S△DEC=y，

（1）你能找出y与x的函数关系吗？（若能写出函数关系式，就给出自变量x的取值范围） （2）S△DEC可能等于5吗？

ADEBDCBDECBDECAAAEBC

33. 如图所示,点E是正方形ABCD内一点,且保证△ABE为等边三角形,连结ED,CE, 则图中

有4个等腰三角形,即△ABE,△BEC,△EDC,△AED.请再想一想,在正方形内,还有像这样的点保证以上所提到的四个三角形均为等腰三角形吗?若有,有几个? 请画出图形,在正方形所在的平面上还有这样的点吗?也请画出你认为正确的图形.

DECAB

34. 如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，AB∥DE，BD∥AE． 甲乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F； 乙乘2路车，路线是B→D→C→F．假设两车速度相同， 途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．

★35. 已知等边△ABC和等边△ADE摆放如图1，点D,E分别在边AB,AC上，以AB,AE为边作平行四边形ABFE，连接CF,FD,DC。 （1）证明△CFD为等边三角形；

（2）将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，如图2，其他条件不变，证明△CFD为等边三角

C 形。 C

F 36.

37.(08年深圳) 如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的

延长线于点E，且∠C＝2∠E．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

ED图 5ABEADFBCE F

D E

B D

A B A

边数.

一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形，其内角和四2520°，求原多边形的

C

38.“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．

（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已．．知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．

（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？

39. 已知a1a99 11231223,a212341338,a3134514415则,...,依据上述规律，

．

40．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则

图c中的∠CFE的度数是 ．

A B A

41. (09深圳) 迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

42. 如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1x和y22x6,动点P（x,0）在OB上运

（0x3）动，过点P作直线m与x轴垂直。

E

A 图a

FA

DA C

A BA EA G图bB DA FCCA A

BA

EA G图c B

DBC

FC

⑴求点C的坐标，并回答当x取何范围的值时y1y2?

⑵设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式。 ⑶当x为何值时，直线m平分△COB的面积？

43. 如图，已知E是正方形ABCD的一边AB上任意一点，EG⊥BD于G，

EF⊥AC于F，若AC=10厘米，求EF+EG的长？

44.如图，在菱形ABCD中，ADC72，AD的垂直平分线 交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB_____度．

45. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AE=ED，BF=FC， 猜测三条线段AB、CD、EF之间的数量关系： .

46. 如图，边长为2的等边△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转60°时，点A的对应点的 坐标____________ .

47. 如图，M,N分别 ABCD的对边AD，BC的中点，且 AD=2AB，连接AN,BM,交于点P,连接DN,CN,交于点Q， 求证：四边形PMQN是矩形

B

48. 如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换， 巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1) 分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的 轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC 相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

E B D E P C

A B

APNA MQCDF D C (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

G

49.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是

50. 已知：如图，在正方形ABCD中， BC=4，BE=DF=1。

1） 问：线段CF、CE有何关系？并说明理由； 2） 分别以AB为横轴、以AD为纵轴建立直角坐标系， 求直线EF的解析式；

3）连接AC交EF于G点，求：△AEG的面积。

51.如图，在ABC中，D为BC中点，DEDF. （1）若A90，试说明：EF

（2）若A90时，请判断EF2与BE的大小关系，并说明理由.

52.如图，A、B两个村庄在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10km，BD30km，且CD30km，

（1）现在要在河边建一自来水厂，向A、B两村供水，铺设水管的费用为每千米3万元. 请你在河流CD上选择水厂的位置M，分别向A、B两个村庄铺设水管，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用；

（2）能不能铺设一条更加节省铺设管道的费用，如果能，求出铺设管道的总费用.

A C D L

B

B22

AEFBDAEFDCBE2CF2；

CCF2

53.如图，E、F是正方形ABCD边上的点， ∠EAF=45° 求证：BE+DF=EF

.如图，E、F是正方形ABCD边上的点， AF平分∠EAD 求证：BE+DF=AE

55．如图，点D由B向A运动，

当t=________时，四边形DECF是正方形.

56. 已知：y2x112x2x

求xy的值。

57. 已知：a52102ab4

求3a4b的值。

2009201058. 计算：（638）（638）

59. 已知：3y1与

3ADFBECADFBEC12x互为相反数，求xy的值。★60. 以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB与△OHI的面积比值是

A．32 B． C C．128 D．256

B D O I E H F G

A