本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角. 本章书涉及的数学思想：
1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论；在画图形时，应注意图形的各种可能性。
2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。 3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相转化。
4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。
重点：**立体图形与平面图形的转化，以及线段、角的有关性质。 难点：1.*正方体的表面展开图.
2.**确定在同一平面内n个点可以确定几条直线. 3.**线段的中点及其相关计算. 4.**角平分线的性质及相关计算. 5.**余角和补角的概念及性质的运用.
（一） 多姿多彩的图形 一、常见的立体图形 （1）柱体：
①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻的四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 ②圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱
（2）锥体： ①棱锥：：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。如三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 ②圆锥：以直角三角形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 （3）球体：
半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体叫做球体。 （4）多面体：
围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫做多面体。 如图：下列图形分别为：棱柱（长方体）、棱锥（三棱锥）、圆柱、球体、圆柱。
温馨提示：空间想象能力的培养必须以日常观察为基础，从不同的方向看立体图形关键是要分清楚物体各部分上下左右的关系。
二、平面图形：
立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往要从平面图行开始。
圆是由曲线围成的封闭图形，由线段围成的封闭图形叫做多边形，它具有两个基本性质：①由线段围成，②是一个封闭的图形。按边数多边形可以分为：三角形、四边形、五边形等。 在多边形中三角形是最基本的图形，任何一个多边形都可以分割为若干个三角形，特别是从n边形的一个顶点出发，可以将它分为（n－2）三角形。 三、立体图形的画法――三视图法 ①视图的概念：
从正面、上面、左面三个方向看一物体，然后描绘出三张所看到的图即视图，这样就把立体图形转化为了平面图形。
②正视图、俯视图、左视图的概念： 从正面看到的图形称为正视图； 从上面看到的图形称为俯视图； 从左面看到的图形称为左视图。 ③视图和立体图形的联系：
由立体图形可以画出该物体的三视图，反之，由立体图形的三视图可以说出立体图形的形状。 四、立体图形的展开图： （1）圆柱和圆锥的展开图： 圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长和宽分别为圆柱的高和底面周长，圆锥展开是一个扇形。
（2）棱柱和棱锥的展开图：
棱柱和棱锥都是由平面围成的多面体，沿它们的某些棱剪开，所得到的平面图形就是它们的平面展开图，对于同一个立体图形当我们按不同的方式展开式，得到的平面图形是不同的。 （3）根据展开图判断立体图形的规律：
①展开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体； ②展开图中有圆和长方形时一般是圆柱； ③展开图中有扇形时应考虑是圆锥；
④展开图中有三角形时应考虑棱锥或棱柱，当展开图中有两个三角形和3个长方形应为三棱柱，如果全是三角形（4个）时应为三棱锥。
多姿多彩的图形导学
一、立体图形
我们生活在立体三维世界中，随时随地看到和接触到的物体都是立体的．有些物体，像石头、植物等呈现出极不规则的奇形怪状．同时也有许多物体有较为规则的形状．我们研究的是一些具有较为规则形状的物体．如柱体、锥体、球体等． 1．常见的立体图形
日常生活中，我们常见这几种立体图形：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球． 说明：Ⅰ．长方体和正方体都属于棱柱，因为它们比较常见，为大家所熟悉，所以在此单独列出．
Ⅱ．棱柱分为直棱柱和斜棱柱． （1）柱体
①圆柱：底面是圆，侧面是曲面(如图)．
②棱柱：底面是多边形，侧面是长方形或者正方形．棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等(如图)．
（2）锥体
①圆锥：底面是圆，侧面是曲面(如图)．
②棱锥：底面是多边形，侧面是三角形．棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等(如图)．
（3）球体：封闭曲面组成的图形．
（4）多面体：围成立体图形的面都是平的面，像这样的立体图形又称为多面体． 2．棱柱与圆柱的区别及联系
棱柱与圆柱有相同之处，又有许多差别，如何正确区分它们呢？
3．圆柱与圆锥的区别及联系
圆柱与圆锥能比较容易地区别开来，那么它们之间有什么相同或不同之处呢？
二、平面图形 日常生活中，我们还会遇到很多平面图形（plane figure）．长方形、正方形、三角形、圆等都是一些我们十分熟悉的平面图形．生活中经常遇到一些由简单的平面图形组合成的优美图案．
三、视图
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的《题西林壁》．这首诗说的是：从前面看，觉得庐山是一座又开阔又高大的山岭；从侧面看，又觉得庐山是一座险峻陡峭的高峰；再从远处和近处，从高处和低处看庐山，总觉得它千姿百态，变化无穷．我实在说不出到底什么才是庐山的真面目，因为我自己就在庐山中呀．
这首诗正是诗人从不同方向观察同一物体看到了不同的景观的结果．下面我们也学着用诗人的眼光去从不同方向观察同一物体． 1．三视图
主视图：从正面看到的图， 左视图：从左面看到的图， 俯视图：从上面看到的图．
下面我们看几个由小正方体搭建成的图如下图所示：
当我们从正面看就得到主视图；从左面看就得到左视图；从上面看就得到俯视图．（如下图所示）
四、立体图形的平面展开图
许多立体图形是由一些平面图形围城的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形．这就是我们以下要研究的立体图形的平面展开图（net）．我们以正方体为例进行研究． 将正方体展成一个平面图形，是指正方形的六个面展开后所成的六个正方形中的每一个至少有一条边与其他的正方形的某条边重合即相连． 那么，具体应该怎样操作呢？
我们都知道，正方体有6个面，12条棱，如果把它展成平面图形，6个正方形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连．因此，我们从它的上底面入手，先将上底面中的四
条棱中剪开三条，然后沿着和连着的棱有公共点的侧棱顺次剪下去，到达下底面，然后再将下底面的四条棱中剪开三条，便可得到正方体的平面展开图． 如图，我们给正方体的12条棱进行编号． 如果沿着棱②→③→④→⑤→
→
→⑩剪开，我们就得到展开图（1）； 展开，就得到展开图（2）；
如果沿着②→③→④→⑤→⑨→⑩→ 如果沿着②→③→④→⑤→ 如果沿着②→③→④→⑤→
→⑨→⑩展开就得到图（3）； →
→⑨展开，就可得到图（4）．
展开的方法很多，刚才的展开图，都是沿着和边④有公共点的边⑤剪开的，如果沿着和边④也有公共点的边⑥剪开后，和以上四种展开图差不多． 如果沿⑥继续剪开，正方体的平面展开图经过旋转，平移等都可以得到以上四种展开图，因此，我们在此不考虑由于旋转等造成的相对位置不同，将这种展开方式归于前面一类． 同样将上底面的②→③→④这三条棱展开，但接下来不沿着和①有公共点的棱⑤剪，而是沿着和①无公共点的侧棱⑦或⑧继续剪至下底面的三条棱，便可得到如下两个平面展开图（图（5）、图（6））
我们可以观察以上六个立方体的平面展开图，它们有规律可寻找吗？ 这六个平面展开图有共同的特性，中间连排的四个正方形恰好是正方体的侧面，而分布侧面两边的两个正方形无论和四个侧面中的哪一个相连，都能是正方体的平面展开图． 那么，是不是立方体的平面展开图只有六种呢？ 我们还像前面那样给正方体的每条棱做同样的编号，如果沿着②→③→④剪开后，再分别沿着⑥→⑨→
和⑦剪开，便可得到展开图（7）．类似的还可以得到图（8）、（9）．
在以上的几种展开图中，是侧面的三个或四个正方形相连，如果让他们两个两个相连结果会如何呢？
我们剪出六个同样大小的正方形作为正方体的六个面，将这六个面摆成下面两个图的情形，如图（10）、（11），然后将它们折叠，结果发现这六个面围成了一个正方体．
只要沿着②→③→④剪开后，再分别沿⑤→ 和⑦以及⑨剪开便可得到图（10）． 沿着②→③→④剪开后，再将⑥→⑩→ 和⑤剪开，便得到展开图（11）． 我们再来看，如图（12），这个平面图形经过折叠后能否围成一个正方体．
答案是否定的．因为把一个正方体展开后6个正方形的每一个正方形至少有一边与其他正方形的某边重合，在这个图中，虽然满足了上面的要求，但右上角的正方形和相邻的三个正方形相连的情形是无法折叠起来的，因此不能围成一个正方体．
那么，将正方体的某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开几条棱呢？
由于正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需剪开7条棱．
五、点、线、面、体
几何体也简称体（solid）．我们学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体．
包围着体的是面（surface）．面有平的面和曲的面两种．平静的水面（如图）给我们以平面的形象，而酒杯（如图）的凹槽则给我们以曲面的形象．
夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线（如图），节日的焰火画出的曲线组成优美的图案（如图），这些都给我们以线（line）的形象．面和面相交的地方形成线． 天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点（point）的形象，线和线相交的地方是点．
点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界．
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。
主（正）视图---------从正面看2、几何体的三视图
侧（左、右）视图-----从左（右）边看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。俯视图---------------从上面看
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。
（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
一. 快速识别正方体的平面展开图
图形分类
正方体的平面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四情形. 1. 1－4－1型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均1个正方形，如图1中所示.
图1
2. 2－3－1型：展开图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1个正方形，如图2中所示.
图2
3. 2－2－2型：展开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.
图3 图4
4. 3－3型：展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.
规律：这里给出几种不是正方体的展开图的情况： （1）出现“田”字格；
（2）出现“ ”的形状；
（3）连续四个正方形连成一行，而另外两个都在这“一行”的同侧； （4）连续五个连成一行。
记住上面这四个规律，解答时采用排除法又快又准。
二. 快速确定正方体的“对面” 如下图，我们先来统一以下认识：把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z”型图。
（1） （2） （3） （4）
结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。 应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。
（二）直线、射线、线段 直线
1、直线的两种表示方法：
（1）用直线上的两个大写字母表示．如图：记作直线
．
表示直线的两个大写字母可以是直线上的任意两点，两个字母的顺序可以随意排放 （2）用一个小写字母表示．如图：记作直线 ．
若点C是线段AB的中点，则有AC=BC=AB或AB=2AC=2BC. 两点间的距离：连接两点之间的线段的长度. 直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单地：两点确定一条直线。 点与直线的位置关系 （1）
点在直线上，如图，叙述方法：点
在直线 上，或直线 经过点
．
（2）
点在直线外，如图，叙述方法：点
在直线 外，或直线 不经过点
．
相交直线
如果两条直线有一个交点，我们叫这两条直线相交．这个公共点叫做它们的交点，这两条直线叫相交直线．
射线
射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点． 射线的表示方法
（1）可以用两个大写字母表示：代表端点的字母写在前面。 （2）射线也可以用一个小写字母表示． 线段
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两点叫做线段的端点． 4．线段的表示方法
线段的两种表示方法：1
、
为端点的线段，可以记作线段
或线段
对字母的排放顺序没有要求； 2也可以记作线段 ．
线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。 图形：
A M B
符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。 线段的性质
两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。 线段的画法
（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况． （2）以后我们说“连结 ”就是指画以 、 为端点的线段．说明：“连结”是几何的专用名词，专指画出两点间的线段的意思． 线段大小比较的两种比较方法：
1重叠比较法 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置．步骤有三： (1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合． (2)线段AB沿着线段CD的方向落下．
(3)若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD． 若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD． 若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．
2度量法
图形 直线 射线 直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点． 线段 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两点叫做线段的端点． 定义 联系 区别 端点个数 表示法 射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的有限部分． 直线无端点，长度无限，向两方无限延伸．射线只有一个端点，长度无限，向一方无限延伸．线段有两个端点，长度有限． 无 直线a 直线AB（BA） 一个 射线AB 两个 线段a 线段AB（BA）
作法叙述
延长叙述 作直线AB； 作直线a 不能延长 作射线AB 反向延长射线AB 作线段a； 作线段AB； 连接AB 延长线段AB； 反向延长线段BA 直线射线线段区别联系
线段 射线 直线 端点个数 2 1 0 延伸方向 可否度量 表示方法 无 向一方延伸 向两方延伸 能 不能 不能 两种 两种 两种 都是直的，由无数个点组成，没有粗细之分，线段、射线都是直线的一部分。 相同点 1、直线没有端点，他可以向两方无限延伸，因此他的长度是无限的，我们不能度量他的长度；射线有一个端点，他可以向一方无限延伸，因此他的长度也是无限的；线段有两个端点，他不能向任何一方延伸，所以既可以度量他们的长度，也可以用度量法或叠合法（即把其中一条线段移到另一条线段上去）比较他们的大小。
另外，线段不能延伸，但他可以延长，而直线和射线能延伸，却不能延长。特别地，射线可以反向延长。
2、如图，三兄弟都可以用一个小写字母来表示，但用大小字母来表示时，就要注意：
①线段用表示端点的两个字母来表示，图1中的线段可表示为线段AB或线段BA； ②射线用表示端点的字母和表示射线上另一点的字母来表示的，这两个字母有严格的先后顺序，必须把表示端点的字母写在前面，图2中的射线只能表示为射线OC；
③直线可以用它上面的任意两个点的字母来表示，图3中的直线可表示为直线DE或直线ED。
3、如图3，过点D和E有且只有一条直线，即两点确定一条直线，这里的“确定”和“有且只有”的含义相同。“有”是指直线的存在性，“只有”指直线的惟一性。不难看出，过点D、E的线段和射线都是存在的，但他们都不是惟一的。
4、线段是三兄弟中最小的，他的故事却是最多的，这里先向大家介绍两个： （1）把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。如图，若点C是线段AB的中点，则有AC=CB=
（2）两点之间，线段最短。 （三）角
1.角的相关概念及计算
1AB，或AB=2AC=2BC。 2
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的两边．
角：角还可以看成是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2、角的表示法（四种）：
平角、周角的概念 射线
绕点
旋转，终止位置
和起始位置 ，顶点
成一条直线时，所成的角叫平角，
和射线
．继续旋转， ，两边重合成一
如图2所示．同样可表示为回到起始位置
条射线．
，两边为射线
时，所成的角叫做周角，如图3所示．周角的顶点为
直线上取点表示点在直线上的位置，而平角是由顶点和边组成的角这一几何图形．
3、角的度量单位及换算
度、分、秒的互换：如果一个角比1°还小，那么怎样度量它的大小？为了更精密地度量角．我们把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分记作1'；又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒记作1''．即1°＝60'，1'＝60''．这表明角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
4、角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° 知识结构
平角 ∠β=180° 周角 ∠β=360°
5角的大小的比较有两种方法：
（1）重合法：即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置； ① ② ③
与 落在 落在
重合，
等于
，记作 小于 大于
，记作 ，记作
．
． ．
的内部， 的外部，
在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而非线段．若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大．
（2）度量法：即比较两个角的度数．
利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小． 6角的和、差、倍、分 （1） （2）
在 在
内部时， 外部时，
是 是
与 与
的差，记作： 的和，记作：
． ．
7、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角。 （2）借助量角器能画出给定度数的角。 （3）用尺规作图法。 8、角平分线
定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 几何语言表示：
）．
对于角平分线的概念，要注意以下两点：
（1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分． （2）要掌握角平分线的数学表达式：若OC 是
或
知识结构
的平分线，则
是
的平分线，
（或
9、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。 （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。 （3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。 ∵
与
互补，∴ 与
互补，∴ ，∴
．
即
即
．
．
∵ ∵
若两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，若两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．理解这两个概念，要把握以下几点：（1）必须具备两个角；（2）两个角的和是一个定值：互余两角的和是 ，互补两角的和是 ；（3）与两个角的位置无关，只考虑两角间的数量关系．
10、方向角 （1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向 （3）东（西）北（南）方向
11、方位角
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