一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

一．知识要点

二次方程ax2bxc0的根从几何意义上来说就是抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax2bxc0的实根的情况，可从yax2bxc的图象上进行研究．

若在(,)内研究方程ax2bxc0的实根情况，只需考察函数yax2bxc与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由yax2bxc的系数可判断出,x1x2,x1x2的符号，从而判断出实根的情况．

若在区间(m,n)内研究二次方程ax2bxc0，则需由二次函数图象与区间关系来确定．

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分况布情大致图象（两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10x2 x10,x20 x10,x20

a0）得论出的结大致图象（ 0b 02af00 0b 02af00 f00 a0） 0b 02af000 b02aaf00 0 b02af00 得出的结论f00 （不综讨合论结a论） 0 b02aaf00af00 1

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表二：（两根与k的大小比较）

分布情况两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个大于k即 x1k,x2k x1k,x2k x1kx2 a0） a0） 大致图象（k kk 得出的结论0bk 2afk00bk 2afk0fk0 大致图象（得出的结论0bk 2afk00bk 2afk0fk0 综合结论（不讨论a0bk 2aafk00bk 2aafk0afk0 ）

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表三：（根在区间上的分布）

分布情况两根都在m,n内 两根有且仅有一根在m,n内 一根在m,n内，另一根在p,q（图象有两种情况，只画了一种） 内，mnpq a0） a0） 大致图象（得出的结论0fm0fn0 bmn2afmfn0 fm0fn0fmfn0或 fpfq0fp0fq0 大致图象（得出的结论0fm0fn0 bmn2afmfn0 ffffm0n0fmfn0或 fpfq0p0q0 综合结论（不讨论 fmfn0 fmfn0 fpfq0a）

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根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）需满足的条件是

fm0fm0（1）a0时，； （2）a0时，

fn0fn0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：

1 若fm0或fn0，则此时fmfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为

m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程

mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为

f10，所以

mx2m2x2x1mx2，另一根为

222，由13得m2即为所求； mm32 方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再

将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x24mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f3f00即

1532；②由0即16m42m60得出m1或m，14233当m1时，根x23,0，即m1满足题意；当m时，根x33,0，故m不满

2215足题意；综上分析，得出3m或m1

1414m15m30得出3m

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二．例题选讲

（1）两个根在实数k的同一侧

例1．已知方程4x2(m1)x(2m3)0(mR)有两个负根，求m的取值范围．

变式1：已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。

变式2：已知二次方程mx2(2m1)xm20的两个根都小于1，求m的取值范围．

（2）两个根在实数k的异侧

例2：已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

变式1：已知二次函数ym2x2m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，

22求实数m的取值范围。

变式2：求实数m的范围，使关于x的方程x2(m1)x2m60． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根,，且满足014． （３）至少有一个正根．

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变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

（3）在区间(m,n)有且只有一个实根

例3．已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。

变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

（4）在区间(m,n)有两个实根

例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．

变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．

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（5）在区间[m,n]有实根

例5．已知a是实数，函数f(x)2ax2x3a，如果函数yf(x)在区间11，上有零点，求a的

2取值范围．

（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y =

x2-3x+2x+1

(1例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．

例6.3．设关于x的方程42xx1b0(bR），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

变式：已知方程m22x(2m1)2xm0在(,1)上有两个根，求m的取值范围．

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三．巩固练习

1．已知二次方程(3m1)x2(2m3)xm40有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．

2．已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有且只有一个实根属于（1，2），且x1,x2都不是方程的根，求m的取值范围．

3．已知二次方程(m1)x2(3m4)x(m1)0的两个根都属于（–1，1），求m的取值范围．

4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．

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答案： 二．例题选讲

（1）两个根在实数k的同一侧

例1．已知方程4x2(m1)x(2m3)0(mR)有两个负根，求m的取值范围． 解：依题意有

24(m1)244(2m3)0(m1)0 m11． 2m30变式1：已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 解：由

02m18m0m1m322或m322m1    0  22m0m0f000m322或m322即为所求的范围。

变式2：已知二次方程mx2(2m1)xm20的两个根都小于1，求m的取值范围． 解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为

(2m1)24m(m2)0 m[m(2m1)m2]02m112m(1)(2) (3)3737][,)． 44（1）即为8m212m10，它的解集是(,（2）即为m(2m1)0，它的解集是(,)(0,)． （3）的解集是(,0)(,)．

1214137,)． 所以，m的取值范围是(,)[24解二：二次方程mx2(2m1)xm20有两个根的充要条件是0．

设两根为x1,x2，由于x1,x2都小于1，即x110,x210，其充要条件为：

(x11)(x21)0 

(x1)(x1)021

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即 x1x220

xx(xx)101212因此，方程两个根都小于1的充要条件是：

(2m1)24m(m2)02m120  mm22m110mm以下同解法一（略）．

解三：令yx1，原方程转化为m(y1)2(2m1)(y1)m20，即

my2(4m1)y2m10 （*）

因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是：

04m1 0

m2m10m同样可求出m的取值范围（略）．

（2）两个根在实数k的异侧

例2：已知二次方程2m1x2mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2解：由 2m1f00 即 2m1m10，从而得21m1即为所求的范围。 2变式1：已知二次函数ym2x2m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由 m2f10 即 m22m10  2m21即为所求的范围。 2变式2：求实数m的范围，使关于x的方程x2(m1)x2m60． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根,，且满足014． （３）至少有一个正根．

解：设yf(x)x2(m1)x2m6．

（１） 依题意有f(2)0，即44(m1)2m60，得m1．

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（２） 依题意有

f(0)2m6075 f(1)4m50 解得：m．

f(4)10m140 （３）方程至少有一个正根，则有三种可能：

m1或m50m3 ①有两个正根，此时可得f(0)0，即3m1． 2(m1)m102 ②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)0，得m3．

③有一个正根，另一根为０，此时可得62m0 m3．

2(m1)0 综上所述，得m1．

变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

解：∵f(0)=1>0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

0(2）当m>0时，则3m解得0＜m≤1

0m

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

（3）在区间(m,n)有且只有一个实根

例3．已知二次方程mx2m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。

2解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0f10  43m10  m1即3为所求范围。

变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则

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1m2f(0)2m10,f(1)20,mR,511  m， 62f(1)4m20,m2,f(2)6m50m56∴实数m的范围是(,).

（4）在区间(m,n)有两个实根

例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组

56121m,f(0)0,2f(1)0,1m1,  - △≥0 4(2a-1)2 – 8(a+2)≥0 f(-3)>0 18+6(2a-1)+a+2>0 f(3)>0  18-6(2a-1)+a+2>0

2a-12a-1 -3< <3 -3< <322143-21 3+21 26 - 134411

∴ 实数m的范围是(,12].





故a的取值范围是 (-

143-21 3+21 26 , ] ∪[ , )． 134411

变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取

值范围．

解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满15

足 -3<2-3m<3  - 33（6）在区间[m,n]有实根

例5．已知a是实数，函数f(x)2ax2x3a，如果函数yf(x)在区间11，上有零点，求a的

2取值范围．

解析1：函数yf(x)在区间[-1，1]上有零点，即方程f(x)2ax22x3a=0在[-1，1]上有解，

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a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f(1)f(1)0或

af(1)0af(1)03737或a5a或a≥1. 48a(3a)01a5或a221[1.1]a37或a≥1. 2解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又

所以实数a的取值范围是a12x21∴f(x)2ax2x3a=0在[-1，1]上有解，(2x1)a32x在[-1，1]上有解在[-1，1]

a32x222x21上有解，问题转化为求函数y[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x3t，

32x1(t3)2217t∈[1,5],y(t6)，

2t2t7t27设g(t)t.g'(t)2，t[1,7)时，g'(t)0，此函数g(t)单调递减，t(7,5]时，g'(t)>0,此函数g(t)

tt单调递增，∴y的取值范围是[73,1]，∴f(x)2ax22x3a=0在[-1，1]上有解或a37。 21∈[73,1]a1a

（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y =

x+1

(1x2-3x+2

解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1,

yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ① 由题意，关于x的方程①在(1,2)上有实根．

易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程①在(1,2)上有实根当且仅当

 △≥0

 1<3y+1 <2 ，解得y≤-5-26 . 2y

∴ 原函数的值域为 (-, -5-26 ].

例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．

解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：

x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ①

由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当

△≥0

m+1 m2-6m+1≥0 0< <14f(0)·f(1)<0或  m<0或  -1 m>0 f(0)>0

f(1)>0



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故m的取值范围为 (-, 0)∪(0, 3-22 ]. 例6.3．设关于x的方程42xx1b0(bR），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

分析：可用换元法，设2t，原方程化为二次方程t2tb0，但要注意t0，故原方程有解并不等价于方程t2tb0有解，而等价于方程t2tb0在(0,)内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于x的方程af(x)有解，则af(x)的值域．

解：（1）原方程为b42xx1x222，

4x2x1(2x)222x(2x1)211，

当b[1,)时方程有实数解；

（2）①当b1时，21，∴方程有唯一解x0；

x2x②当b1时，(21)1b211b.

x2x0,11b0,2x11b的解为xlog2(11b)；

令11b01b11b0,

当1b0时,2x11b的解为xlog2(11b)；

综合①、②，得

1）当1b0时原方程有两解：xlog2(11b)； 2）当b0或b1时，原方程有唯一解xlog2(11b)； 3）当b1时，原方程无解。

变式：已知方程m22x(2m1)2xm0在(,1)上有两个根，求m的取值范围．

解：令t2x，当x(,1)时，t(0,2)．

由于t2x是一一映射的函数，所以x在(,1)上有两个值，则t在(0,2)上有两个对应的值．因而方程mt2(2m1)tm0在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为

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(2m1)24m202m0 m(9m2)002m122m(1)(2)(3) (4)1， 4由（2）得： m0，

由（1）得： m由（3）得： m0或m由（4）得：

2， 911m． 622121m，即m的取值范围为(,)．

9494三．巩固练习

1．已知二次方程(3m1)x2(2m3)xm40有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．

解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 =

m-4

4m-5

m-4

，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)3m-1

 3m-1 +1>0 3m-1 >0m-435

当且仅当 -1< <1，即     m< - 或m> ，∴ m的取值范围为 (-,-

m-42m+33m-124 3m-1 -1 <0 3m-1 >0

35

)∪( , +). 24

2．已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有且只有一个实根属于（1，2），且x1,x2都不是方程的根，求m的取值范围．

12解：设f(x) = (2m1)x2mx(m1)，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - .

23

f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0  (5m+3)(m-2)<0  - 5311

综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)．

522

3．已知二次方程(m1)x2(3m4)x(m1)0的两个根都属于（–1，1），求m的取值范围．

解：令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 ≠ 0，即m ≠ 1．

f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当

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潮阳一中明光学校文科数学学案 张盛武

(3m4)24(m1)(m1)0,3m4122111221141,1  4m或m 2m2555(m1)f(1)0,(m1)f(1)0.12211122114}{m|m}． 55．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．

解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当

△= (a-1)2-4>0

a-1

3 0< - <2

2 解得 - ≤a<-1.

2

f(0)≥0 f(2)≥0

3

∴ a的取值范围是 [ - , -1)．

2

∴ m的取值范围为{m|4m

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